Исследование функций

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Литература

1
. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0
– внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х0
) окрестность точки х0
. В точке х0
функция f(х) имеет локальный максимум
, если существует такая окрестность U(х0
) точки х0
, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х0
).

Аналогично: функция f(х) имеет в точке х0
локальный минимум
, если существует такая окрестность U(х0
) точки х0
, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³f(х0
).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х1
, х3
– точки локального минимума, точки х2
, х4
– точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х3
– точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хn
+ yn
= zn
не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а р-1
– 1 делится на р).

Теорема Ферма.
Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х0
Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х0
существует конечная производная f'(x0
), то f'(x0
) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х0
функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³f(х0
), œх ÎU(х0
). Тогда в силу дифференцируемости

f(х) в точке х0
получим:

при х > х0
:

при х < х0
:

Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0
Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0
, f(х0
)), параллельна оси Ох:

Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.

Пример 1.
у = çх÷, х Î (–1; 1).

В точке х0
= 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0
).

Пример 2.
у = х3
, х Î [–1; 1].

В точке х0
= 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0
= 1 Ï (–1; 1).

Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.

Теорема Ролля.
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0.

Доказательство:

1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, œх Î (a, b);

2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка

[a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0.

Теорема доказана.

Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïïOx (см. рисунок).

Заметим, что все условия теоремы существенны.

Пример 3.
f(x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f(-1) = f(1) = 1.

В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.

Пример 4.

Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала

(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].

Огюстен Коши (1789–1857) – французский математик, член Парижской академии наук, почетный член Петербургской и многих других академий. Труды Коши относятся к математическому анализу, дифференциальным уравнениям, алгебре, геометрии и другим математическим наукам.

Теорема Коши.
Пусть функции f(х) и g(х) непрерывны на отрезке

[a, b] и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g'(х) ¹ 0, œх Î (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

. (1)

Доказательство.

Рассмотрим вспомогательную функцию Функция F(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b), причем F(а) = F(b) = 0. Следовательно, по теореме Ролля на (a, b) существует точка x, такая, что F'(x) = 0:

Следовательно:

.

Теорема доказана.

Жозеф Луи Лагранж (1736–1813) – французский математик и механик, почетный член Парижской и Петербургской академий. Ему принадлежат выдающиеся исследования по математическому анализу, по различным вопросам дифференциальных уравнений, по алгебре и теории чисел, механике, астрономии. Лагранж впервые ввел в рассмотрение тройные интегралы, предложил обозначения для производной (y', f'(x)).

Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(х) непрерывна на [a, b], дифференцируема на интервале (a, b). Тогда на (a, b) найдется точка x, такая, что

(2)

Доказательство.

Из формулы (1) при g(x) = xполучаем формулу (2).

Теорема доказана.

Равенство (2) называют формулой конечных приращений
или формулой Лагранжа о среднем.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

При выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику функции f(x) в точке (x, f(x)) параллельна секущей, проходящей через точки А (а, f(а)) и В (b, f(b)) (см. рисунок).

Рассмотрим следствия из теоремы Лагранжа:

1. (условие постоянства функции на отрезке). Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b). Если f'(x) = 0, œх Î (a, b), то функция f(x) постоянна на [a, b].

2. Пусть функции f(x) и g(х) непрерывны на отрезке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b), f'(x) = g'(х), œх Î (a, b). Тогда f(x) = g(х) + С, где С = const.

3. (условие монотонности функции). Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируемая на интервале (a, b). Тогда, если f'(x) > 0,œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно возрастает на (a, b). Если же f'(x) < 0,

œх Î (a, b), то f(x) строго монотонно убывает на (a, b).

2. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ

2.1 Достаточные условия экстремума функции

В лекции 1 мы рассмотрели основные теоремы математического анализа, которые широко используются при исследовании функции, построении ее графика.

По теореме Ферма: из дифференцируемости функции f(x) в точке локального экстремума х0
следует, что f'(x0
) = 0. Данное условие является необходимым условием существования в точке локального экстремума, то есть если в точке х0
– экстремум функции f(x) и в этой точке существует производная, то f'(x0
) = 0. Точки х0
, в которых f'(x0
) = 0, называются стационарными точками функции. Заметим, что равенство нулю производной

в точке не является достаточным для существования локального экстремума в этой точке.

Пример 1.
у = х3
, у' = 3х2
, у'(0) = 0, но

в точке х0
= 0 нет экстремума.

Точками, подозрительными на экстремум функции f(x) на интервале (a, b), являются точки, в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности. На рисунках функции имеют минимум в точке х0
= 0:

f'(0) = 0 f'(0) $f'(0) = ¥

Рассмотрим достаточные условия существования в точке локального экстремума, которые позволят ответить на вопрос: «Есть ли в точке экстремум и какой именно – минимум или максимум?».

Теорема 1
(первое достаточное условие экстремума). Пусть непрерывная функция f(x) дифференцируема в некоторой проколотой
окрестности U(x0
) точки х0
(проколотая окрестность означает, что сама точка х0
выбрасывается из окрестности) и непрерывна в точке х0
. Тогда:

1) если (1)

то в точке х0
– локальный максимум;

2) если (2)

то в точке х0
– локальный минимум.

Доказательство.

Из неравенств (1) и следствия 3 теоремы Лагранжа (о монотонности функции) следует, что при х < х0
функция не убывает, а при х > х0
функция не возрастает, то есть

(3)

Следовательно, из (3) получаем, что в точке х0
функция имеет локальный максимум.

Аналогично можно рассмотреть неравенства (2) для локального минимума:

f (x) f (x)

f'(х) ³ 0 f'(х) £ 0 f'(х) £ 0 f'(х) ³ 0

Теорема доказана.

Пример 2.
Исследовать на монотонность и локальный экстремум функцию с помощью производной первого порядка.

Решение.
Найдем стационарные точки функции:

Þ х2
–1 = 0 Þ х1
= –1, х2
= 1.

Заметим, что данная функция не определена в точке х = 0. Следовательно:

max min

То есть функция возрастает на интервалах (–¥; –1) и (1; +¥), убывает на интервалах (–1; 0), (0; 1), имеет локальный максимум в точке

х1
= –1, равный уmax
(–1) = –2; имеет локальный минимум в точке х2
= 1,

уmin
(1) = 2.

Теорема 2
(второе достаточное условие экстремума). Пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х0
– стационарная точка

(f'(х0
) = 0), в которой f''(х0
) > 0, то в точке х0
функция имеет локальный минимум. Если же f''(х0
) < 0, то в точке х0
функция имеет локальный максимум.

Доказательство.