Міністерство освіти і науки України
Сумський Державний Університет
Курсова робота
з дисципліни
«Теорія алгоритмів та математична логіка»
На тему
«Знаходження мінімального остовом дерева. Порівняння алгоритму Прима і алгоритму Крускала»
Виконав студент
факультету ЕлІТ групи ІН-83
Горбатенко О. О.
Перевірив Кузіков Б. О.
Суми 2010
Завдання роботи
При виконанні ОДЗ необхідно реалізувати алгоритми Прима та Крускала побудови остового дерева у графі, та протестувати її на тестовому графі наведеному у завданнях до ОДЗ згідно вашого варіанту. У пояснювальній записці до ОДЗ повинно бути викладено наступне:
• Вступ. Короткі відомості про поняття остового дерева;
• Завдання роботи, Включаючи тестовий приклад графу, згідно варіанта;
• Алгоритм Прима:
◦ короткі відомості про алгоритм та асимптотичну оцінку його швидкодії, спосіб представлення графу та його обґрунтування (10%);
◦ остове дерево, отримане за допомогою алгоритму (5%);
◦ фактичні параметри швидкодії (кількість порівнянь) для тестового прикладу (10%);
◦ оцінку швидкодії реалізованого варіанта алгоритму (10%).
• Алгоритм Крускала:
◦ короткі відомості про алгоритм та асимптотичну оцінку його швидкодії, спосіб представлення графу та його обґрунтування(10%);
◦ остове дерево, отримане за допомогою алгоритму (5%);
◦ фактичні параметри швидкодії (кількість порівнянь) для тестового прикладу (10%);
◦ оцінку швидкодії реалізованого варіанта алгоритму (10%).
• Порівняння алгортимів, контрольні приклади:
◦ висновок що до умов, коли доцільно використовувати той чи інший алгоритм (10%)
◦ довільний граф (10 або більше вершин), на якому алгоритм Прима дає перевагу, навести фактичні параметри швидкодії (10%);
◦ довільний граф (10 або більше вершин), на якому алгоритм Крускала дає перевагу, навести фактичні параметри швидкодії (10%).
Поставлене завдання:
маючи на вході граф G, одержати на виході його остовне дерево мінімальної вартості, використати алгоритми Крускала й Прима. Порівняти використовувані алгоритми.
Вступ
Нехай G = (V, Е) — зв'язний граф, у якому кожне ребро (u,v ) позначено числом c(u, v), що називається вартістю ребра. Остовним деревом графа G називається вільне дерево, що містить всі вершини V графа G. Вартість остовного дерева обчислюється як сума вартостей всіх ребер, що входять у це дерево.
Типове застосування остовних дерев мінімальної вартості можна знайти при розробці комунікаційних мереж. Тут вершини графа представляють міста, ребра - можливі комунікаційні лінії між містами, а вартість ребер відповідає вартості комунікаційних ліній. У цьому випадку остовне дерево мінімальної вартості представляє комунікаційну мережу, що поєднує всі міста комунікаційними лініями мінімальної вартості.
Існують різні методи побудови остовних дерев мінімальної вартості. Багато хто з них ґрунтуються на наступній властивості остовних дерев мінімальної вартості. Нехай G = (V, Е) — зв'язний граф із заданою функцією вартості, що задана на множині ребер. Позначимо через U підмножину вершин V. Якщо (і, v) — таке ребро найменшої вартості, що й належить U і v належить V U, тоді для графа G існує остовное дерево мінімальної вартості, що містить ребро (і, v).
Існують два популярних алгоритми побудови остовного дерева мінімальної вартості для позначеного графа G = (V, Е), основані на описаній властивості: Прима й Крускала. Обидва алгоритми відповідають «жадібній» стратегії: на кожному кроці вибирається локально найкращий варіант.
Алгоритм Прима
Алгоритм Прима поступово будує шуканий мінімальний остов, додаючи до нього по одному ребру на кожному кроці (Це означає, що алгоритм Прима є жадібним. Більш того, справедливість алгоритму Прима легко встановлюється в рамках теорії матроідов.). На початку роботи алгоритму результуюче дерево складається з однієї вершини (її можна вибирати довільно). Алгоритм складається з N-1 ітерації, на кожній з яких до дерева додається рівно одне ребро, не порушує властивості дерева (тобто один кінець додається ребра належить дереву, а інший - не належить). Ключовий момент - з усіх таких ребер кожен раз вибирається ребро з мінімальною вагою. Така реалізація працює за O (MN).
Покращена реалізація буде виконуватися помітно швидше - за O (M log N + N2).
Для цього ми відсортуємо всі ребра в списках суміжності кожної вершини по збільшенню ваги (буде потрібно O (M log M) = O (M log N)). Крім того, для кожної вершини заведемо покажчик, який вказує на перше доступне ребро в її списку суміжності. Спочатку всі покажчики вказують на початку списків, тобто рівні 0. На i-ої ітерації алгоритму Прима ми перебираємо всі вершини, і вибираємо найменше за вагою ребро серед доступних. Оскільки всі ребра вже відсортовані за вагою, а покажчики вказують на перші доступні ребра, то вибір найменшого ребра здійсниться за O (N). Тепер нам слід оновити покажчики, оскільки деякі з них вказують на що стали недоступними ребра (обидва кінці яких опинилися всередині дерева), тобто зрушити деякі з них праворуч. Проте, оскільки у всіх списках суміжності в сумі 2 * M елементів, а покажчики зсуваються тільки вправо, то виходить, що на підтримку всіх покажчиків потрібно O (M) дій. Разом - час виконання алгоритму O (MlogM + N2 + M), тобто O (M log N + N2)
Код алгоритму:
void prim()
{
int i, min, j, k;
pr_count=0;
sr_count=0;
k = 0;
v[0]= 1;
for (i = 1;i< n;i++)
{
d[i] = a[i][0];
p[i] = 0;
}
for (i = 0;i<n-1;i++)
{
min = inf;
for (j = 0;j< n;j++)
if ((v[j]!=1) && (d[j] < min))
{
sr_count++;
min = d[j];
pr_count++;
k = j;
pr_count++;
}
printf("%d %dn",k+1, p[k]+1);
mst_weight+=a[k][p[k]];
v[k] = 1;
for (j = 0;j< n;j++)
if ((v[j]!=1) && (d[j] > a[k][j]))
{
sr_count++;
p[j] = k;
pr_count++;
d[j] = a[k][j];
pr_count++;
}
}
}
Результат роботи програми:
Алгоритм Крускала
Алгоритм Крускала спочатку поміщає кожну вершину в своє дерево, а потім поступово об'єднує ці дерева, об'єднуючи на кожній ітерації два деяких дерева деяким руба. Перед початком виконання алгоритму, усі ребра сортуються за вагою (в порядку неубиванія). Потім починається процес об'єднання: перебираються всі ребра від першого до останнього (у порядку сортування), і якщо у поточного ребра його кінці належать різним піддерев, то ці піддерев об'єднуються, а ребро додається до відповіді. Після закінчення перебору всіх ребер всі вершини опиняться належать одному піддереві, і відповідь знайдений.
Сортування ребер потребують O (M log N) операцій. Приналежність вершини того чи іншого піддереві зберігається просто за допомогою масиву, об'єднання двох дерев здійснюється за O (N)
Покращена реалізація використовує структуру даних "Система непересічних множин" позволет домогтися асимптотики O (M log N). Так само, як і в простій версії алгоритму Крускала, відсортуємо усі ребра по неубиванію ваги. Потім помістимо кожну вершину в своє дерево (тобто своє безліч) на це піде в сумі O (N). Перебираємо усі ребра (у порядку сортування) і для кожного ребра за O (1) визначаємо, чи належать його кінці різних деревам (за допомогою двох викликів FindSet за O (1)). Нарешті, об'єднання двох дерев буде здійснюватися викликом Union - також за O (1). Разом ми отримуємо асимптотики O (M log N + N + M) = O (M log N).
void kruskal()
{
int k, i, p, q;
pr_count=0;
sr_count=0;
q_sort(1, m);
// сортируем список ребер по неубыванию
for (i = 0;i< n;i++) // цикл по вершинам
{
r[i] = i; // у вершина своя компонента связности
s[i] = 0; // размер компоненты связности
}
k = 0; // номер первого ребра + 1
for (i = 0;i< n-1;i++) // цикл по ребрам mst
{
do
{ // ищем ребра из разных
k++; // компонент связности
p = a[k].x;
pr_count++;
q = a[k].y;
pr_count++;
while (r[p]!=p) // ищем корень для p //
{
sr_count++;
p = r[p];
pr_count++;
}
while (r[q]!=q) // ищем корень для q }
{
sr_count++;
q = r[q];
pr_count++;
}
}while (p==q);
printf("%d %dn",a[k].x, a[k].y); // вывод ребра
mst_weight+=a[k].w;
if (s[p] < s[q]) // взвешенное объединение
{ // компоненты связности
r[p] = q;
pr_count++;
s[q] = s[q] + s[p];
pr_count++;
}
else
{
r[q] = p;
pr_count++;
s[p] = s[p] + s[q];
pr_count++;
}
}
}
Результат роботи програми:
В результаті виконання програм ми переконалися, що вони дають однакове мінімальне остове дерево, яке має вигляд:
Висновок.
Якщо кількість вершин достатньо мала, то доцільніше використовувати алгоритм Прима, в іншому випадку доцільно користуватися алгоритмом Крускала.
Код програм
Алгоритм Прима.
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <time.h>
#include <values.h>
const int maxn = 100, inf = MAXINT/2, Max = 10000;
int a[maxn][maxn], p[maxn], z;
int v[maxn];
int d[maxn], n, mst_weight, pr_count, sr_count;
clock_t start, end;
void init()
{
int i, j, x, y, nn, z;
FILE *f;
mst_weight = 0;
for (i = 0;i<maxn;i++)
for (j = 0;j<maxn;j++)
a[i][j] = inf;
for (i =0;i< maxn; i++)
{
v[i]=0;
d[i]=0;
p[i]=0;
}
f=fopen("input.txt","rt");
fscanf(f,"%d",&n);
fscanf(f,"%d",&nn);
for (i = 0;i< nn;i++)
{
fscanf(f,"%d %d %d",&x, &y, &z);
a[x-1][y-1] = z;
a[y-1][x-1] = z; // если неориентированный граф
}
fclose(f);
}
void prim()
{
}
int main()
{
clrscr();
init();
printf("Min ostove derevo (by Prim)n");
start= clock();
prim();
end= clock();
printf("Vaga dereva = %dn", mst_weight);
printf("Time = %fn", (end-start)/CLK_TCK);
printf("Comparison = %dn", pr_count);
printf("Assignment = %d n", sr_count);
getch();
return 0;
}
//---------------------------------------------------------------------------
Алгоритм Крускала.
//---------------------------------------------------------------------------
#include <vcl.h>
#pragma hdrstop
//---------------------------------------------------------------------------
#pragma argsused
//---------------------------------------------------------------------------
#include <stdio.h>
#include <conio.h>
#include <time.h>
#include <values.h>
const int maxn = 10, maxm = 1000, inf = MAXINT/2, Max = 10000;
typedef struct edge
{
int x, y; // вершины ребра
int w; // вес ребра
}eg;
eg a[maxm]; // список ребер
int s[maxn]; // размер компонент связности
int r[maxn]; // связи вершин в компонентах связности
int n, m; // кол-во вершин и ребер
int mst_weight; // вес минимального остовного дерева
int pr_count,sr_count; // кол-во присваиваний и сравнений
// инициализация и чтение данных
void init()
{
int i, j, x, y, nn, z;
FILE *f;
mst_weight = 0;
f=fopen("input.txt","rt");
fscanf(f,"%d",&n);
fscanf(f,"%d",&m);
for (i = 0; i < m;i++)
{
fscanf(f,"%d %d %d",&x, &y, &z);
a[i].x = x;
a[i].y = y;
a[i].w = z;
}
}
void q_sort(int l,int r)
{
int i, j, x;
i = l;
j = r;
x = a[l+rand()%(r-l+1)].w;
do
{
while (i<=r && x > a[i].w) i++;
while (j>=x && x < a[j].w) j--;
if (i <= j)
{
if (i<j)
{
eg buf;
buf=a[i];
a[i]=a[j];
a[j]=buf;
}
i++;
j--;
}
} while (i <= j);
if (l < j) q_sort(l, j);
if (i < r) q_sort(i, r);
}
// построение mst (алгоритм Крускала)
void kruskal()
{
}
int main(int argc, char* argv[])
{
clrscr();
clock_t start, end;
init();
printf("Min ostove derevo (by Kruskalo)n");
start= clock();
kruskal();
end = clock();
printf("Vaga dereva = %dn", mst_weight);
printf("Time = %fn", (end-start)/CLK_TCK);
printf("Comparison = %dn", pr_count);
printf("Assignment = %d n", sr_count);
getch();
return 0;
}
//---------------------------------------------------------------------------
Література
1. Кормен Т., Лейзенсон Ч., Ривест Р. Алгоритмы: построрение и анализ. - М. : МЦНМО, 2001. - 960 с.
2. Вікіпедия: Алгоритм Прима
3. Вікіпедия: Алгоритм Крускала