Исследование прочности на разрыв полосок ситца

r />

4) 30<x≤31

F*
(x) =P*
(X<31) = P*
(X=28) + P*
(X=29) P*
(X=30) +1/130+3/130+18/130=22/130

5) 31<x≤32

F*
(x) =P*
(X<32) = P*
(X=28) + +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) =1/130+3/130+18/130+29/130=51/130

6) 32<x≤33

F*
(x) =P*
(X<33) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31)

P*
(X=32) =1/130+3/130+18/130+29/130+32/130=83/130

7) 33<x≤34

F*
(x) =P*
(X<34) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) +

+P*
(X=32) +P*
(X=33)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130=107/130

8) 34<x≤35

F*
(x) =P*
(X<35) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) +

+P*
(X=32) +P*
(X=33) P*
(X=34) =

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130=125/130

9) 35<x≤36

F*
(x) =P*
(X<36) = P*
(X=28) +P*
(X=29) +P*
(X=30) +P*
(X=31) +

+P*
(X=32) +P*
(X=33) P*
(X=34) + P*
(X=35)

=1/130+3/130+18/130+29/130+32/130+24/130+18/130+4/130=129/130

10) x>36

F*
(x) =1

0, -∞<х≤28

1/130, -∞<х≤29

4/130, 29<х≤30

22/130, 30<х≤31

F*
(x) 51/130, 31<х≤32

83/130, 32<х≤33

107/130, 33<х≤34

125/130, 34<х≤35

129/130, 35<х≤36

1, х>36

Статистическая функция распределения является разрывной функцией и её графиком является ступенчатая линия.

Построим систему координат:

на оси Ох=хi

на оси Оу=F*
(x)

F* 1 129/130 125/130 107/130 83/130 51/130 22/130 4/130 1/130 0 xi 28 29 30 31 32 33 34 35 36

Статистические оценки параметров распределения

Одной из задач статистики является оценка параметров распределения случайной величины Х по данным выборки.

Оценка параметра зависит от наблюдаемых значений и от числа наблюдений. Для того чтобы полученную оценку можно было бы использовать на практике она должна удовлетворять следующим условиям:

1) оценка должна быть не смещённой оценкой параметра, т.е. математическое ожидание должно быть равно оцениваемому параметру. Если это условие не выполняется, то оценку называют смещённой оценкой оцениваемого параметра
;

2) оценка должна быть состоятельной оценкой оцениваемого параметра;

3) Оценка должна быть эффективной оценкой оцениваемого параметра;

Из всех различных оценок выбираем ту которая имеет наименьшую дисперсию она и называется эффективной если её дисперсия является минимальной из всех получившихся дисперсий.

Таким образом, чтобы полученная опытным путем оценка оцениваемого параметра была пригодной она должна быть несмещённой состоятельной и эффективной.

Пусть изучается дискретная генеральная совокупность объема Nколичественного признака Х.

Генеральной средней совокупностью называют
среднее

арифметическое наблюдаемых значений.


Если же значение признака х1
, х2
,……. хк
имеют соответственно частоты N1
,N2
……. Nk
, то средняя генеральная вычисляется по формуле:

Пусть для изучения генеральной совокупности относительно некоторого количественного признака Х произведена выборка объема n.

Выборочной средней
называют среднее арифметическое наблюдаемых значений в данной выборке.

Если же значение признака х1
, х2
,…. хk
имеет соответственно частоты

n1
,n2
,…. nk
, то выборочная средняя определяется по формуле:

xi	28	29	30	32	32	33	34	35	36
ni	1	3	18	29	32	24	18	4	1

28×1+29×3+30×18+31×29+32×32+33×24+34×18+35×4+36×1

хв
=

130

= 4158 = 31,98

130

Выборочной дисперсией
называется среднее арифметическое квадратов отклонений наблюдаемых значений от выборочной средней. Вычисляется выборочная дисперсия по формуле:

Если же значение признака х1
, х2….
xk
имеет соответственно частоты n1
,n2….
nk
, то выборочная дисперсия вычисляется по формуле:

(28-31,98) 2
×1+ (29-31,98) 2
×3+ (30-31,98) 2
×18+ (31-31,98) 2
×29+

Dв
= + (32-31,98) 2
×32+ (33-31,98) 2
×24+ (34-31,98) 2
×18+ (35-31,98) 2
×

×4+ (36-31,98) 2
×1 =

130

= 291,972 = 2,24

130

Среднее выборочное квадратичное отклонение
- это величина численно равная квадратному корню из выборочной дисперсии.

__

σв
= √ 2,24 = 1,5

Нормальный закон распределения случайной величины

Говорят, что случайная величина распределена по нормальному закону если плотность распределения этой случайной величины выражается формулой:

Проверка гипотезы о нормальном распределении изучаемой величины

Гипотезу Н0
выдвигаем в качестве основной - пусть наш исследуемый признак х распределён по нормальному закону. Параллельно гипотезе Н0
выдвигаем альтернативную гипотезу о том, что исследуемый признак распределен не по нормальному закону.

Проверка гипотезы о предполагаемом законе распределения производится с помощью специально подобранной величины называемой критерием согласия.

Для исследования воспользуемся критерием χ
2
Пирсона.

Вычисляем χ
2
для наблюдаемых значений. Для вычислений составляем таблицу и воспользуемся следующими формулами:

_

хв
=31,98

_

Dв
=2,24

_

σв
=1,5

Таблица отдельный файл

k (ni-ni*)2

χ2 набл
.=Σ

i=1 ni

χ2
набл
=13,8725515

Далее находим χ2
с помощью таблицы критических точек распределения по заданному уровню значимости £=0,05 и числу степеней свободы.

К=S-3

5-3=2

χ2
крит.
=6,0

χ2
набл
=13,8725515 > χ2
крит
=6,0

Гипотеза не принимается.

Вывод

В данной работе был изучен статистический материал по исследованию прочности на разрыв полосок ситца, статистически были обработаны и получены соответствующие результаты.

Цель курсовой работы реализована через решение поставленных задач.

Наглядно представление о поведении случайной величины показано через полигон частот и полигон относительных частот, гистограммы частот и гистограммы относительных частот.

Была составлена и построена эмпирическая функция распределения и построен график этой функции на основе наблюдаемых значений.

0ценили параметры распределения:

выборочную среднюю

выборочную дисперсию

выборочное среднее квадратичное отклонение.

После обработки имеющихся статистических данных было выдвинуто предположение о нормальном распределении случайной величины. При проверке этой гипотезы оказалось, что случайная величина нераспределена по нормальному закону.

Литература

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. - М.: Наука, 1988.

2. Боровков А.А. Теория вероятностей: Учеб. пособие.; М.: Наука, 1986.

3. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория вероятностей: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

4. Бочаров П.П., Печинкин А.В. Математическая статистика: Учеб. пособие. - М.: Изд-во ун-та Дружбы народов, 1994.

5. Б.М. Рудык, В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевевичюс, Г.И. Бобрик, В.И. Матвеев, И.М. Гладких, Р.В. Сигитов, В.Г. Шершнев. Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под ред. В.И. Ермакова. - М.: ИНФАРМА-М, 2005. - 656с. - (Высшее образование).