Метод к
онструирования задач
Автор: Литвиненко Анастасия, ученица 10 “Б” класса МГ № 48
Научный руководитель:
Трифанова Марина Анатольевна,
учитель МГ №48.
Норильск, 2002 г.
ВВЕДЕНИЕ.
Человечество уже много сотен лет решает задачи различного плана. Задачи ставила перед человеком природа, защита собственной жизни, постройка жилища. В зависимости от решения жизнь была то легче, то труднее. Много лет решению уделялось все внимание, но однажды возник вопрос: как же составить задачу. С тех пор, наверное, прошел большой период времени, и математика продвинулась далеко вперед, став "царицей всех наук", а вопрос остался и сейчас, как кто-то тысячелетия назад, я спрашиваю: как составить задачу?
Эта тема уже довольно давно заинтересовала меня, я пыталась найти ответ на свой вопрос в разных источниках, но в большинстве из них были представлены лишь исходная задача, задача, полученная на ее основе, определение способа составления и ничего больше. Тогда, изучив различные материалы, я решила ответить на этот вопрос сама. В представленной работе и содержится ответ.
Так как задачи бывают разные: учебные, конкурсные, олимпиадные, задачи ловушки и т.д., конструировать их можно тоже по-разному: можно создавать условия задачи на основе собственных наблюдений, а можно - выбирая опорой какие-то данные. Именно этот вид конструирования и рассматривается в данной работе.
Решение задачи часто требует нестандартного аналитического мышления, а значит и ее составление требует того же. Существует несколько способов конструирования, их пять: Обобщение, Конструкция, Частный случай, Перефразировка, Варьирование условий.
К каждому из них был составлен алгоритм конструирования, который упрощает составление задачи.
Данная работа состоит из Введения, пяти глав и Заключения. Каждая часть представляет один из способов конструирования задач, некоторые из них содержат задачи, составленные по данному алгоритму.
1. ПЕРЕФРАЗИРОВКА.
Этот прием делится на несколько видов, первый из которых так и называется: перефразировка.
1.1. Перефразировка.
Этот способ конструирования можно использовать для самоконтроля. Если человек легко может перефразировать задачу, значит, он знает, что дано, и что нужно получить, видит соотношения между ними. Если он овладел и способом решения, то в дальнейшем без особых усилий сможет решить любую подобную задачу.
Алгоритм конструирования:
1.1.1. Выделение опорных утверждений.
Задачи бывают разные: на нахождение и на доказательство; в задачах на доказательство основными понятиями являются условие и заключение; в задачах на нахождение - данные и искомые величины. В задачах на нахождение часто особо выделяют задачи на построение какой-либо геометрической фигуры. Задачи на нахождение и задачи на доказательство тесно связаны. Чаще всего, узнав доказательство той или иной теоремы, учащиеся решают задачи на нахождение, в которых теорема находит свое непосредственное применение.
1.1.2. Решение задачи.
Это необходимо для того, что бы в дальнейшем проверить, не повлияла ли перефразировка на ход решения и результат задачи.
1.1.3. Выбор утверждений для перефразировки и их изменение.
Чаще всего это замена какого-либо термина или определения, что помогает "завуалировать" утверждение или действие.
1.1.4. Перефразировка.
1.1.5. Решение полученной задачи.
Пример1:
Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне".
("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)
1.1.1. Основные понятия: треугольник, вписанный в окружность, а=2Rsina.
1.1.2. Дано: АС^ВК; окр.О; ВК - диаметр; АВС.
Доказать: проекция АС равна АВ.
Доказательство:
Т.к. треугольник вписан в окружность, то из вершины В можно провести диаметр ВК. Соединив точку К с вершиной А, получим ÐВАК=ÐСВА, т.к. они имеют общую хорду АВ. Пусть ВС=а,Ð АКВ=a, тогда, т.к. ВК -диаметр, АВК - прямоугольный, то (по теореме синусов) а=2Rsina.Ч.т. д.
1.1.3. Фразу "сторона равна произведению двух радиусов на синус противолежащего угла" можно заменить на "проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне на другую сторону, равна третьей стороне", т.к. смысл не изменится.
1.1.4. Полученная в итоге задача выглядит так: "Докажите, что для вписанного в окружность треугольника проекция диаметра, перпендикулярного одной стороне, на другую сторону, равна третьей стороне",
(ж. “Квант”)
В этой задаче специально используются "лишние" данные, чтобы задача была более красивой и ...запутанной.
1.1.5. Решение этой задачи точно такое же, как и у исходной задачи, поэтому оно не приводится.
1.2. Замена фигуры.
Алгоритм конструирования:
1.2.1. Выделение основной фигуры задачи.
1.2.2. Решение задачи.
1.2.3. Замена фигуры и уточнение полученной задачи.
Пример 2:
Задача: " На плоскости отмечено пять точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте пятиугольник, в котором данные точки являются серединами сторон".
( "Как задать вопрос?" Н.П. Тучнин).
1.2.1. Основная фигура задачи - пятиугольник.
1.2.2. Дано: т.В1, В2, В3, В4, В5.
Найти: т. А1, А2, А3, А4, А5.
Решение:
Для наглядности начертим на плоскости пятиугольник и отметим середины сторон, как если бы задача была решена. Проведем в пятиугольнике диагональ и получим две фигуры: четырехугольник и треугольник, середины сторон четырех-
угольника являются вершинами параллелограмма. Соединив точки В2, В3, В4, получим треугольник и достроим его до параллелограмма и найдем середину диагонали, которая параллельна прямой В1 В5 (по теореме о средних линиях треугольника). Таким образом, можно легко построить точки А1, А2 и А5, а зная их и А3, А4, при помощи параллелограмма.
1.2.3. Пусть будет не пятиугольник, семиугольник. Для этого нужно взять не пять, а семь точек, любые три из которых не лежат на одной прямой. В результате получается довольно трудная задача: " На плоскости отмечены семь точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Постройте семиугольник, для которого эти точки являются серединами сторон". ( Составлена самостоятельно).
1.3. Перевод задачи с геометрического языка на алгебраический.
В результате таких преобразований обычно получаются красивые и интересные задачи, которые имеют сложное решение. Этот способ перефразировки иллюстрирует тесное взаимодействие алгебры и геометрии. Конечно, перевод возможен не только с геометричес- кого языка на алгебраический, но и наоборот, хотя решение алгебраических задач на гео- метрическом языке встречается гораздо реже, ввиду сложности и характерности решения, присущего таким задачам.
Алгоритм конструирования:
1.3.1. Выбор условий, которые можно заменить алгебраическими выражениями.
1.3.2. Решение задачи.
1.3.3. Изменение условий.
1.3.4. Редактирование формулировки.
1.3.5. Решение полученной задачи.
Пример 3:
Задача: "Если треугольник вписан в окружность, то любая его сторона будет равна произведению двух радиусов этой окружности на синус угла, противоположного этой стороне".
("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)
1.3.1. В данном случае перефразировки обычно берутся не отдельные фразы или термины, а части фигур (стороны, углы, диагонали и т.д.).
Условия для перевода: сторона СВ треугольника АВС, сторона АК треугольника АВК, ÐВАС, ÐАВК, радиус и диаметр.
1.3.2. Решение этой задачи приведено в пункте 1.1.2.
1.3.3. Пусть СВ=а, АК=в, ÐВАС=a, ÐАВК=b, ВК=х, ОН (радиус)=у.
1.3.4. Конечная формулировка выглядит так: “Найти отношение а к в системе:
а= sin
a
х
в= sin
b
у, на основании теоремы синусов”. (Составлена самостоятельно).
1.3.5. Решение: по теореме синусов, а=2 Rsina , тогда выражения а= sinaх, в= sinbу будут частными случаями теоремы, в этом случае sin a =Ö3/2, sinb=1/2, а х и у - диаметр и радиус соответственно, х=2у,Þв=у, Þа=2×Ö3в/2, Þа/в=1/Ö3.
Ответ: а/в=1/Ö3.
1.4. Переход от прямого утверждения к обратному.
Некоторые задачи и теоремы имеют одну интересную особенность: они верны, если их решать от начала до конца, и если логическая цепочка выводов движется в обратном направлении, т.е. данные и искомые величины могут меняться местами.
Алгоритм составления:
1.4.1. Выявление данных и искомых величин.
1.4.2. Решение задачи или доказательство теоремы.
1.4.3. Переход данных величин в искомые и наоборот.
1.4.4. Повторное решение в обратном направлении.
1.4.5. Точная формулировка задачи.
Хочется отметить, что далеко не каждая задача имеет обратный перевод.
Пример 4:
Задача: "Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм"
("Геометрия 7-11" А.В. Погорелов)
1.4.1. Данное: диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, искомое: параллелограмм.
1.4.2. Дано: АС^ВК, ВО=ОК, АО=ОС.
Доказать: АВСК - параллелограмм.
Доказательство:
ВО=ОК (по условию), АО=ОС (по условию), ÐВОС=ÐАОК (вертикальные), то ВОС= АОК, ÞАК= ВС, ÐОАК=ÐВСО, а т.к. это внутренние накрест лежащие, то АК½½ВС, аналогично АВ=СК и АВ½½СК,Þ АВСК - параллелограмм.
1.4.3. Данные: параллелограмм; искомые: диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
1.4.4. Повторное решение: АК½½ВС,ÞÐКАО=ÐВСО, ÐАКО=ÐСВО и АК=ВС, Þ АОК= СОВ и АО=ОС, а ВО=ОК.
1.4.5. Формулировка задачи: "Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам". (Составлена самостоятельно).
2. КОНСТРУКЦИЯ.
В задачах этого типа выстраивается сооружение, в качестве деталей которого берутся задачи или теоремы, но данный способ конструирования имеет и обратный переход: чаще всего сложную задачу можно разложить на более простые составляющие, что применяется для решения сложных задач и называется "Частный случай", который рассматривается в следующем пункте.
Преобразование задач одного типа в задачи другого типа – одно из простейших творческих упражнений и часто рекомендуется для самостоятельной работы.
Некоторые задачи конструируются авторами под понравившуюся идею решения. Так же можно сконструировать задачу "под ответ".
Алгоритм конструирования:
2.1. Выбор задачи, утв
2.2. Решение задач или доказательство утверждений (если задача конструируется под ответ или способ решения этот пункт можно исключить).
2.3. Выбор "деталей" для будущей конструкции (данный пункт также необходим лишь в том случае, когда используются задачи или теоремы).
2.4. Соединение или корректировка выбранных данных.
2.5. Уточнение формулировки.
2.6. Решение получившейся задачи.
Пример 5:
В качестве иллюстрации этого способа конструирования выбрана довольно редко встречающаяся задача-ловушка, которая будет сконструирована под специально подобранные данные.
2.1. В данном случае основой задачи выступает выпуклый четырехугольник с заданными сторонами, две из которых равны одному числу, а две оставшиеся - другому.
2.4. Пусть этот четырехугольник будет иметь длины сторон 6 и 10, и лежать в основании четырехугольной пирамиды, высота которой равна 7, а грани наклонены к плоскости под углом 60°.
2.5. Уточнение формулировки: "В основании четырехугольной пирамиды лежит выпуклый четырехугольник, две стороны которого равны 6 , а две оставшиеся - 10, высота пирамиды равна 7, боковые грани наклонены к плоскости под углом 60
°
. Найдите объем пирамиды", (ж. “Квант”).
2.6. Дано: АВ=ВС=6, АК=КС=10, h=7, угол к плоскости 60, ОАВСК - пирамида, АВСК - четырехугольник.
Найти: V
АВСКО.
Решение:
Двугранные углы при основании равны или 60° или 120°(по условию, но не обязательно 60°, в чем и состоит ловушка), вершина О проектируется в точку, равноудаленную от прямых, образующих четырехугольник, Þ АВСК - не параллелограмм, значит, две соседние стороны равны 6, а две другие, также соседние, 10.
Если у четырехугольника АВСК АВ=ВС=10, АК=КС=6, то существуют две равно - удаленные от его сторон точки (О1 и О2). Расстояния от проекции вершины О до сторон пирамиды равны 7/Ö3 (следствие из условия). Если проекция вершины - точка О1 (центр вписанной в АВСК окружности), то S
АВСК=16×7/Ö3, но это невозможно, т.к. S
АВСК £60
(наибольшая площадь достигается, если углы ÐКАВ и ÐВСК прямые, тогда
S
АВСК = 1/2d1× d2×sin(d1d2)=1/2×8×15× sin 90°=60,Þвершина О проектируется в точку О2,расстояния от которой до сторон равны 7/Ö3, тогда S
АВСК = =(10 - 6) 7/Ö3= 28/Ö3 , а V
АВСКО=64/Ö3.
Ответ: V
АВСКО=64/Ö3.
3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ.
Иногда поставленная задача оказывается настолько трудной, что не поддается решению, тогда используется следующий способ: решается часть задачи или рассматривается несколько задач, аналогичных данной, что и называется использованием “частного случая”. Бывает, что преподавателю не хватает какой-то простой задачи для иллюстрации новой теоремы, тогда тоже может помочь “частный случай”.
В истории есть примеры того, что обобщенные теоремы не находят применения, а их “частные случаи” получают широкое распространение и являются одними из важнейших среди прочих теорем математики (примером подобной ситуации может послужить теорема Паппа и ее “частный случай” теорема Пифагора).
Алгоритм конструирования:
3.1. Решение сложной конструкции
3.2. Детализирование задачи.
3.3. Изменение условий.
3.4. Объяснение возможного изменения решения.
3.5. Соединение и уточнение условий.
3.6. Решение полученной задачи.
Пример 6:
Задача: "Произведение диагоналей вписанного четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон. (Теорема Птолемея)"
(ж. " Квант"№4 1991г.")
3.1. Дано: окр., АВСК - вписанный четырехугольник, АС и ВК - диагонали.
Доказать: ВК × АС= СК ×АВ + ВС ×АК.
Доказательство:
Возьмем на диагонали АС точку М такую, что ÐАВМ= ÐСВК. Поскольку
угол ÐСКВ=ÐМАВ (как вписанные), ВСК подобен АВМ, поэтому ВК: АВ=СК: АМ Û АВ×СК=АМ×ВК(1). Из того, что ÐАВК=ÐМВС (по построению), а Ð ВСМ= ÐАКВ (вписанные), следует, что АВК подобен МВС,ÞАК: СМ= ВК: ВСÛ АК×ВС=ВК× СМ (2).
Сложив почленно (1) и (2), получаем ВК ×АС=СК ×АВ + ВС ×АК, что и требовалось доказать.
3.2. Итак, теорему можно поделить на группу терминов: "произведение диагоналей", "вписанный четырехугольник" и "сумма произведений противоположных сторон".
3.3. Для того чтобы получить частный случай теоремы Птолемея, выбран термин "вписанный четырехугольник", который изменяется на "вписанный квадрат".
3.4. В результате изменения условий, изменяется и решение: точка М переносится в центр окружности, который является и точкой пересечения диагоналей квадрата.
3.5. Полученная задача выглядит так: “Докажите, что квадрат стороны вписанного квадрата равен двум площадям этого квадрата”. (Составлена самостоятельно).
3.6. Решение:
Дано: АВСК - вписанный квадрат, АС и ВК - диагонали, О - центр окружности.
Доказать: ВК× ВК=2 S
АВСК.
Доказательство:
Т.к. ÐАВО=ÐСВК (диагональ квадрата является биссектрисой),
ÐСКВ=ÐОАВ (вписанные), ВСК подобен АВК,Þ АВ×АВ= АО×ВК (1).
Т.к.ÐАВК=ÐОВС (аналогично ÐАВО=ÐСВК), ÐВСО=ÐАОВ (вписанные), АВК подобен ОВС, Þ ВА×ВА=ВК×СО (2).
Сложив(1)и(2),получаем: ВК×ВК=ВА×ВА, т.к. ВА×ВА=2S
АВСК, ВК×ВК=2S
АВСК, что и требовалось доказать.
Хочется отметить, что "Частный случай" всегда решается проще образовавшей его задачи.
В некоторых случаях между данными и искомыми величинами в задаче общего характера существует сложная зависимость, и решить эту задачу элементарными методами не удается, в то время как частная задача этого типа имеет вполне простое и красивое решение.
4. ВАРЬИРОВАНИЕ УСЛОВИЙ.
Варьирование условий - способ конструирования задач, который может изменить решение и результат задачи путем замены всего одного слова, например, задача на построение треугольника по трем сторонам имеет элементарное решение, а если заменить "стороны" на "биссектрисы", решение многократно усложняется. Варьирование условий зачастую приводит к образованию целых циклов задач, очень похожих друг на друга по звучанию, но совершенно различных по типу и сложности решения. Варьирование бывает разным: в первом случае изменяется определение или термин, во втором - равенство или неравенство, причем эти два способа довольно сильно отличаются на практике, хотя и схожи в теории.
Алгоритм конструирования:
4.1. Выделение условий для изменения.
4.2. Изменение выбранных условий.
4.3. Уточнение формулировки.
Пример 7:
Задача: "На плоскости даны две точки: А и В. Найдите геометрическое место точек плоскости С таких, что для треугольника АВС имеет место равенство: ah
а
=вh
в
(где h
а
и h
в
- высоты, опущенные на стороны а и в).
(ж. "Квант" №9, 1991г.)
4.1. Т. к. в задаче используется равенство, то для изменения выбраны его члены: а и в .
4.2. Пусть а изменится на проведенную к ней медиану ма, а в - на медиану мв.
4.3. Итоговая формулировка: "На плоскости даны две точки: А и В, найдите геометрическое место точек С таких, что для треугольника имеет место равенство:
м
в
×
h
а
=h
в
×
м
а
", (ж. “ Квант”).
5. ОБОБЩЕНИЕ.
Обобщение - один из первых способов получения новых задач и теорем, хотя далеко не каждую задачу или теорему можно обобщить. Бурный процесс обобщения математических знаний и создание все более и более абстрактных теорий начались в девятнадцатом веке, и продолжается до сих пор.
В процессе развития математики многие математические понятия претерпевали значительные изменения в сторону обобщения. Некоторые первоначальные определения с более общей точки зрения оказывались неудачными, и их приходилось изменять, давать новые наименования.
Алгоритм конструирования:
5.1. Выявление возможности обобщения.
5.2. Обобщение выбранного факта.
5.3. Уточнение формулировки.
Обобщение - очень емкое понятие, это и получение более абстрактных понятий, и перенос утверждения на более широкое множество объектов, и получение новых интерпретаций, и перенос утверждения задачи из плоскости в пространство. С одним из самых простых обобщений является преобразование числовой задачи, путем замены числовых данных буквами-символами. Как ни элементарно подобное обобщение, оно может привести к интересным выводам, а иногда и к созданию новых формул.
Пример 8:
Теорема: "Основание хотя бы одной высоты треугольника лежит на соответствующей стороне, а не на ее продолжении",
(ж. "Квант" №9, 1991г.)
5.1. Возможно перенести утверждение теоремы из плоскости в пространство, а конкретнее: изменить плоскую фигуру на объемную.
5.2. Термин "Треугольник" при выходе в пространство трансформируется в "тетраэдр"
5.3. Новая теорема выглядит так: "Для любого тетраэдра основание хотя бы одной высоты принадлежит соответствующей грани тетраэдра". (ж. “Квант”).
Заключение.
Материал, представленный в данной работе, имеет значение как для учителей, так и для учащихся. Свое применение для педагогов он может найти как пособие для составления задач конкретно к каждому уроку, если в учебниках и различных методических пособиях не найдется необходимых сведений. Учащимся данная работа поможет не растеряться перед сложной или объемной задачей, потому что, зная как задача была составлена, найти решение гораздо проще.
Разобранная тема необходима для изучения истории возникновения задач, для составления и решения как простых, так и сложных не только математических, но и жизненных заданий. Возможно, ее значение для большой науки не так уж велико, но на примере разобранных в ней приемов конструирования можно научится выделять опорные пункты в задаче, или же наоборот, обобщать. Важно то, что данная тема – путь к бесконечному творчеству, а какой его вид выберет человек – решать только ему.
ЛИТЕРАТУРА:
1. Н.П. Тучнин "Как задать вопрос?"
2. И. Шарыгин "Откуда берутся задачи?"
3. А.В. Погорелов "Геометрия 7-11"
4. Журналы "Квант"
5. М.И. Сканави "Сборник задач по математике для поступающих в
ВУЗы"
6. В.М. Финкельштейн "Когда задача не выходит".