1. Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.
Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
Р= число близких иходов
= 15….14…….- 6
= 15 !
-2
Число элемент. исходов 15*15*15…15
5
! » 1,88 * 1е
10 раз 50
15 _____________________________________
2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие
независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны 1
49
1
.
Найти вероятность того, что тока не будет? 50 ; 50 ; 4
-- €- -
А –ток есть
Аi – i-й прибор не исправен
Р (А1) = 49
Р (А2)= 1
Р ( А3) = 3
50 ; 50 ; 4
_
Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 ) = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49
* 1
- 3
= 9,753
50 50 4 10,000
____________________________________________________________________________________________
3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно 41
.
Найдите вер-ть попадания при одном выстреле? 50
Аi – успешный i – выстрел
_________
Р = 41
= 1-Р ( А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =
50
__ __ _ 12 12
= 1 – Р (А1) …..Р (А12) = 1 – Р (А1) ;41
= 1-Р (А1)
50
Найти Р (А1)
_ 12
Р (А1) = 1- 41
= 9
50 50
_ 12__
Р (А1) = Ö9
50
_ 12__
Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö9
» 0,133
50 ___________________________________________
4. Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких
задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории
вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность
того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.
Аi –студенту достанется задача по теории вероятности
А – всем достанется задача по теор. вероят.
А
= А1 А2 А3
А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.
_
Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р *(А3) * Р *
А1А2А1А2 А1
*(А2)*Р (А1)= 1 – 15
* 14
* 13
= 0,265
28 27 26
5. В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе
и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19
, 19
и 59
20 50 100
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.
Н1 – деталь с 1-го завода
Н2 - деталь со 2-го завода
Н3 - деталь с 3-го завода.
Р(Н1) = 6
= 1
; Р(Н2) = 2
= 1
; Р(Н3) = 4
= 1
12 2 12 6 12 3
А - извлеченная деталь качественная
_ _ _ _
Р (А) = Р *(А) * Р (Н1) + Р *(А) * Р (Н2) + Р *(А)*Р (Н3) =19
* 1
+ 19
* 1
+ 59
*1
=147
=>
Н1 _ Н2Н3 20 2 50 6 100 3 200
Р (А) = 1 – Р (А) = 53/200
__________________________________________________________________________________________
6. Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения
Х: от 1 до 16 с вер-ю 1
16
У: от 1 до 23 с вер-ю 1
23
Р ( Х+У = 32)
Х У
Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) = 1
* 1
9 23 16 23
10 22
P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=
16 16 = 8* 1
* 1
= 1
16 23 46
_________________________________________________________________________________________
7. Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.
Х:
от 1 до 14 с вероятностью 1
14
У:
от1 до 7 с вероятностью 1
7
Найти вероятность того, что Р (Х £ У)
Если У = 7, то 1 £ Х £ 6 1
* 6
7 14
Если У = 6 то 1£ Х £ 5 1
* 5
7 14
Если У = 5 то 1£ Х £ 4 1
* 4
7 14
Если У = 4 то 1£ Х £ 3 1
* 3
7 14
Если У = 3 то 1£ Х £ 2 1
* 2
7 14
Если У = 2 то 1 = Х 1
* 1
7 14
Р (Х<У) = 1
* 6
+ 1
* 5
+ 1
* 1
= 1+2+3+4+5+6
= 21
= 3
7 14 7 14 7 4 7 * 14 714 14
_________________________________________________________________________________________
8. Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от
0 до 10 с вероятностью 1
11
Найти вероятность того , что Р(Х1…….Х7) = 0
Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7¹ 0) = 1- Р( Х1¹0….Х7¹ )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0)
7
*….* Р(Х7¹0) = 1 – 10
* 10
= 1 - 10
11……. 11 11
7 раз
9. Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения
Х: от 1 до 13 с вероятн-ю 1
13
У: от 1 до 12 _____/_____ 1
12
Z от 1 до 9 _____/_____ 1
9
Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?
Пусть “Z” приняло какое-то значение “а”. Р (У¹а) = 11
12
Пусть при этом У= в
Р (Z ¹ a; Z ¹в) = 11
; Р = 11
* 11
13 12 13.
_______________________________________________________________________________________
10.
| Х | 1 | 4 | 7 |
| Р | 0,1 | 0,4 | 0,5 |
м = М (Х) - ? М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2
Р ( Х < м) - ? Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5
___________________________________________________________________________________________
11.
| Х | 2 | 3 | 5 |
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
2 Х |
4 |
9 |
25 |
| Р | 0,2 | 0,3 | 0,5 |
Д (Х) - ?
М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8
2
М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16
2 2 2
Д (Х) = М (Х ) – М (Х) = 16 - 3,8 = 1,56
______________________________________________________________________________________________________________
12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6
с вероятностью 1
159
Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)
М (Х1) = -8 * 1
– 7 * 1
* 6 * 1
- … + 5 * 1
+ 6 * 1
= 1
(-8-7-5….+5+6) = -1
15 15 15 15 15 15
9 9
= М (Х1) = ( -1) = -1
13.
| Х | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| Р | 0,25 | 0,2 | 0,2 | 0,2 | 0,25 |
м= М (Х)-? М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12
д(Х) -? 2 2
Р ( (Х-м) <d) Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)
| Х-12 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
| Р | 0,25 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 0,25 |
2 (Х-12) |
1 |
4 |
0 |
| Р | 0,5 | 0,4 | 0,1 |
2
М (Х-Р) = 8+1,6
_____
d (Х) = Öd (Х) » 3,1
Р ( Х –12 < 3,1 ) = Р (-3,1<Х –12 < 3,1) = Р (8,9<Х<15,1) =
= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У – неизвестные случайные величины
М (Х) = 3 8 2 2 2 2 2
М (У) =2 ½ Д(ХУ) = М( ХУ ) – М (ХУ) = М (Х ) * М (У ) – [ М (Х)*М (Х)]=
Д(Х) = 4 ½2 2 2 2
Д(У) = 8
½ Д (Х)=М(Х ) – М (Х) = М (Х ) = Д (Х) + М (Х) = 4 + 9 = 13
Д (Х У) 2 2
М (У ) = Д (Х) + М (У) = 8 + 4 = 12
2
= 12*13 – (2 * 3) = 156 – 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.
Р (Х=0) = 0,3 ½2 2 2 2 2
Р (У=0) = 0,6 ½
2
М (Х+У)
2 Х , Х |
0 |
1 |
| Р | 0,3 | 0,7 |
2 Х , Х |
0 |
1 |
| Р | 0,6 | 0,4 |
2
М (Х) = 0,7 = М (Х )
2
М (У) = 0,4 = М ( У )
= 0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66
16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1.
(задание как в 15).
Х |
0 |
1 |
| Р | 0,3 | 0,7 |
У |
0 |
1 |
| Р | 0,5 | 0,5 |
х - у
М (3 ) - ?
х-у х -у х -у
М (3 ) = М (3 * 3 ) =М (3 ) * М (3 ) = 2,4 * 2
= 1,6
3
х 3 |
1 |
3 |
| Р | 0,3 | 0,7 |
-у 3 |
1 |
1
3 |
| Р | 0,5 | 0,5 |
Х -у
М (3 ) = 0,3 + 2,1 = 2,4 М (3 ) = 0,5 + 0,5
= 4
* 0,5 = 1
3 3 3
_____________________________________________________________________________________________________________
17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что
подбрасываются 9 монет
Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба
М (Х) -?
1-испт. - 9 монет
9 испытаний Р = 1
2
3 3 6 3 9
Р(Г = 3) = С9 * (1
) * (1
) = С9 * (1
)= 84 * 1
- 21
= …
2 2 2 512 128
n = 10240 испытаний
Р = 21
; М (Х) = np = 21 * 10240
= 1680
128 128
18. В серии независимых испытаний (одно испытание за ед.времени)
вероятность наступления А равна 1
8.
Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1 Д (Т).
Х1 – время ожидания до первого наступления А
Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го
Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14
Хi Р = 1
8 7/8
М (Хi) = 1
= 8 ; d = 7
Д (Хi) = d
= = 56
8 822
p 1/8
М (Т) = 14М * (Х1) 14 * 8 = 112
Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784
19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами
п =4, р = 3
Найти М (Х1 +Х2 + …+ Х320)=?
8
2 2 2
М (Х1 + …..+Х 320) = 320М (Х1 ) = Х1 – биноминальное
2 2 М (Х1) = пр = 3
= М(Х1 ) = Д(Х1) + М (Х1) = 2
2 Д (Х1 ) = nрq = 3
* 5
= 5
= 15
+ 3
= 15
+ 9
= 51
2 8 16
16 2 16 4 16
= 320 * 51
= 1020
16
_____________________________________________________________________________________________________________________
20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым
мат. ожиданиям равным 8.
2 2
Найти М (Х1 +…+ Х18 ) - ?
M (Х) = Д (Х) = l= 8
2 2 2 2
М (Х1 +…+ Х18 ) = 18 М (Х1 ) = 18 (Д (Х1) + М (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296
_________________________________________________________________________________________________________
21. Х – равномерно распределён на отр. [ - 8,2 ]
Р ( 1
)>5 = Р (0< Х <1
) = > (0< Х <0,5) =
Х 5
1
– 5 >0 ; 1 – 5Х
> 0; Х –
1/
5
< 0 Û (0< Х <0,5)
Х Х Х
1 – 5Х
> 0; Х – 1/5
< 0
Х Х
[ х, в ]
0,Х>а 0; Х <а
f (Х)= 1
; а < Х< в F (Х) = х – а
; а £ Х £ аÛ0< Х 1/5
в –о в –а
0,Х > в 1, Х >B
F (Х) = Х + 8
= F (1/5) - F ( 0 ) =1/5 + 8
- 8
= 1
5 10 10 50
_______________________________________________________________________________________________________________________
22. Х – равномерно распределена наотр. [ -17; 10 ]
2 2
Р ( Х > 64) = 1- Р ( Х < 64) = 1 – 16
27
2
Р (Х < 64 ) = Р (-8 < Х <8) =
0; Х < -17
F(Х) =Х + 17
, -17 £ Х £ 10
27
1, Х > 10
= F (8) – F (-8) = 8 + 17
- -8 + 17
= 16
27 27 27
______________________________________________________________________________________________________________
23. Х – равномерно распределена наотр. [ -1; 1 ]
8/9 X [a,b] ; f (x)
М ( Х ) a 0; x <-1
M(x)= ∫ x f(x) dx f (x)= -1<x<1
b 0; x>1
a
M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx
b
8/918/9 17/9 1
M(X ) = ∫ ½* X DX = ½ * X
= 9/17
-1 17/9 -1
24. Х – равномерно распределена наотр. [ 0.1 ]
9/10 9/10
Д ( 19Х ) = 361 (Х )
9/10 9/10 2 2 9/10 9/4 2 9/10 9/10 * 2
Д (Х ) = М ((Х ) ) - М(Х ) = М (Х ) - М (Х ) Х
__________________________________________________________________________________________________________
25. Х – равномерно распределена наотр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) - ?
Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3
= 432
2 4
Д (Х) = ( в – а )
12
2
Д (Х) = 8 – 5
= 9
= 3
12 12 4
_______________________________________________________________________________________________________________
26. Х1,……Х2 – Независимые и распределенные по показательному закону.
2
Найти М [ (Х1 + Х2 + …..+ Х10) ], если М (Хi ) = 4.
М (Х) = 1
l
Д (Х) = 1
2
l
M (Хi ) = > Д (Хi) = 16
2 2 2
М [ (Х1 +….+ Х10) ]=Д(Х1 +…+ Х10) + М (Х1 +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]=
2
= 160 + ( 10 * 4) = 1760
_________________________________________________________________________________________________________________
2
М(Х) =1/l; Д(Х) = 1/l
27. Х –распределен по показательному признаку
2
Найти М [ (Х + 8) ] , если Д (Х) = 36М (Х)=6
2 2 2 2
М (Х + 8) = M(Х + 16х + 64) = М (Х ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М (Х) +
+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232
____________________________________________________________________________________________________________
28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон
0, Х < 0
F (Х) = -2х
1 – е , Х >0, Найти Ln (1 – Р ( Х < 6) ) = Ln (1 – F (6) ) =
-6/7 -6/7 -6/7
= F (6) = 1 – е = Ln ( 1 – (1 – е ) ) = Ln е = - 6/7
29. (Х) - случайная величина
0, Х < 10
ƒ (Х) = С
; Х ≥ 10
5
Х
С - ? ; М (Х) - ?
¥¥ опр. B ¥ -5
∫ ƒ (Х)dх = 1 =>∫ с
dх = lim ∫ = cdx
= C lim ∫ X dx =
10 10 5 b->¥ 10 5 b->¥ 10
Х X
b
-4 -4 4 4 4
= C * lim X
= C lim - b
+ 10
= C * 10
= > 1 = C 10
= >
b->¥-4 b->¥4 4 4 4
10
4
=>C = 4 * 10
0; Х < 10
ƒ (Х) = 4
4 * 10
, Х ³ 10
5
Х
¥¥ 4
М (Х) = ∫ Х ƒ (Х) dx = ∫ 4 * 10
dx
10 10 4
Х
_________________________________________________________________________________
30. Х – нормальная случайная величина
М (Х) = 16
Д (Х) = 25
? – Р (Х>10,5)
= 1
- f 10,5 – 16
= 0,5 + f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864
2 5
________________________________________________________________________________________
1. Р (d £ X £ b ) = fb – m
- fd - m
dd
2. P ( X < b ) = 1
+ fb – m
2 d
3. P ( X > b ) = 1
- fb – m
2 d