Задача 1
Решить систему линейных уравнений двумя способами: по формулам Крамера и методом Гаусса
Решение:
1) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Крамера
Определитель системы D не равен нулю. Найдем вспомогательные определители D1
, D2
, D3
, если они не равны нулю, то решений нет, если равны, то решений бесконечное множество
Система 3 линейных уравнений с 3 неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда совместна и имеет единственное решение, вычисляемое по формулам:
Ответ: получили решение:
2) решим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений Ах = В методом Гаусса
Составим расширенную матрицу системы
Примем первую строку за направляющую, а элемент а11
= 1 – за направляющий. С помощью направляющей строки получим нули в первом столбце.
Матрице
соответствует множество решений системы линейных уравнений
Ответ: получили решение:
Задача 2
Даны координаты вершин треугольника АВС
Найти:
1) длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
4) уравнение медианы АЕ;
5) уравнение и длину высоты CD;
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Построить заданный треугольник и все линии в системе координат.
А(1; -1), В(4; 3). С(5; 1).
Решение
1) Расстояние между точками А(х1
; у1
) и В(х2
; у2
) определяется по формуле
воспользовавшись которой находим длину стороны АВ;
2) уравнения сторон АВ и ВС и их угловые коэффициенты;
Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки плоскости А(х1
; у1
) и В(х2
; у2
) имеет вид
Подставляя в (2) координаты точек А и В, получаем уравнение стороны АВ:
Угловой коэффициент kАВ
прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =
kx
-
b
.
У нас , то есть откуда
Аналогично получим уравнение прямой ВС и найдем ее угловой коэффициент.
Подставляя в (2) координаты точек В и С, получаем уравнение стороны ВС:
Угловой коэффициент kВС
прямой ВС найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у =
kx
-
b
.
У нас , то есть
3) внутренний угол при вершине В в радианах с точностью до 0,01
Для нахождения внутреннего угла нашего треугольника воспользуемся формулой:
Отметим, что порядок вычисления разности угловых коэффициентов, стоящих в числителе этой дроби, зависит от взаимного расположения прямых АВ и ВС.
Подставив ранее вычисленные значения kВС
и kАВ
в (3), находим:
Теперь, воспользовавшись таблицами инженерным микрокалькулятором, получаем В » 1,11 рад.
4) уравнение медианы АЕ;
Для составления уравнения медианы АЕ найдем сначала координаты точки Е, которая лежит на середине отрезка ВС
Подставив в уравнение (2) координаты точек А и Е, получаем уравнение медианы:
5) уравнение и длину высоты CD;
Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку М(х0
; у0
)с заданным угловым коэффициентом k
, которое имеет вид
и условием перпендикулярности прямых АВ и CD, которое выражается соотношением kAB
kCD
= -1, откуда kCD
= -1/kAB
= - 3/4
Подставив в (4) вместо k значение kС
D
= -3/4, а вместо x
0
,
y
0
ответствующие координаты точки С, получим уравнение высоты CD
Для вычисления длины высоты СD воспользуемся формулой отыскания расстояния d от заданной точки М(х0
; у0
) до заданной прямой с уравнением Ax+ By + С = 0 , которая имеет вид:
Подставив в (5) вместо х0
; у0
координаты точки С, а вместо А, В, С коэффициенты уравнения прямой АВ, получаем
6) уравнение прямой, проходящей через точку Е параллельно стороне АВ и точку М ее пересечения с высотой CD;
Так как искомая прямая EF параллельна прямой АВ, то kEF
= kAB
= 4/3. Подставив в уравнение (4) вместо х0
; у0
координаты точки Е, а вместо k значение kEF
получаем уравнение прямой EF'.
Для отыскания координат точки М решаем совместно уравнения прямых EF и CD.
Таким образом, М(5,48; 0,64).
7) уравнение окружности с центром в точке Е, проходящей через вершину В
Поскольку окружность имеет центр в точке Е(4,5; 2) и проходит через вершину В(4; 3), то ее радиус
Каноническое уравнение окружности радиуса R с центром в точке М0
(х0
; у0
) имеет вид
Имеем
Треугольник АВС, высота СD, медиана AE, прямая EF , точка M и окружность построенная в системе координат x0у на рис.1
Рис. 1
Задача 3
Составить уравнение линии, для каждой точки которой ее расстояние до точки А (2; 5) равно расстоянию до прямой у = 1. Полученную кривую построить в системе координат
Решение
Пусть М (x
, у
) - текущая точка искомой кривой. Опустим из точки М перпендикуляр MB на прямую у = 1 (рис.2). Тогда В(х; 1). Так как МА = MB , то
Pиc. 2
Полученное уравнение определяет параболу с вершиной в точке С(5; -1,5) и ветвями, направленными вверх (см. рис 2).
Задача 4
Найти указанные пределы:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
Задача 5
Найти производные
dy
/
dx
, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Решение:
а)
Ответ:
б)
Ответ:
в)
Ответ:
Задача 6
Исследовать заданные функции методами дифференциального исчисления, начертить их графики.
а)
; б)
Решение
а)
1) Областью определения данной функции являются все действительные значения аргумента х, то есть D(y) = {х: хÎ(-¥,+¥)}, а это значит, что функция непрерывна на всей числовой прямой и ее график не имеет вертикальных асимптот.
2) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Решая полученное квадратное уравнение, делаем вывод о том, что функция имеет две критические точки первого рода х1
= 1, х2
= 2.
Разбиваем область определения этими точками на части и по изменению в них знака производной функции выявляем промежутки ее монотонности и наличие экстремумов:
| х | (-¥; 1) | 1 | (1; 2) | 2 | (2; ¥) |
| f ’(x) | + | 0 | - | 0 | + |
| f(x) | max | min |
3) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак, функция имеет одну критическую точку второго рода х = -1,5. Разобьем область определения полученной точкой на части, в каждой из которых установим знак второй производной:
| х | (-¥; 1,5) | 1,5 | (1,5; ¥) |
| f ‘’(x) | - | 0 | + |
| f(x) | Ç | т. п. | È |
Значение х = 1,5 является абсциссой точки перегиба графика функции, а ордината этой точки:
4) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx – b воспользуемся формулами
Таким образом, у графика заданной функции наклонных асимптот нет.
5) построим график функции
б)
1) Областью определения данной функции являются значения аргумента х
D(y) = хÎ(-¥,0)È(0, +¥).
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х = 0. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Итак точка х = 0 – точка разрыва второго рода, а прямая х = 0 – вертикальная асимптота.
3) Исследуем функцию на экстремумы и интервалы монотонности. С этой целью найдем ее производную и приравняем к нулю:
Следовательно, функция не имеет критических точек первого рода.
Так как y’ < 0 для всех х, то функция убывает во всей области определения
4) Определим точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Для этого найдем вторую производную заданной функции и приравняем ее к нулю:
Итак функция не имеет точек перегиба. Разобьем область определения точкой х = 1 в каждой из которых установим знак второй производной:
| х | (-¥; 0) | 0 | (0; ¥) |
| f ‘’(x) | - | не существует | + |
| f(x) | Ç | не существует | È |
5) Выясним наличие у графика заданной функции асимптот. Для определения параметров уравнения асимптоты y = kx + b воспользуемся формулами
Таким образом, у графика заданной функции есть наклонная асимптота
y = 0*x + 1 = 1.
6) построим график функции