Качественное исследование в целом двумерной квадратичной стационарной системы с двумя частными интегралами в виде кривых второго и первого порядков

y2
–2xy+x2
–2dy+2dx+d2
=0,
(2.2)

x–y+d=0.

При рассмотрении этого случая заметим, что интегральная кривая второго порядка y
2
–2
xy
+
x
2
–2
dy
+2
dx
+
d
2
=0
представляет собой две совпадающие прямые вида x
–
y
+
d
=0
, то есть:

(y–x)2
–2d (y–x)+d2
=0,

(y–x) – d)2
=0,

y–x–d=0,

x
–
y
+
d
=0.

Значит, если а1
=в1
=в2
=с2
=1
и если выполняются условия (1.17) система (1.1) имеет только один частный интеграл вида:

x
–
y
+
d
=0.
(2.3)

Найдём состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и, решив полученную систему, найдём точки покоя системы.

Система имеет четыре состояния равновесия:

О (0,0), А (-d, 0), B(-d, d), C(-).

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия.

1.
Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение для точки имеет вид О (0,0):

=0,

2
=0.

Характеристическими числами для точки О (0,0) системы (2.1) будут

Корни характеристического уравнения действительные, одного знака, но в зависимости от параметра d точка О (0,0) – устойчивый узел, если d<0; точка О (0,0) – неустойчивый узел, если d>0.

Из Главы 1. случай d
=0
не рассматривается.

2.
Исследуем точку А (-d, 0).

Составим характеристическое уравнение в точке А (-d, 0).

P (x, y)=dx+2dy+x2
+2xy,

Q
(
x
,
y
)=
dy
+2
xy
+
y
2
.

Отсюда, получим:

Px
=d+2x+2y, Py
=2d+2x,
(2.4)

Qx
=2y,

Qy
=
d
+2
x
+2
y
.

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

=0.

Итак, получаем:

=0.

(–
d
–λ)2
=0.

Характеристические числа для точки А (-d, 0) системы (2.1) будут

Корни λ1
,λ2
– действительные, одного знака. В зависимости от параметра d.

Точка А (-d, 0) является неустойчивым узлом, если d<0; устойчивым узлом, если d>0.

3.
Исследуем точкуВ (-d, d).

Составим характеристическое уравнение в точке В (-d, d).

Согласно равенствам (2.4) характеристическое уравнение примет вид:

=0,

2
=0,

λ1
=λ2
=d.

λ1
,λ2
– характеристические числа для точки В (-
d
,
d
)
системы (2.4).

Корни λ1
,λ2
–действительные, одного знака зависящие от параметра d.

Если d<0, то точка В (-
d
,
d
) – устойчивый узел; если d>0, то точка В (-
d
,
d
)
– неустойчивый узел.

4.
Исследуем точку С(-).

Составим характеристическое уравнение в точке С(-).Применяя равенства (2.4), получим:

=0,

.

Характеристические числа для точки С(-) системы (2.1) будут λ1
=d
,λ2
=.

Корни λ1
,λ2
–действительные, различных знаков, независимо от параметра d.

Значит, точка С(-
) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости на концах оси ОY. Преобразование x=, y= [1] переводит систему (2.1) в систему:

(2.5)

где t
=
zτ
,
dt
=
zdτ
.

Для исследования состояний равновесий на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку No
(0,0).Составим характеристическое уравнение в точке No(0,0):

=0.

Получаем, что

Корни λ1
,λ2
–действительные и различных знаков не зависимо от параметра d. Значит, точка No
(0,0) – седло.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости вне концов оси ОУ преобразованием [1] . Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

(2.6)

где t
=
zτ
,
dt
=
zdτ
.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть при z=0, получаем:

Следовательно,
u
1
=0,
u
2
=1.

Таким образом, получаем две точки N1
(0,0), N2
(0,1), которые являются состоянием равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N1
(0,0).

Составляем характеристическое уравнение в точке N1
(0,0):

=0,

λ1
=-1, λ2
=1.

Корни λ1
, λ2
–действительные и различных знаков. Следовательно, точка N1
(0,0) – седло.

2. Исследуем точку N2
(0,1).

Составим характеристическое уравнение в точке N2
(0,1):

Pz
=–1–2u-2dz-4duz,

Pu
=–2dz2
–2z,

Qz
=–2du2
,

Qu
=1–2u-4dzu
.

Имеем:

=0,

(-3–λ) (-1–λ)=0,

λ1
=–3, λ2
=–1,

Корни λ1
,λ2
–действительные и одного знака (–). Следовательно, точка N2
(0,1) – устойчивый узел.

Дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1

Положение кривой (2.3) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 представлено на рис. 1 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.1) в целом при d<0 и d>0 представлено на рис. 3 (а, б) приложения А.

Исследуя вид кривых (2.2) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.1) не имеет предельных циклов, так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса. Учитывая расположение состояний равновесия относительно кривых (2.2), являющиеся интегралами системы (2.1) не может существовать предельных циклов, окружающих несколько состояний равновесия.

a) d<0

б) d>0

Рис. 1

2.2 Исследование одной системы из второго класса построенных двумерных стационарных систем

Рассмотрим систему (1.1) в предположении, что в1
=в2
=с2
=1, а1
=

и коэффициенты определяются формулами (1.19). Тогда система (1.1) будет иметь вид:

(2.7)

Интегральные кривые в этом случае имеют вид:

4
y
2
–4
xy
+
x
2
+
dy
=0
, (2.8)

-
x
+
y
=0
. (2.9)

Найдём состояния равновесия системы (2.7). Для этого приравняем правые части системы нулю:

Решая эту систему, получим две пары точек, которые являются точками покоя системы (2.7): О (0,0), А().

Исследуем поведение траекторий решений системы (2.7) в окрестностях состояний равновесия О (0,0), А().

1
. Исследуем точку О (0,0).

Составим характеристическое уравнение системы в точке О (0,0):

=0,

.

Характеристическими числами для точки О (0,0), будут

Так как один корень нулевой, тогда точка О (0,0) является сложным состоянием равновесия (изолированное состояние равновесия), для которого требуется дополнительное исследование. Для определения характера состояния равновесия О (0,0) воспользуемся теоремой [5].

Теорема 2.1

Пусть точка (0,0) – изолированное состояние равновесия системы:

где φ (
x
,
y
),
ψ
(
x
,
y
) – полиномы от
x
,
y
начиная со второй степени,
y
=φ(
x
) – решение уравнения
y
+
Q
2
(
x
,
y
)=0, а разложение функции ψ(
x
)=
P
2
(
x
, φ(
x
)) имеет вид:

Тогда:

1)
при
m
-нечётном и ∆
m
>0 точка (0,0) – есть топологический узел;

2)
при
m
-нечётном и ∆
m
<0 точка (0,0) – есть топологическое седло;

3)
при
m
-чётном точка (0,0) есть седло-узел, то есть такое состояние равновесия, каноническая окрестность которого состоит из параболического и двух гиперболических секторов; При этом:

а) если ∆
m
<0, то внутри гиперболических

секторов заключён отрезок положительной

полуоси ОХ, примыкающий к точке (0,0);

б) если ∆
m
<0, то – отрезок отрицательной

полуоси ОХ.

Чтобы воспользоваться теоремой, необходимо систему (2.7) привести к виду:

(2.10)

Это возможно сделать, воспользовавшись одним из следующих преобразований:

1. если в≠0
,

2. если в
=0, а
=0,

3. если в
=0, d
=0,

где а, в, с,
d
– коэффициенты системы (2.7).

Для системы (2.7) воспользуемся следующим преобразованием:

Получим:

Откуда:

Следовательно, можем найти:

Тогда:

Чтобы данную систему привести к системе вида (2.10), сделаем замену тогда dt
=dh
и получим систему:

Найдём решение уравнения:

y1
+ (2.11)

в виде ряда по степеням y
1
:

y
1
=
φ
(
x
1
)=
c
1
x
1
+
c
2
x
1
2
+….

Подставим y
1
=
c
1
x
1
+
c
2
x
1
2
+…
в уравнение (2.11), получим:

c
1
x
1
+
c
2
x
1
2
+ … +
(
c
1
x
1
+
c
2
x
1
2
+…)2
+
x
1
(
c
1
x
1
+
c
2
x
1
2
+…)–
x
1
2
=0.

x
1
1
: с1
=0,

x
1
2
: с2
+с1
+с1
=0,

Следовательно с1
=0, с2
=, ….

Тогда y1
=φ(x1
)= х1
2
+….

Находим ψ(х1
)=Р2
(х1
,φ(х1
))=(+……)= +……..=∆m
xm
.

Получили m=3-нечётное, ∆m
>0.

Следовательно, по теореме 2.1 получаем, что точка О (0,0) – топологический узел.

2
. Исследуем точку А().

Составим характеристическое уравнение в точке А().

Отсюда

Px
(
x
,
y
)=3
d
+3
x
+2
y
,

Py
(x, y)=2d+2x,

Qx
(x, y)=d+2y,

Qy
(
x
,
y
)=
d
+2
x
+2
y
.

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Характеристическими числами для точки А() системы (2.7) будут λ1
=–4d, λ2
=d.

Корни λ1
, λ2
–действительные и одного знака, зависящие от параметра d. Если d<0, тогда точка А() – неустойчивый узел; если d>0, тогда точка А() – устойчивый узел.

Исследуем бесконечно-удалённую часть плоскости системы (2.7) вне концов оси ОУ. Преобразование [1] переводит систему (2.7) в систему:

(2.12)

где t=zτ, dt=zdτ.

Изучим бесконечно-удалённые точки на оси U, то есть z=0. Получаем:

Следовательно, u
1
=0,
u
2
=
.

Таким образом, получили две точки N1
(0,0), N2
(0,), которые являются состояниями равновесия. Исследуем характер этих точек обычным способом.

1. Исследуем точку N1
(0,0).

Составим характеристическое уравнение в точке N1
(0,0):

=0,

λ1
= , λ2
=.

Корни λ1
,λ2
–действительные и различных знаков, следовательно, точка N1
(0,0) – седло.

2. Исследуем точку N2
(0,).

Составим характеристическое уравнение в точке N2
(0,):

Pz
=
–2u-6dz-4duz,

Pu
=–2z-2dz2
,

Qz
=
d-2du-2du2
,

Qu
=
–2u-2dz-4duz.

Характеристическое уравнение имеет вид:

=0.

Следовательно, характеристические числа:

λ1
=, λ2
=.

Корни λ1
,λ2
–действительные, различных знаков, значит точка N2
(0,) является седлом.

Исследуем бесконечно-удалённые концы оси ОУ с помощью преобразования [1] x=, y=.Это преобразование переводит (2.7) в систему:

где t=zτ, dt=zdτ.

Для исследования состояний равновесия на концах оси ОУ, нам необходимо исследовать только точку (0,0), которая является состоянием равновесия данной системы. Составим характеристическое уравнение в точке (0,0):

=0.

Корни λ1
,λ2
–действительные и различных знаков, значит точка (0,0) – седло.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.7) в виде таблицы 2.

Таблица 2

Положение кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия при d<0 и d>0 даётся соответственно рис. 2 (а, б).

Поведение траекторий системы (2.7) в целом при d<0, d>0 представлено на рис. 4 (а, б) приложения Б.

Так как Воробьёв А.П. [10] доказал, что для систем, правые части которых есть полиномы второй степени, предельный цикл может окружать только точку типа фокуса, тогда исследуя вид кривых (2.8), (2.9) и расположение относительно их состояний равновесия, убеждаемся, что система (2.7) не имеет предельных циклов.

a) d<0

б) d>0

Рис. 2

Заключение

В данной дипломной работе построены два класса квадратичных двумерных стационарных систем при условии, что частными интегралами являются кривые второго и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольные параметры систем.

Проведено качественное исследование построенных классов систем при фиксированном значении одного из параметров системы. Выведены необходимые и достаточные условия существования у системы двух частных интегралов. В зависимости от условий на коэффициенты были рассмотрены два случая. Найдены состояния равновесия полученных систем, которые принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удалённая часть плоскости систем и доказано отсутствие предельных циклов. Построена качественная картина поведения траекторий систем в круге Пуанкаре.

Список источников

1 Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.-М.-Л.: ГИТТЛ, 1947. – 839 с.

2 Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. – УМН, 1941. – Вып. 9. – 643 с.

3 Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.:Гостехиздат, 1941. – 340 с.

4 Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую. – ПММ. – 1952. – Т.16, Вып. 6. – с. 659–670.

5 Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1976. – 274 с.

6 Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний. – ПММ. – 1963 Т.27, Вып. 1. – 230 с.

7 Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР. – 1963. – Т.7, №11. – 950 с.

8 Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1970. – Т.6, №10. – с. 1752–1760.

9 Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. – 1973. – Т.9, №3. – 256 с.

10 Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа "узел" // ДАН БССР. – 1960. – Т.4, №9. – 720 с.