Предприятию для изготовления наборов елочных украшений необходимо изготовить их составные части - шар, колокольчик, мишура. Эти данные представлены в таблице:
| Наименование составных частей | Виды наборов | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Шар | 5 | 6 | 8 | 10 |
| Колокольчик | 3 | 4 | 6 | 0 |
| Мишура | 0 | 3 | 5 | 8 |
В свою очередь для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в г), папье-маше (в г), фольга (в г), потребности в котором отражены в следующей таблице
| Вид сырья | Составные элементы | ||
| Шар | Колокольчик | Мишура | |
| Стекло | 5 | 0 | 0 |
| Папье-маше | 0 | 4 | 0 |
| Фольга | 3 | 0 | 75 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению комплектов первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1
, x2,
x3
и x4
штук;
2) провести подсчеты для значений x1
= 500, x2
= 400, x3
= 300 и x4
=200.
Решение: составим условия для определения числа деталей в зависимости от числа и вида наборов. Пусть n1
, n2
и n3
- число шаров, колокольчиков и мишуры, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1
= 5x1
+ 6x2
+ 8x3
+ 10x4
n2
= 3x1
+ 4x2
+ 6x3
n3
= 3x2
+ 5x3
+ 8x4
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1
, y2
и y3
- потребности в стекле, папье-маше и фольге, соответственно:
y1
= 5n1
y2
= 4n2
y3
= 3n1
+ 75n3
Теперь подставим вместо ni
- полученные ранее равенства.
y1
= 5· (5x1
+ 6x2
+ 8x3
+ 10x4
) = 25x1
+ 30x2
+ 40x3
+ 50x4
y2
= 4· (3x1
+ 4x2
+ 6x3
) = 12x1
+ 16x2
+ 24x3
y3
= 3· (5x1
+ 6x2
+ 8x3
+ 10x4
) + 75· (3x2
+ 5x3
+ 8x4
) = 15x1
+ 243x2
+ 399x3
+ 630x4
Проведем подсчеты для значений
x1
= 500, x2
= 400, x3
= 300 и x4
=200.
y1
= 25 * 500 + 30 * 400 + 40 * 300 + 50 * 200 = 46500 г.
y2
= 12 * 500 + 16 * 400 + 24 * 300 = 19600 г.
y3
= 15 * 500 + 243 * 400 + 399 * 300 + 630 * 200 = 350400 г.
Задание
2
Пусть aij
-
количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi
-
стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij
и bi
заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1
· A · X = A-1
· B; E · X = A-1
· B; X = A-1
· B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 12 * 9 * 1 + 6 * 8 * 10 + 15 * 5 * 11 - 15 * 9 * 8 - 6 * 5 * 1 - 12 * 10 * 11 = - 1017
;
=
X =· = =
Решим систему методом Крамера
Δ = - 1017
Δ1
= = 231 * 9 * 1 + 238 * 8 * 10 + 216 * 5 * 11 - 216 * 9 * 8 - 238 * 5 * 1 - - 231 * 10 * 11 = - 9153
Δ2
= = 12 * 238 * 1 + 6 * 8 * 216 + 15 * 231 * 11 - 15 * 238 * 8 - 6 * 231 * 1 - 12 * 216 * 11 = - 7119
Δ3
= = 12 * 9 * 216 + 6 * 231 * 10 + 15 * 5 * 238 - 15 * 9 * 231 - 6 * 5 * 216 - 12 * 10 * 238 = - 11187
x1
= Δ1/
Δ = - 9153/ (- 1017) = 9
x2
= Δ2/
Δ = - 7119/ (- 1017) = 7
x3
= Δ3/
Δ = - 11187/ (- 1017) = 11
Решим систему методом Гаусса
=> => =>
=> => = >
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана функция спроса , где p1
, p2
- цены на первый и второй товары соответственно. Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров. В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
Решение: эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность положительная, следовательно, второй товар - альтернативный.
Товары являются товарами заменителями, т.к рост цен на альтернативный товар приводит к росту спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов.
Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую.
Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
| Месяц | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Товарооборот, (тыс. р) | 18 | 5,6 | 30,5 | 59,3 | 59,3 | 42 | 96,4 | 72,6 | 56,8 | 52 | 38,6 | 33 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2
, Sу2
.
| t | y | x | yx | x2
|
y2
|
|
| 1 | 18,0 | 1 | 18 | 1 | 324,00 | 33,662 |
| 2 | 5,6 | 2 | 11,2 | 4 | 31,36 | 36,089 |
| 3 | 30,5 | 3 | 91,5 | 9 | 930,25 | 38,516 |
| 4 | 59,3 | 4 | 237,2 | 16 | 3516,49 | 40,943 |
| 5 | 59,3 | 5 | 296,5 | 25 | 3516,49 | 43,37 |
| 6 | 42,0 | 6 | 252 | 36 | 1764,00 | 45,797 |
| 7 | 96,4 | 7 | 674,8 | 49 | 9292,96 | 48,224 |
| 8 | 72,6 | 8 | 580,8 | 64 | 5270,76 | 50,651 |
| 9 | 56,8 | 9 | 511,2 | 81 | 3226,24 | 53,078 |
| 10 | 52,0 | 10 | 520 | 100 | 2704,00 | 55,505 |
| 11 | 38,6 | 11 | 424,6 | 121 | 1489,96 | 57,932 |
| 12 | 33,0 | 12 | 396 | 144 | 1089,00 | 60,359 |
| Итого | 564,1 | 78 | 4013,8 | 650 | 33155,51 | 564,13 |
;
;
;
;
Уравнение регрессии:
= 31,235 + 2,427 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных.
Найдем прогноз на полгода вперед:
= 31,235 + 2,427 * 18 = 74,921 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
= 31,235 + 2,427 * 24 = 89,483 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов.
= 4x3
+ 2xy2
; 4x3
+ 2xy2
= 0; 2x (2x2
+ y2
);
2x = 0 или (2x2
+ y2
) = 0; точка (0, 0)
= 4y3
+ 2x2
y; 4y3
+ 2x2
y = 0; 2y (x2
+ 2y2
);
2y = 0 или (x2
+ 2y2
) = 0; точка (0, 0)
Найдем вторые производные и их значения в точке (0; 0)
= 12x2
+ 2y2
; 12 * 02
+ 2 * 02
= 0 = А
= 2xy; 2 * 0 * 0 = 0 = B
= 12y2
+ 2x2
; 12 * 02
+ 2 * 02
= 0 = C
Δ = AC - B2
= 0
Следовательно, вопрос об экстремуме остается открытым.
Точка (0; 0) возможный экстремум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y- количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 21, В = 37.
Решение: полезность максимальна при равенстве первых производных:
= ; = ; = ; =
Ограничение стоимости задается неравенством 21x + 37y ≤ 140
Составим систему.
; ; ;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 2,14 ед. А и 2,57 ед.в.
Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
и ,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); = ; ; - t2
- 6t + 300 = 0
t1
= - 25,12 и t2
= 16,72, t1
- не удовлетворяет условию
; Q = 279,56 ед.
При этом цена составит: Р = 6 * 16,72 = 100,32 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
Sпотр
= - 100,32 · 279,56 = - 28045,46 =
= 300 * 279,56 - 5/14 * 279,56 - 28045,46 = 55722,7
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
Sпроизв
= 100,32 · 279,56 - = 28045,46 - =
= 28045,46 - 4 * 16,723
= 9348,6
Литература
1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. И.А. Зайцев. Высшая математика. - М.: Высшая школа, 1998.
4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.