Выпускная квалификационная работа
«Символ О»
Содержание
Введение…………………………………………………………. Глава 1. Символ О……………………………………………….. §1. Основные определения, примеры…………………..…… §2. Основные соотношения.…………………………………. §3. Решение задач……………………………………………. Глава 2. Приложения символа О………………………………... §1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений действительного переменного..……………..……..…… §2. Асимптотическое решение интегралов…………………. §3. Асимптотическое вычисление суммы ряда…..………… Литература………………………………………………………... |
стр. 3 стр. 5 стр. 5 стр. 9 стр. 14 стр. 18 стр. 18 стр. 22 стр. 24 стр. 26 |
Введение
Слово асимптотика
имеет греческое происхождение и буквально означает «никогда не соединяющиеся». Изучая конические сечения, древнегреческие математики рассматривали, в частности, гиперболы, такие, как график функции ,
имеющий прямые y
= x
и y
= -x
своими «асимптотами». При кривая приближается к асимптотам, но никогда не соприкасается с ними. В наши дни слово «асимптотика» используется в более широком смысле для обозначения любой приближенной величины, которая становится все более точной по мере приближения некоторого параметра к предельному значению.
Точные решения, если их удается получить, - это замечательно: окончательный ответ вызывает чувство глубокого удовлетворения. Но и приближенное значение иногда оказывается в цене.
В 1894 году Пауль Бахман придумал обозначение для асимптотического анализа. В последующие годы его популярности способствовали Эдмунд Ландау и др. Мы встречаем это обозначение в формулах наподобие:
, (1.1)
которая говорит нам, что n
-е гармоническое число равно натуральному логарифму n
плюс константа Эйлера плюс некоторая величина, которая составляет «О
большое от 1 на n
». Эта последняя величина точно не определена, однако, какой бы она ни была, обозначение «О
» позволяет утверждать, что она не превосходит константу, умноженную на 1/n
.
Величину О
(1/n
) можно считать пренебрежимо малой, если только нас не интересуют величины, отличающиеся от 1/n
лишь постоянным множителем.
Приложения символа О
можно встретить в разных областях математики, а также и в физике. Например, в книге Панченкова А.Н. «Асимптотические методы в экстремальных задачах механики» рассматривается применение асимптотических методов в решении задач аэродинамики.
Цель дипломной работы:
изучить понятие «Символ О
» и показать его применения.
Задачи:
1. Изучить понятие «Символ О
», дать определение.
2. Изучить и доказать основные соотношения.
3. Показать применение символа О
при решении задач.
4. Найти применение символа О
в различных областях математики.
На основании поставленных целей и задач квалификационная работа разбита на две главы.
Глава 1 «Символ О
» состоит из трех параграфов. В первом параграфе рассматриваются основные определения, приводятся примеры; во втором – формулируются утверждения, приводятся их доказательства; третий параграф посвящен решению задач.
Глава 2 «Приложения символа О
» освещает применение символа О
, а именно, при решении трансцендентных уравнений, при вычислении интегралов, при нахождении суммы рядов.
Глава 1. Символ О.
§1. Основные определения, примеры
Определение 1:
f
(n
) = O
(g
(n
)) для всех n
ÎN
(1.1.1)
означает, что существует такая константа С
, что
для всех n
ÎN
; (1.1.2)
а если обозначение O
(g
(n
)) использовано внутри формулы, то оно обозначает функцию f
(n
), удовлетворяющую (1.1.2). Значения функции f
(n
) неизвестны, но мы знаем, что они не слишком велики.
Символ «О
» включает неопределенную константу С
, каждое вхождение О
может подразумевать различные С
, но каждая из этих констант не зависит от n
.
Пример 1:
мы знаем, что сумма квадратов первых n натуральных чисел равна
n
= .
Можно записать
n
= О
(n
3
),
так как для всех целых n
. Можно получить более точную формулу
n
= О
(n
2
), так как
для всех целых n
. Можно также небрежно отбросить часть информации и записать
n
= О
(n
10
).
Определение О
не заставляет нас давать наилучшую оценку.
Рассмотрим пример, когда переменная n
– не целочисленная.
Пример 2:
, где х
– вещественное число.
Здесь уже нельзя сказать, что S
(x
) = O
(x
3
), так как отношение неограниченно растет при х
®0. Нельзя также сказать, что S
(x
) = O
(x
), т.к. отношение неограниченно растет, когда х
стремится к бесконечности. Значит, мы не можем использовать символ «О
» для оценки S
(x
).
Эта дилемма разрешается благодаря тому, что на переменные, используемые с О
, обычно накладываются какие-либо ограничения. Если, например, мы поставим условие, что , или что , где e
- произвольная положительная константа, или что х
– целое число, то мы сможем записать S
(x
) = O
(x
3
). Если же наложено условие или , где с
– произвольная положительная константа, то в этом случае S
(x
) = O
(x
). «О
большое» зависит от контекста, от ограничений на используемые переменные.
Эти ограничения часто задаются в виде предельных соотношений.
Определение 2:
соотношение f
(n
) = O
(g
(n
)) при n
®¥ означает, что существуют две константы С
и n
0
, такие, что
при всех n
³n
0
. (1.1.3)
Замечание 1
: Значения С
и n
0
могут быть разными для разных О
, но они не зависят от n
.
Определение 3:
запись f
(х
) = O
(g
(х
)) при х
®0 означает, что существуют две константы С
и e
, такие, что
, если только . (1.1.4)
Теперь О
представляет неопределенную функцию и одну или две неопределенные константы, зависящие от контекста.
Замечание 2
: запись корректна, но в этом равенстве нельзя менять местами правую и левую части. В противном случае мы можем прийти к нелепым выводам, наподобие n
= n
2
, исходя из верных тождеств n
= О
(n
2
) и n
2
= О
(n
2
).
Работая с символом «О
» мы имеем дело с односторонними равенствами. Правая часть уравнения содержит не больше информации, чем левая, и фактически может содержать меньше информации; правая часть является «огрублением» левой.
Если говорить строго формально, то запись O
(g
(n
)) обозначает не какую-то одну функцию f
(n
), а сразу множество функций f
(n
), таких, что для некоторой константы С
. Обычная формула g
(n
), не включающая символ О
, обозначает множество, содержащее одну функцию f
(n
) = g
(n
). Если S
и T
суть множества функций от n
, то запись S
+ T
обозначает множество всех функций вида f
(n
) + g
(n
), где f
(n
)ÎS
и g
(n
)ÎT
; другие обозначения вроде S
– T
, ST
, S
/
T
, , е
S
, ln
S
определяются аналогично. Тогда «равенство» между двумя такими множествами функций есть теоретико-множественное включение; знак «=» в действительности означает «Í».
Пример 3:
«Уравнение» означает, что S
1
Í S
2
, где S
1
есть множество всех функций вида , для которых найдется константа С
1
, такая, что , а S
2
есть множество всех функций , для которых найдется константа С
2
, такая, что .
Можно строго доказать это «равенство», если взять произвольный элемент из левой части и показать, что он принадлежит правой части: пусть таково, что , следует доказать, что существует такая константа С
2
, что . Константа решает проблему, так как для всех целых n
.
Замечание 3:
Если в формуле используется несколько переменных, то символ О
представляет множество функций от двух или более переменных, а не только от одной. В область определения каждой функции входят все переменные, которые в данном контексте «свободны» для изменения.
Тут есть некоторая тонкость ввиду того, что переменные могут иметь смысл лишь в части выражения, если они связаны знаком S или подобным.
Пример 4:
, целое n
³ 0. (1.1.5)
Выражение k
2
+ O
(k
) в левой части отвечает множеству всех функций от двух переменных вида k
2
+ f
(k
, n
), для которых найдется константа С
, такая, что для 0 £ k
£ n
. Сумма таких множеств функций для 0 £ k
£ n
есть множество всех функций g
(n
) вида
,
где f
удовлетворяет сформулированному условию. Поскольку
то все такие функции g
(n
) принадлежат правой части (1.1.5); следовательно, (1.1.5) справедливо.
§2. Основные соотношения
Соотношение 1:
если
. (1.2.1)
Доказательство
:
Пусть , тогда по свойству степени и модуля. , где С
= 1. А по определению (1.1.2) символа О
это и означает, что при . Соотношение 1 доказано.
Соотношение 2:
. (1.2.2)
Доказательство
:
Покажем строго в соответствии с теоретико-множественным определением символа О
, что левая часть является подмножеством правой части.
Любая функция из левой части имеет вид a
(
n
)
+
b
(
n
)
, и существуют константы m
0
, B
, n
0
, C
, такие, что
и .
Следовательно, функция в левой части
А, значит, по определению символа О
левая часть принадлежит правой части. Соотношение 2 доказано.
Соотношение 3:
f
(
n
)
=
O
(
f
(
n
))
; (1.2.3)
Доказательство:
Для любой функции f(
n)
верно неравенство . , где С
= 1. По определению символа О
(1.1.2) это и означает, что f
(n
) = O(f
(n
)). Соотношение 3 доказано.
Соотношение 4:
O
(
f
(
n
))
O
(
g
(
n
))
=
O
(
f
(
n
)
g
(
n
))
; (1.2.4)
Доказательство
:
Покажем в соответствии с теоретико-множественным определением символа О
, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a
(n
) × b
(n
), такие, что существуют константы В
, С
, n
0
, m
0
, что
и
.
Тогда для любого n
³ max(n
0
, m
0
,). Значит левая часть принадлежит правой части, а, следовательно, является подмножеством правой части по определению символа О
. Соотношение 6 доказано.
Соотношение 5:
O
(
O
(
f
(
n
)))
=
O
(
f
(
n
))
; (1.2.5)
Доказательство
:
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
Функция из левой части имеет вид a
(n
) такой, что существуют положительные константы С
, В
, n
0
, m
0
такие, что
Следовательно, по определению левая часть является подмножеством правой части. Соотношение 5 доказано.
Соотношение 6:
С
×
O
(
f
(
n
))
=
O
(
f
(
n
)), если С – константа;
(1.2.6)
Доказательство
:
Существует такая константа В
, что , по определению (1.1.1) С
= О
(1). Тогда С
×
O
(
f
(
n
))
=
О
(1)×
O
(
f
(
n
)) =
(по 1.2.4) = O
(
f
(
n
)).
Соотношение доказано.
Соотношение 7:
O
(
f
(
n
)
g
(
n
))
=
f
(
n
)
O
(
g
(
n
))
. (1.2.7)
Доказательство:
Покажем, что левая часть является подмножеством правой части.
В левой части функции имеют вид a
(n
), такие, что существуют константы С
, n
0
, что
.
По определению символа О
мы получаем верное равенство (1.2.7). Соотношение 7 доказано.
Соотношение 8:
O
(
f
(
n
)2
)
=
O
(
f
(
n
))2
. (1.2.8)
Доказательство:
O
(
f
(
n
)2
)
=
O
(
f
(
n
) ·
f
(
n
))
=
(по 1.2.7) =
f
(
n
) ·
O
(
f
(
n
)) =
(по 1.2.3) = О(
f
(
n
)) ·
O
(
f
(
n
)) =
O
(
f
(
n
))2
Соотношение доказано.
Соотношение 9:
е
O
(
f
(
n
))
=
1 +
O
(
f
(
n
))
, если f
(
n
) = О(1)
(1.2.9)
Доказательство:
е
O
(
f
(
n
))
= е
g
(
n
)
,
где . Т.к. f
(
n
) = О(1),
т.е. , то.
. Значит е
O
(
f
(
n
))
=
1 +
O
(
f
(
n
))
.
Соотношение доказано.
Соотношение 10:
Если сумма сходится абсолютно для некоторого комплексного числа z
= z
0
, то
.
Доказательство:
Данное соотношение очевидно, поскольку
.
Соотношение доказано.
Замечание 4
: В частности, S
(z
) = O
(1) при z
® 0
(1/n
) = O
(1) при n
® ¥ при том только условии, что S
(z
) сходится хотя бы для одного ненулевого значения z
. Мы можем использовать этот принцип для того, чтобы, отбросив хвост степенного ряда, начиная с любого удобного места, оценить этот хвост через О
. Так, например, не только S
(z
) = O
(1), но и
S
(z
) = a
0
+ O
(z
), S
(z
) = a
0
+ a
1
z
+ O
(z
2
),
и т.д., поскольку
,
а последняя сумма, как и сама S
(z
), абсолютно сходится при z
= z
0
и есть О
(1).
В таблице №1 приведены самые полезные асимптотические формулы [2], половина из которых получена просто путем отбрасывания членов степенного ряда в соответствии с этим правилом.
Таблица №1
Асимптотические аппроксимации, справедливые при
n
®
¥ и
z
®
| (1.2.10) |
| (1.2.11) |
| (1.2.12) |
| (1.2.13) |
| (1.2.14) |
| (1.2.15) |
Асимптотические формулы для Hn
, n
! не являются начальными отрезками сходящихся рядов; если неограниченно продолжить эти формулы, то полученные ряды будут расходиться при всех n
.
Говорят, что асимптотическая аппроксимация имеет абсолютную погрешность O
(g
(n
)), если она имеет вид f
(n
) + O
(g
(n
)), где f
(n
) не включает О
. Аппроксимация вида f
(n
)(1 + O
(g
(n
))) имеет относительную погрешность O
(g
(n
)), если f
(n
) не включает О
. Например, аппроксимация Hn
в таблице №1 имеет абсолютную погрешность O
(n
-6
); аппроксимация n
! - относительную погрешность O
(n
-4
). (Правая часть (1.2.11) не такая, как требуется, - f
(n
)(1 + O(n
-4
)), но ее можно переписать как
.
Абсолютная погрешность этой аппроксимации есть O
(nn
-3.5
e
-
n
). Абсолютная погрешность соотносится с числом верных десятичных цифр справа от десятичной точки, которые сохраняются после отбрасывания члена О
; относительная погрешность связана с числом верных «значащих цифр».
§
3. Решение задач
Задача 1.
Что неверно в следующих рассуждениях? Поскольку n
= O
(n
) и 2n
= O
(n
) и так далее, то заключаем, что ?
Решение
:
Замена kn
на O
(n
) подразумевает различные С
для различных k
; а нужно, чтобы все О
имели общую константу. В действительности, в данном случае требуется, чтобы О
обозначало множество функций двух переменных, k
и n
. Правильно будет записать .
Задача 2.
Докажите или опровергните: О
(f
(n
) + g
(n
)) = f
(n
) + O
(g
(n
)), если f
(n
) и g
(n
) положительны для всех n
Î
N
.
Решение
:
Утверждение ложно.
Пусть f
(n
) = n
2
, а g
(n
) = 1. Найдем такую функцию j
(n
), которая бы принадлежала левому множеству, но не принадлежала бы правому множеству, т.е. ($С
1
) ("n
) [j
(n
) £C
1
(n
2
+ 1)] и ("С
2
) ($n
³
n
0
) [j
(n
) > n
2
+ C
2
].
Возьмем j
(n
) = 2n
2
.
1). Пусть С
1
= 3, тогда ("n
³
n
0
) 2n
2
£ 3(n
2
+ 1). Значит функция j
(n
) принадлежит левому множеству.
2). ("С
2
) ($n>
) 2n
2
> n
2
+ C
2
. Значит функция j
(n
) не принадлежит правому множеству.
Задача 3.
Докажите или опровергните: cos
O
(x
) = 1 + O
(x
2
) для всех вещественных х
.
Решение
:
Если функция g
(x
) принадлежит левой части так, что g
(x
) = cos
y
для некоторого y
, причем для некоторой константы С
, тоg
(x
) = cos y
= 1 - 2sin
2
(y
/2) £ 1 = 1 + 0 ×х
2
. Значит существует такая константа В
, что g
(x
) £ 1 + В
×х
2
. Следовательно, множество из левой части содержится в правой части, и формула верна.
Задача 4.
Докажите, что .
Решение
:
Преобразуем левую часть следующим образом:
.
Заметим, что , тогда , где С
– константа, тогда можно записать по определению символа О
, что . Используя это для преобразованного равенства, получаем, что
= (по 1.2.4)
Что и требовалось доказать.
Задача 5.
Вычислите при n
ÎN
.
Решение
:
(по 1.2.6)
(по 1.2.3)
(по 1.2.4)
(по 1.2.2)
Задача 6.
Вычислите (n
+ 2 + O
(n
-1
))n
с относительной погрешностью O
(n
-1
), при n
®
¥
.
Решение
:
(по 1.2.3 и 1.2.4)
Приn
®
¥
k
= (2n
-1
+ O
(n
-2
))®
0, тогдаln
(1 + k
)®
0. Тогда при n
®
¥
ln
(1 + k
) = k
.
(по 1.2.9)
.
Задача 7.
Докажите, что , при n
ÎN
,
n
®
¥
.
Решение
:
Покажем, что . (*)
По определению - функция а
n
такая, что . Получаем, что , значит .
Теперь докажем, что :
= (по 1.2.4 и 1.2.6) = = (по (*)) = (по 1.2.6) = (по 1.2.9) = (по 1.2.6) =.
Глава 2. Приложения символа О.
§1. Асимптотическое решение трансцендентных уравнений: действительного переменного
Пример 1.
Рассмотрим уравнение
x +th x = u,
где u
- действительный параметр, - гиперболический тангенс [6], , х
и th
x
– непрерывные, строго возрастающие функции на всей числовой прямой.
Найдем асимптотические приближения для корня:
1). Функция u
(x
) = x +
th
x
непрерывна и строго монотонна на R
. По теореме о непрерывности обратной функции, существует обратная к ней функция х
(и
), непрерывная и строго монотонная на Еи
= R
.
Так как при х
®¥и
(х
)®¥, то при и
®¥х
(и
)®¥.
Пусть и
®¥, тогда х
®¥ и .
Значит, х
(и
) ~ и,
при и
®¥. Это первое асимптотическое приближение для корня.
2). Приведем уравнение к виду:
x = и -
th
x.
+С
, где С
– некоторая константа. По определению символа О
thx
= 1+O
(1).
x = и –
1 + О
(1) - это второе асимптотическое приближение корня.
3). Докажем, что е
-2х
= О
(е
-2и
): (2.1.1)
подставим второе асимптотическое приближение корня
е
-2х
= е
-2(и –
1 + О
(1))
= е
-2и
× е2
× еО
(1)
=
(по 1.2.3 и 1.2.9) = е
2
О
(е
-2и
)(1 + О
(1))×=
(по 1.2.3) = е
2
О
(е
-2и
)(2О
(1)) = (по 1.2.6 и 1.2.4) = О
(е
-2и
).
Разложим th
x
в ряд [6], удобный при больших х
:
th
x = 1 – 2е-2х
+ 2е-4х
– 2е-6х
+… (х > 0)
Тогда по теореме [3]: (2.1.2)
если ряд сходится при , тогда для фиксированного n
в любом круге , где .
Ряд – 2е-2х
+ 2е-4х
– 2е-6х
+…
сходится при х
> 0, т.е. и его сумма равна th
x - 1
. Значит, по теореме: th
x - 1 = О(е-2х
)
, т.е.th
x=О(е-2х
)+
1.
Тогда x = и -
th
x = и –
1 + О(е-2х
)
= (по 2.1.1) = и –
1 + О(О(е-2и
))
=
(по 1.2.5) = и –
1 + О(е-2и
)
.
Таким образом, x = и –
1 + О(е-2и
)
- этот третье асимптотическое приближение корня.
4). Докажем, что е
-2х
= е
-2и+
2
+ О
(е
-4и
): (2.1.3)
подставим третье асимптотическое приближение корня
(по 1.2.9)
(по 1.2.6)
(по 1.2.3 и 1.2.4).
Ряд 2е-4х
– 2е-6х
+ 2е-8х
– 2е-10х
+…
сходится при х
> 0, т.е. и его сумма равна th
x – 1 + 2е-2х
. Значит, по теореме: th
x – 1 + 2е-2х
= О(е-4х
)
, т.е. th
x=О(е-4х
)+
1 - 2е-2х
.
Тогда x = и -
th
x = и –
1 + 2е-2х
+ О(е-4х
)
= (по 2.1.3) =
= и –
1 + 2(е-2и+2
+ О(е-4и
)) + О(е-4х
)
= (по 1.2.6) =
= и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
) + О(е-2х
×е-2х
)
= (по 2.1.1) =
= и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
) + О(О(е-2и
)
×О(е-2и
))
= (по 1.2.4) =
= и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
) + О(О(е-4и
))
= (по 1.2.5) =
= и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
) + О(е-4и
) = и –
1 + 2е-2и+2
+ 2О(е-4и
)
= (по 1.2.6) =
= и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
)
.
Таким образом, x = и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
)
- этот четвертое асимптотическое приближение корня.
Продолжая этот процесс, получим последовательность приближений с ошибками, асимптотический порядок которых постоянно убывает. Сходимость этой последовательности при неограниченном возрастании числа шагов на основе проведенных рассуждений увидеть трудно, но численные возможности этого процесса можно оценить, взяв, например, и
= 5:
1) х
= 5;
2) х
= и –
1 + О
(1) = 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О
(1))
3) x = и –
1 + О(е-2и
)
= 5 – 1 = 4; (не учитываем ошибку О
(е-2и
))
4) x = и –
1 + 2е-2и+2
+ О(е-4и
)
= 5 – 1 + 0,000670925… = 4,000670925... (не учитываем ошибку О
(е-4и
))
Точное значение, полученное стандартными численными методами, равно 4,0006698…
Пример 2.
Найдем большие положительные корни уравнения
x tg x = 1
Это уравнение можно обратить следующим образом:
,
где n
– целое число, а арктангенс принимает значения в интервале , находим, что x ~
n
p
при (
n →
¥).
Если x
> 1, то [6]
1). По теореме (2.1.2) .
.
2).
По теореме (2.1.2) . Тогда .
.
3).
По теореме (2.1.2) . Тогда .
.
И так далее.
§2. Асимптотическое решение интегралов
Пример 1.
Вычислить при х
> 1.
Разложим в ряд [6]:
По теореме (2.1.2) , т.е. .
Пример 2.
Вычислить при e
®+0, , А(х)
- ступенчатая функция: А(х)
= 0 при х
< 0, А(х)
= А
k
, k
£x
< k
+ 1, А
k
= а
1
+ а
2
+…+ а
k
, а
k
= k
-1
. Причем .
Воспользуемся асимптотической формулой [4]
,
где g
- постоянная Эйлера . Введем функцию Ã(х) =
lnx +
g
.
.
Последний интеграл имеет порядок О
(e
ln
e
) при e
®+0, а предпоследний – равен -g
/2, так что
.
S(
e) =
I +
J
, где
.
Оценим интеграл J
. Пусть , тогда "k
³ 1
.
Прологарифмируем , получим . Значит
Следовательно,
.
Получаем, что
.
§3. Асимптотическое вычисление суммы ряда
При нахождении суммы ряда нередко используется формула суммирования Эйлера [2]:
где
В
k
– числа Бернулли, В
m
({x
}) – многочлен Бернулли.
В
k
=
(-1)k
b
2k
.
[6]
. Коэффициенты b
k
вычисляются, используя теорему о единственности разложения функции в степенной ряд:
путем приравнивая коэффициентов:
коэффициент при х
: b
0
=
1,
коэффициент при х
k
:
Пример 1.
Найти .
По 1.2.10 Н
k
=
ln
k +
O
(1). Тогда .
Применим формулу суммирования Эйлера:
.
Пример 2.
Найти
Применим формулу суммирования Эйлера:
Пример 3.
Найти асимптотику при n
®¥ суммы
Члены этой суммы быстро растут с ростом номера, так что главный член асимптотики равен последнему члену суммы: S(
n) ~
n
!, n
®¥. Действительно,
Следовательно,
Литература
1. Брейн, Н.Г. Асимптотические методы в анализе / Н.Г. Брейн. – М.: Иностранная литература, 1961.
2. Грэхем, Р. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. / Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. – М.: Мир, 1998.
3. Олвер, Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функции / Ф. Олвер. – М.: Наука, 1978.
4. Панченков, А.Н. Асимптотические методы в экстремальных задачах механики / А.Н. Панченков. – Новосибирск: Наука, 1982.
5. Федорюк, М.В. Асимптотика: интегралы и ряды / М.В. Федорюк. – М.: Наука, 1987.
6. Фихтенгольц, Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. / Г.М. Фихтенгольц. – М.: Наука, 1969.