Матрицы. Дифференциальные уравнения

ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ

Определение.
Вектором
называется направленный отрезок прямой. Точка называется началом вектора , а точка – его концом (рис. 1).

Обозначения: , .

Определение.
Длина вектора называется его модулем
и обозначается , .

Определение.
Координатами вектора
называются координаты его конечной точки. На плоскости
Oxy
; в пространстве
Oxyz
.

Определение.
Суммой и разностью векторов
и являются соответственно векторы

;

;

произведение вектора
на число l есть вектор

.

Определение.
Длина вектора
равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

(на плоскости
);

(в пространстве
).

Определение.
Расстояние
d
между двумя точками
A
и
B
можно рассматривать как длину вектора , т.е.

(на плоскости
);

(в пространстве
).

Определение.
Если два вектора
и перпендикулярны
, то

(на плоскости
);

(в пространстве
).

Определение
Вектор X
называется собственным вектором
линейного оператора A
(матрицы A
), если найдется такое число l, что AX
=
l
X
.

Число l называется собственным значением
оператора A
,
заданного матрицей A
,

т.е. собственные значения находятся из характеристического уравнения .

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Определение
Обыкновенное дифференциальное уравнение
– уравнение, связывающее искомую функцию одной переменной и производные различных порядков данной функции.

Определение
Порядок старшей производной – порядок дифференциального уравнения.

Определение
Решение дифференциального уравнения
– такая функция y
=
y
(
x
)
, которая при подстановке ее в это уравнение обращает его в тождество.

Определение
Задача нахождения решения дифференциального уравнения
называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения.

Определение
Общее решение дифференциального уравнения
n
-
го порядка называется такое его решение , которое является функцией переменной x
и n
постоянных. Частное решение
при конкретных значениях .

Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными
, если оно может быть представлено в виде

.

Определение
Д.у. первого порядка называется однородным
, если оно может быть представлено в виде

.

(Для решения используется замена t
=
y
/
x
)/

Определение
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным,
если оно имеет вид

(линейное неоднородное
).

(Сначала решаем уравнение - линейное однородное
, находим y
и подставляем в исходное).

Определение
Уравнение вида

называется уравнением Бернулли.

(Для решения используется замена ).

=0

(Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение
).

Теорема
1) Пусть характеристическое уравнение имеет действительные корни l1
и l2
, причем . Тогда общее решение уравнения имеет вид

(С1
, С2
– некоторые числа).

2) Если характеристическое уравнение имеет один корень l (кратности 2),то общее решение имеет вид

(С1
, С2
– некоторые числа).

3) Если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то общее решение имеет вид

,
где

, С1
, С2
– некоторые числа.

НЕОБХОДИМЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ О КАСАТЕЛЬНОЙ

Общее уравнение прямой:

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

y
=
kx
+
b

(
k
=
tg
j
коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой)

Если две прямые y
=
k
1
x
+
b
1
и
y
=
k
2
+
b
2
параллельны, то k
1
=
k
2
.

Если две прямые y
=
k
1
x
+
b
1
и
y
=
k
2
+
b
2
перпендикулярны, то k
1
*
k
2
=-1.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении(известен коэффициент
k
):

Пусть прямая проходит через точку M
1
(
x
1
;
y
1
)
и образует с осью Ox
угол

y
-
y
1
=
k
(
x
-
x
1
)

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
M
1
(
x
1
;
y
1
) и
M
2
(
x
2
;
y
2
):

Уравнение касательной к кривой
y
=
f
(
x
) в точке
x
0
примет вид

y
-
f
(
x
0
)=
f
¢
(
x
0
)(
x
-
x
0
)

Геометрический смысл производной:

f
¢
(
x
0
)=
k
=
tg
a

(производная
f
¢
(
x
0
) есть угловой коэффициент(тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой
y
=
f
(
x
) в точке
x
0
)

МАТРИЦЫ

Определение:
Матрицей
размера m
n
называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m
строк и n
столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами
матрицы.

Матрица размера m
n
:

.

Виды матриц

Определение:
Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей (вектором)-строкой
, а из одного столбца – матрицей (вектором)- столбцом
.

Пример:

; .

Определение:
Матрица называется квадратной
n
-го поряд
ка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n
.

Пример:

- квадратная матрица третьего порядка.

Определение:
Элементы матрицы aij
, у которых номер столбца равен номеру строки (i
=
j
), называются диагональными
и образуют главную диагональ
матрицы.

Определение:
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы равны нулю, то матрица называется диагональной
.

Пример:

- диагональная матрица третьего порядка.

Определение:
Если у диагональной матрицы n
-го порядка все диагональные элементы равны единице, то матрица называется единичной матрицей
n
-го порядка, она обозначается буквой E
.

Пример:

- единичная матрица второго порядка;

- единичная матрица третьего порядка.

Определение:
Матрица любого размера называется нулевой
, если все элементы равны нулю.

1.
Умножение матрицы на число

Каждый элемент матрицы умножается на это число.

Пример:

, 0,5.

2.
Сложение матриц

!!! Можно складывать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы складываются поэлементно.

Пример:

.

3.
Вычитание матриц

!!! Можно вычитать матрицы только одинаковых размеров.

Матрицы вычитаются поэлементно.

Пример:

.

4.
Умножение матриц

!!! Матрицу А
можно умножить на матрицу В
, если число столбцов матрицы А
равно числу строк матрицы В
.

Произведением матрицы называется такая матрица , каждый элемент которой cij
равен сумме произведений элементов i
-
ой строки матрицы А
на соответствующие элементы j
-го столбца матрицы В
.

5.
Возведение в степень

Целой положительной степенью А
m
(
m
>1)
квадратной матрицы А
называется произведение m матриц равных А
, т.е.

.

Пример:

, найти А2
.

6. Транспонирование матрицы

Транспонированная матрица
– матрица, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Обозначается .

Пример:

.

Обратная матрица

Определение:
Матрица называется обратной
по отношению к квадратной матрице А
, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица, т.е.

.

!!! Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица невырожденная (т.е. определитель матрицы отличен от нуля).

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Находим определитель матрицы, т.е..

2. Находим транспонированную матрицу , т.е..

3. Находим присоединенную матрицу, т.е (матрица, состоящая из алгебраических дополнений к элементам транспонированной матрицы).

4. Вычисляем обратную матрицу по формуле .

5. Проверяем правильность вычисления, исходя из определения обратной матрицы.

Определение:
Ранг матрицы – это наивысший порядок, отличных от 0, миноров матрицы.

!!! Чтобы найти ранг матрицы нужно сначала привести матрицу с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
(все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны 0).

Элементарными
называются следующие преобразования матриц:

1) умножение всех элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля;

2) прибавление к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же число;

3) перемена местами строк (столбцов) матрицы;

4) отбрасывание строк (столбцов) матрицы, все элементы которых равны нулю.

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

На практике часто сталкиваемся с задачей о сглаживании экспериментальных зависимостей.

Пусть зависимость между двумя переменными x
и y
выражается в виде таблицы, полученной опытным путем. Это могут быть результаты опыта или наблюдений, статистической обработки материала и т.п.

Требуется наилучшим образом сгладить экспериментальную зависимость между переменными x
и y
,
т.е. по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости y
от x
,
исключив при этом случайные отклонения, связанные с неизбежными погрешностями измерений или статистических наблюдений. Такую сглаженную зависимость стремятся представить в виде формулы y
=
f
(
x
) –
эмпирическая формула
.

Задача нахождения эмпирической формулы разбивается на два этапа:

- устанавливается вид зависимости y
=
f
(
x
),
т.е. решить, является ли она линейной, квадратичной, логарифмической или какой-либо другой (в нашей задаче зависимость линейная -
y
=
ax
+
b
);

- определение неизвестных параметров этой функции по методу наименьших квадратов, согласно которому, в качестве неизвестных параметров функции f
(
x
)
выбирают такие значения, чтобы сумма квадратов отклонений «теоретических» значений f
(
xi
),
найденных по эмпирической формулеy
=
f
(
x
),
от соответствующихопытных значений была минимальной, т.е.

(в нашей задаче
).

В результате решения такой экстремальной задачи с помощью частных производных:

,

получаем систему нормальных уравнений,
из которой находим параметры a
иb
линейной зависимости:

.

НЕОБХОДИМЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ

Определение:
Функция F
(
x
)
называется первообразной
для функции f
(
x
)
на промежутке Х
, если в каждой точке этого промежутка F
¢
(
x
)=
f
(
x
).

Определение:
Совокупность всех первообразных для функции f
(
x
)
на промежутке Х
называется неопределенным интегралом
от функции f
(
x
)
и обозначается , т.е.

.

Формула Ньютона-Лейбница (для вычисления определенных интегралов):

Формула для вычисления дифференциала функции
y
=
f
(
x
):

dy
=
f
¢
(
x
)
dx
.

Некоторые свойства неопределенного и определенного интегралов:

Н.и. , где с – некоторое число,

О.и., где с – некоторое число;

Н.и.,

О.и.
.

!!! Неопределенный интеграл находится приведением интеграла к табличному (сумме табличных) с помощью этих двух свойств или с помощью таких приемов, как методы интегрирования заменой переменных и по частям.

Формула замены переменной
в неопределенном интеграле:

, где - функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Формула замены переменной
в определенном интеграле:

, где - функция имеет непрерывную производную на отрезке [
a
,
b
].

Формула интегрирования по частям
в неопределенном интеграле:

,