Контрольная работа (вариант 8)
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Интегрирование по частям
Вычислить определенные интегралы:
3.
=8-6,92=1,08
Интегрирование по частям
4.
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями
. Построить чертеж.
Решение.
В декартовой системе координат построим линии и найдем точки их пересечения.
Объем тела вращения по формуле
Точки пересечения линий
(второй вариант не подходит, т.к. отрицателен)
Отсюда
Границы фигуры:
Фигура симметрична относительно оси ОУ, поэтому
Объем тела
6. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y=ax+b для функции, заданной следующей таблицей:
| X |
3.3 |
3.5 |
3.7 |
3.9 |
4.1 |
| Y |
13 |
13.5 |
11.4 |
11.2 |
9.7 |
Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По эмпирической формуле вычислить значение переменной при х=4,0
Решение
Заполним таблицу
|
|
|
|
2
|
|
| 1 |
3,3 |
13 |
10,89 |
42,9 |
| 2 |
3,5 |
13,5 |
12,25 |
47,25 |
| 3 |
3,7 |
11,4 |
13,69 |
42,18 |
| 4 |
3,9 |
11,2 |
15,21 |
43,68 |
| 5 |
4,1 |
9,7 |
16,81 |
39,77 |
| S |
18,5 |
58,8 |
68,85 |
215,78 |
Составим для определения коэффициентов систему уравнений вида:
Получим
Решая систему методом исключения определяем:
Искомая эмпирическая формула y=28.23-4.45x
Значение переменной при x=4.0
y=28.23-4.45*4=10.43
7. Исследовать сходимость ряда.
Исследуем ряд сначала на абсолютную сходимость. Общий член ряда
В свою очередь ряд расходится как гармонический. Значит абсолютной сходимости у исходного ряда нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница.
1) при
2)
действительно для
По признаку Лейбница, исходный ряд сходится условно.