Контрольная работа
по высшей математике
по теме:
Решения неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Комплексные числа
Выполнила:
Студентка II курса
Экономического факультета
Очного отделения
2007г
I.
у″ - 4y′ + 4y = соs4х
у = U + у(_) - общ. реш. н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2
- 4k + 4 = 0
k1; 2
= 2
1) U =?
U = C1
e2
x
+ С2
е2х
∙ х
2) у(_) =? у(_)= Acos4x + Bsin4xy(_)′ = - 4Asin4x + 4Bcos4x
y″ = - 16Acos4x - 16Bsin4x
16Acos4x - 16Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x + 4Acos4x +4Bsin4x =
= cos4x + 0 ∙ sin4x
12Acos4x - 12Bsin4x + 16Asin4x + 16Bcos4x = cos4x + 0 ∙ sin4x
12A + 16A = 016B - 12B = 0
4A = 04B = 0
A = 4 B = 4
y(_) = 4cos4x + 4sin4x
y = C1
e2x
+ C2
e2x
· x + 4cos4x + 4sin4x - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С1
e2
x
+ 2C2
e2
x
· x- 16sin4x + 16cos4x
1 = C1
+ C2
+ 4С1
+ С2
= 3 С1
+ 13 = 3
0 = 2C1
+ 2C2
+ 162С1
+ 2С2
= 16
С1
+ С2
= 13
С1
= - 10С2
= 13
у = - 10е2х
+ 13е2х
· x + 4cos4x + 4sin4x- частное решение при заданных условиях
II.
у″ - 4y′ + 4y = 5х2
+ 3х + 1
у = U + у(_) - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2
- 4k + 4 = 0
k1; 2
= 2
1) U =?
U = C1
e2
x
+ С2
е2х
∙ х
2) у(_) =? у(_) = Ах2
+ Вх + Сy(_)′ = 2Ах + В
у″ = 2А
2А - 8В + 4В + 4Ах + 4Вх + 4С = 5х2
+ 3х + 1
4А = 5А = 5/4 В = 3 С = 1/4
8А + 4В = 3
2А - 4В + 4С = 1
у(_) = 5/4х2
+ 3 + 1/4
у = C1
e2
x
+ С2
е2х
∙ х + 5/4х2
+ 3 + 1/4 - общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2С1
e2
x
+ 2C2
e2
x
+ 5/2х - 1/8
1 = C1
+ C2
+ 5/4 C1
+ C2
= 1/4
0 = 2C1
+ 2C2
+ 5/22C1
+ 2C2
= 5/2
C1
+ С2
= 9/4
C1
= - 2С2
= 9/4
у = - 2e2
x
+ 9/4е2х
∙ х + 5/4х2
+ 3 + 1/4 - частное решение при заданных условиях.
III.
у″ - 4у′ + 4у = 2е5х
у = U + у(_) - общее решение н. д. у.
у″ - 4у′ + 4у = 0
k2
- 4k + 4 = 0
k1; 2
= 2
1) U =?
U = C1
e2
x
+ С2
е2х
∙ х
2) у(_) =? у(_) = Ае5х
y(_)′ = 5А5х
у″ = 25Ае5х
25Ае5х
- 20Ае5х
+ 4А5х
= 2е5х
9А5х
= 2е5х
А = 2/9 у(_) = 2/9е5х
у = C1
e2
x
+ С2
е2х
∙ х + 2/9е5х -
общее решение н. д. у.
Найдем частное решение при условии:
у (0) = 1 у′ (0) = 0
у′ = 2C1
e2
x
+ 2С2
е2х
∙ х + 10/9е5х
1 = C1
+ С2
+ 2/9C1
+ С2
= 7/9
0 = 2C1
+ 2С2
+ 10/92C1
+ 2С2
= 10/9
C1
+ С2
= 1/3
C1
+ 1/3 = 7/9
С1
= 4/9 С2
= 1/3
у = 4/9e2
x
+ 1/3е2х
∙ х + 2/9е5х -
частное решение при заданных условиях.
Комплексные числа
Ö - 1 = i- мнимое число
(Ö - 1) 2
= i2
i2
= - 1
i3
= i2
∙ i = - 1 ∙ i= - i
i4
= i2
∙ i2
= ( - 1) ∙ ( - 1) = 1
а + вi - комплексные числа, где: а, в - действительные числа или а, в є R
Геометрический смысл комплексного числа:
в
. (а; в)
ρ в ρ = Ö а 2 + в 2 = çа + вiú
) d а
а d = arctg в/а –
аргумент комплексного числа
(находится с учетом четверти)
tg
нет
| d | 0 0 | П/6 | П/4 | П/3 | П/2 |
| tg | 0 | Ö 3/ 3 | 1 | Ö 3 | --- |
- +
0 0
+ -
нет
cosd = a / ρ a = ρcosd
sind = в / ρ в = ρsind
а + вi = ρcosd + i ρsind
а + вi = ρ (cosd + i sind) –
комплексное число в тригонометрической форме
Действия с комплексными числами:
Сложение:
а1
+ в1
i + а2
+ в2
i = а1
+ а2
+ (в1
+ в2
) i
Умножение
(а1
+ в1
i) (а2
+ в2
i) = а1
а2
+в1
в2
i2
+ а1
в2
i
а1
а2 -
в1
в2
+ (в1
а2
+ а2
в2
) i
Формула Эйлера: Комплексное число в показательной форме:
е i
у
= cosу + isinу z = ρе i φ
Примеры по возведению комплексного числа в степень в тригонометрической и показательной формах:
1) (
7 + 3i) (3 + 7i) = 21 + 21i 2
+ 9i + 49i = 58i
(7 + 3i) = Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) = е ln
Ö
58
×
е arctg 3/7
= е ln
Ö
58 + i arctg 3/7
ρ1
= Ö 58
φ1
= arctg 3/ 7
(3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) = е ln
Ö
58
×
е arctg 7/ 3
= е ln
Ö
58 + i arctg 7/ 3
ρ2
= Ö 58
φ2
= arctg 7/ 3
Ö 58 (cosarctg 3/ 7 + isinarctg 3/ 7) Ö 58 (cosarctg 7/ 3 + isinarctg 7/ 3) =
= 58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3))) =
= е ln 58
×
е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
= е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
При решении примера использовали формулу:
ρ1
(cosφ1
+ isinφ1
) ρ2
(cosφ2
+ isinφ2
) = ρ1
ρ2
(cos (φ1
+ φ2
) + i (sin (φ1
+φ2
))
Проверка:
е ln 58 + i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
= е ln 58
×
е i (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
=58 (cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) + i (sin (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7 + arctg 7/ 3) = cos (arctg 3/ 7) cos (arctg 7/ 3) -
sin (arctg 3/ 7) sin (arctg 7/ 3)
cos (arctg 3/ 7) = 1/ (Ö 1 + tg2
(arctg 3/ 7)) = 1/ Ö 1 + (9/49) = 7/Ö 58
cos (arctg 7/ 3) = 3/Ö 58
sin (arctg 3/ 7) = Ö 1 - cos2
arctg 3/ 7 = Ö 1 - (7/Ö 58) 2
= Ö 9/ 58 = 3/Ö 58 sin (arctg 7/3) = Ö 1 - cos2
arctg 7/ 3 = 7/Ö 58
cos (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 7/Ö 58 × 3/Ö 58 - 3/Ö 58 × 7/Ö 58 = 0
sin (arctg 3/ 7 - arctg 7/ 3) = 3/Ö 58× 3/Ö 58 × 3/Ö 58× 3/Ö 58 = 0
Возведение в степень:
(7 + 3i) (3 + 7i) = Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7) = е ln
Ö
58 + i arctg 3/7
(7 + 3i) 2
= 49 + 42i + 9i2
= 40 + 42i
(Ö 58 (cosarctg 3/7 + isinarctg 3/7)) 2
= 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7) =
= е ln
Ö 58 +
i
arctg 3/7
Проверка:
е ln
Ö
58 + i arctg 3/7
= 58 (cos2arctg 3/7 + isin2arctg 3/7)
cos2arctg 3/ 7 = 2cos2
arctg 3/7 - 1 = 2 × (7/Ö 58) 2
- 1 = 40/58
sin2arctg 3/ 7 = 2sin2
arctg 3/ 7 cosarctg 3/ 7 = 2 ∙ (3/Ö 58) ∙ (7/Ö 58) = 42/58
58 (40/58 + 42/58 ×i) = 40 + 42i
При решении примера применяли следующие формулы:
(ρ (cosd + i sind)) п
= ρп
(cosпd + i sinпd) п є N
е х +
iу
= е х
(cosу + isinу)
2) (
3 + 4i) (4 + 3i) = 12 + 12i 2
+ 16i + 9i = 25i
(3 + 4i) = 5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) = е ln 5
×
е arctg 4/ 3
= е ln 5 + i arctg 4/ 3
ρ1
= Ö 25 = 5
φ1
= arctg 4/ 3
(4 + 3i) = 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) = е ln 5
×
е arctg 3/ 4
= е ln 5 + i arctg 3/ 4
ρ2
= 5
φ2
= arctg 3/ 4
5 (cosarctg 4/ 3 + isinarctg 4/ 3) 5 (cosarctg 3/ 4 + isinarctg 3/ 4) =
= 25 (cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4))) =
= е ln 25
×
е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
= е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
При решении примера использовали формулу:
ρ1
(cosφ1
+ isinφ1
) ρ2
(cosφ2
+ isinφ2
) = ρ1
ρ2
(cos (φ1
+ φ2
) + i (sin (φ1
+φ2
))
Проверка:
е ln 25 + i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
= е ln 25
×
е i (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)
=25 (cos (arctg 4/ 3 +
+ arctg 3/ 4) + i (sin (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4)))
cos (arctg 4/ 3 + arctg 3/ 4) = cos (arctg 4/ 3) cos (arctg 3/ 4) -
sin (arctg 4/ 3) sin (arctg 3/ 4)
cos (arctg 4/ 3) = 1/ (Ö 1 + tg2
(arctg 4/ 3)) = 1/ Ö 1 + (16/ 9) = 3/ 5
cos (arctg 3/ 4) = 4/ 5
sin (arctg 4/ 3) = Ö 1 - cos2
arctg 4/ 3 = Ö 1 - 9/ 5 = 4/5
sin (arctg 3/ 4) = Ö 1 - cos2
arctg 3/ 4 = 3/ 5
cos (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 3/ 5 ×4/5 - 3/ 5 ×4/5 = 0
sin (arctg 4/ 3 - arctg 3/ 4) = 4/ 5 × 3/5 - 4/ 5 × 3/5 = 0
Извлечение корня третий степени из комплексного числа:
Применяем формулу:
п
Öρ (cosd + isind) = п
Öρ (cosd + 2Пк / п + isind + 2Пк / п) к є (0; 1;...; п - 1)
3
Ö 3 +4i = 3
Ö 25 (cosarctg 4/3 + 2Пк/3 +isinarctg 4/3 + 2Пк/3)
z1
= 6
Ö 25 (cosarctg (4/3) / 3 + isinarctg (4/3) / 3) к = 0
z2
= 6
Ö 25 (cosarctg (4/3 + 2П) / 3 + isinarctg (4/3 + 2П) / 3) к = 1
z3
= 6
Ö 25 (cosarctg (4/3 + 4П) / 3 + isinarctg (4/3 + 4П) / 3) к = 2