Теория вероятностей и математическая статистика

Министерство высшего образования Украины

Национальный Технический Университет Украины

“Киевский политехнический институт”

Кафедра автоматизированных систем обработки информации и управления

К о н т р о л ь н а я р а б о т а

по дисциплине :

“ Теория вероятностей и математическая статистика”

Вариант № 24

Выполнил студент гр. ЗІС - 91

ІІI курса факультета ФИВТ

Луцько Виктор Степанович

2009г.

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные данные: N=18.

Решение задачи:

Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

Р(А) =	m
	n

где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число равновозможных событий, которые благоприятствуют событию А.

а) при сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36

Р(А) =	36	=	1 ;
	36

б) при произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36

Р(А) =	28	=	7	» 0,778 ;
	36		9

в) при произведении числа очков, делящихся на N:

n = 3;m = 36

Р(А) =	3	=	1	» 0,083 .
	36		12

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 » 0,083.

Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число изделий i-го сорта равно =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1
первосортных, т2
, т3
и т4
второго, третьего и четвертого сорта соответственно .

Исходные данные: n1
= 3; n2
= 1; n3
= 6; n4
= 2;m1
= 2; m2
= 1; m3
= 3; m4
= 1.

Решение задачи.

1) Определяем количество способов нужной комбинации:

С¢ = Сn1
m1
x Сn2
m2
x Сn3
m3
x Сn4
m4
= С3
2
x С1
1
x С6
3
x С2
1
;

2) Определяем количество всех возможных способов:

С¢¢ = Сn1+n2+n3+n4
m1+m2+m3+m4
= С12
7
;

3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:

Р =	С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1	=	3 х 1 х	4 х 5 х 6	х 2	=
				2 х 3
	С12 7		8 х 9 х 10 х 11 х 12
			2 х 3 х 4 х 5

=	3 х 5	=	5	» 0,15
	9 х 11		33

Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .

Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.

Решение задачи.

k=4

n=8

Общее число случаев, очевидно, равно Сn
m
, число благоприятных случаев Сk
l
x Сn-k
m-l
, откуда:

Р(А) =	С k l x С n-k m-l	=	С4 3 x С8-4 5-3	=	3	» 0, 4286 .
	С n m		С8 5		7

Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .
Задача 7

В круге радиуса R наудачу появляется точка. Определить вероятность того, что она попадает в одну из двух непересекающихся фигур, площади которых равны S1
и S2
. Исходные данные:R =14; S1
= 2,6; S2
= 5,6.

Решение задачи

S1 R
	P(A) =	S	.
S2		p R2

P(A1 ) =	S1	=	2,6	» 0,0042246 ;
	pR2		3,14 x 142

P(A2 ) =	S2	=	5,6	» 0,0090991 ;
	pR2		3,14 x 142

P(A) =	S1 + S2	=	2,6 + 5,6	=	8,2	» 0,013324 .
	pR2		3,14 x 142		615,44

Ответ: Р(А) » 0,013324 .

Задача 8

В двух партиях k1
и k2
% доброкачественных изделий соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные данные: k1
= 81; k2
= 37.

Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:

Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .

Для любых событий А и В имеет место формула:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .

Обозначения:

Событие А – выбрали бракованное изделие из 1-й партии (1 – k1
) ;

Событие B – выбрали бракованное изделие из 2-й партии (1 – k2
) .

События А и В – независимые.

а)Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1
) + (1 – k2
) – (1 – k1
)(1 – k2
) =

= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .

б) Вероятность пересечения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АÇВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1
)(1 – k2
) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .

в)Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1
)k2
+ (1 – k2
)k1
=

= 0,19 х 0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .

Ответы:

а) » 0,70;

б)» 0,12;

в)» 0,58.

Задача 9

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1
вторым —р2
. Первый сделал n1
, второй — n2
выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные данные: p1
= 0,33; p2
= 0,52; n1
= 3; n2
= 2.

Решение задачи.

Обозначения:

А – вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1
) ;

В – вероятность непоражения цели при одном выстреле вторым стрелком (1 – р2
) ;

Р – цель не поражена в результате общего количества испытаний.

Р = (1 – р1
)n1
x (1 – р2
)n2
= (1 – 0,33)3
x (1 – 0,52)2
= 0,673
x 0,482
» 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .

Ответ:» 0,07 .

Задача 12

Из 1000 ламп ni
принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3, . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Исходные данные: n1
= 350; n2
= 440.

Решение задачи

Рассмотрим три гипотезы:

Н1
– выбор лампы из первой партии;

Н2
– выбор лампы из второй партии;

Н3
– выбор лампы из третьей партии;

а также событие А – выбор бракованной лампы.

Учитывая то, что Н1
, Н2
, Н3
– полная группа попарно несовместимых событий, причем Р(Нi) ¹ 0,

i = 1,2,3, то для любого события А имеет место равенство (формула полной вероятности):

3
Р(А) =	å P(Hi ) x P(A/Hi ) .
i=1

Тогда:

P(H1
) = 350/1000 = 7/20 ;

P(H2
) = 440/1000 = 11/25 ;

P(H3
) = 210/1000 = 21/100 .

Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .

Ответ: Р(А) = 0,0514 .

Задача 18

На каждый лотерейный билет с вероятностью p1
может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2
. — мелкий выигрыш и с вероятностью р3
билет может оказаться без выигрыша, . Куплено n билетов. Определить вероятность получения n1
крупных выигрышей и n2
мелких.

Исходные данные: n = 14; n1
= 5; n2
= 4;p1
= 0,25; p2
= 0,35.

Решение задачи

Для решения данной задачи используем формулу для полиномиального распределения вероятностей, т.к. события – является ли і-тый билет выигрышным (и насколько) или невыигрышным – независимы (для разных і):

Pn (m1 ,m2 ,…,mk ) =	n!	p1 m 1 p2 m 2 … pk m k .
	m1 ! m2 !…mk !

В задаче: А1
– билет оказался с крупным выигрышем;

А2
– билет оказался с мелким выигрышем;

А3
– билет оказался без выигрыша.

Р14 (5,4,5) =	14!	х (0,25)5 х (0,35)4 х (0,4)5 =	6х7х8х9х10х11х12х13х14	х
	5! 4! 5!		2х3х4х2х3х4х5

х 0,0009765 х 0,015 х 0,01024 = 2 х 7 х 9 х 11 х 13 х 14 х 0,0009765 х 0,015 х

х 0,01024 » 0,0378.

Ответ: Р » 0,0378 .

Задача 19

Вероятность «сбоя» в работе телефонной станции при каждом вызове равна р. Поступило п вызовов. Определить вероятность m «сбоев».

Исходные данные: m = 9; N = 500; p = 0,01.

Решение задачи

q = 1 – p = 1 – 0,01 = 0,99 .

Так как n – большое число (n = N = 500), а npq » 5, т.е. npq < 9 , то применяем формулы Пуассона:

Рn (m) »	a m	e-a , a = np .
	m!

Подсчет вручную дает следующие результаты:

Рn (m) »	59	х	1	»	58	х	1	»
	2х3х4х5х6х7х8х9		е5		2х3х4х6х7х8х9		2,75

»	390625	»	390625	» 0,03751 .
	72576 х 143,5		10 413 862

Но, при известных а = 5 и m = 9 результат формулы Пуассона следует брать из таблицы III, где

Рn
(m) » 0,03627 .

Ответ: Рn
(m) » 0,03627 .

Задача 20

Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р. Определить вероятность того, что число т наступлений события удовлетворяет следующему неравенству.

Варианты 22—31:

Исходные данные: n = 100; P = 0,3; k1
= - ; k2
= 40.

Решение задачи

Вероятность Рn
(m) того, что в результате этих n опытов событие А произойдет m раз (наступит m успехов), определяется по формуле Бернулли:

Pn
(m) = Cn
m
pm
qn-m
, m = 0,1,2,…,n(1)

где q = 1 – p – вероятность наступления противоположного события А при единичном испытании.

Совокупность чисел, определяемых формулой (1), называется биномиальным распределением вероятностей.

При больших значениях п (порядка десятков, сотен) для биномиального распределения применяют следующие приближенные формулы:

(2)

где:

(3)

где:

(4)

(5)

(6)

Формула (2) основана на локальной теореме Муавра—Лапласа, (3) — на интегральной теореме Муавра—Лапласа, (5) и (6) — на формуле Пуассона. Асимптотику Муавра—Лапласа [формулы (2) и (3)] рекомендуется применять в случае, когда npq>9. В противном случае более точные результаты дает асимптотика Пуассона [формулы (5) и (6)].

З а м е ч а н и е 1. Приближенная формула (3) остается в силе и в том случае, когда входящие в нее неравенства являются строгими.

З а м е ч а н и е 2. Вычисления по формулам (2), (3), (5), (6) выполняются с использованием таблиц I—IV соответственно (см. приложение).

В данной задаче n = 100, т.е. n – число большое.

npq = 21, следовательно npq > 9.

При этом q = 1 – p = 0,7 ;np = 30 .

Наши рассуждения приводят к тому, что данную задачу следует решать с помощью формул Муавра-Лапласа, а именно с помощью формулы (3).

Тогда:

k2 – np	»	40 – 30	»	10	» 2,18 .
Ö npq		4,58		4,58

k1 – np	»	0 – 30	»	-30	» - 6,55 .
Ö npq		4,58		4,58

Pn
(m£k2
) » Ф(х2
) – Ф(х1
) » Ф(2,18) – Ф(- 6,55) » Ф(2,18) + Ф(6,55) »

» 0,48537 + 0,5 » 0,98537 .

Ответ: Pn
(m£ 40) » 0,98537 .

Задача 21

Дана плотность распределения р (х) случайной величины x. Найти параметр g, математическое ожидание Мx дисперсию Dx, функцию распределения случайной величины x вероятность выполнения неравенства х1
< x < х2

Варианты 17-24:

Исходные данные: a = -1,5; b = 1; x1
= -1; x2
= 1.

Решение.

Р(х) =	í	g , х Î [-1,5, 1],
		0, x Ï [-1,5, 1].

Найдем
g. Должно выполняться соотношение:Fx
(+¥) = 1;

òp(x)dx = 1;	òg dx = 1;	g x	1	= 1;	g *(1+1,5) = 1;	g =	1	=2/5 .
			-1,5				2,5
-¥	-1,5

1
Найдем : М x =	òх2/5 dx =	2 х2	1	=	1/5 (1-2,25) =	-1,25	= -0,25 .
		5 2	-1,5			5
-1,5

1
Найдем : Dx = М x 2 – ( М x )2 =	ò2/5 x2 dx – 0,0625 = 2/5	x3	1	- 0,0625 =
		3	-1,5
-1,5

= 2/5 (1/3 + 3,375/3) – 0,0625 = 0,4 * 1,4583 – 0,0625 = 0,5833 – 0,0625 = 0,5208 .

í		0 ,	x < -1,5;
		x		x
		Найдем : Fx (x) =			òp(х) dx =		òg dt ,	-1,5 £ x < 1;
		-¥		-1,5
		1 ,	x ³ 1 .
x	x
òg dt =	g t	=		g x + 1,5g =		2/5x + 0,6 .
-1,5	-1,5

Найдем
:P{-1<x<1} = Fx
(1) - Fx
(-1) = 1 – (-2/5 + 0,6) = 7/5 – 3/5 = 4/5 .

Ответы: 1) g = 2/5; 2) Мx = - 0,25; 3) Dx = 0,5208; 4) Fx
(x) = 0,4x + 0,6; 5) P{-1<x<1} = 4/5.

Список использованной литературы

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.1: Пер.с англ. - М.: Мир, 1994. – 528 с.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб.для вузов. – 6-е изд.стер. – М.: Высш.шк., 1999. – 576 с.

3. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций. Под редакцией А.А. Свешникова. – М.: Наука, 1998. – 656 с.

4. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. – М.: Просвещение, 1998. – 160 с.