Краткий курс лекций
Теория и методика обучения математике
Лекция 1. Предмет методики преподавания математики: Теоретические основы обучения математике
Методика в переводе с греческого «путь». При изучении данной дисциплины необходимы рассмотрения ответов на самые важные вопросы:
Зачем изучать математику?
Кого обучать математики? (учет возрастных, интеллектуальных особенностей обучаемых).
Как обучать математики? (различные методы и способы обучения математики).
Какого содержание изучаемого вопроса? (сама по себе наука обширная, отбор необходимого материала из научной математики для обучения школьных программ)
Сам предмет методика преподавания математики состоит из 2-х частей: общая и частная методика.
В общей методике рассматриваются конкретные факты с учетом специфики математики как учебного предмета. Называемое общее дано не так как она основывается на психолого-педагогических аспектах.
Частная методика представляет собой применение общей методики к изучению конкретных тем школьного курса математики.
МПМ - это наука о математики как о научном предмете и закономерностях обучения математике учащихся различных возрастных групп, в своих исследованиях данная наука опирается на различные психолого-педагогические, математические основы и обобщения практического опыта работы учителей математиков.
Д/з «История возникновения МПМ» (конспект)
-Учебники нового поколения - в переходный период
-Учебники нового поколения- при 12 летнем обучении
Связь с другими науками.
С физикой, химией, педагогикой, психологией, философией и другими науками.
Цели обучения математики в вузах.
Выпускники вузов по завершению курса МПМ должны усвоить следующие аспекты:
развитие логического мышления и умения решать задачи различных видов (общая культурная роль МПМ)
развитие прикладного математического мышления учащихся (представление о роли математики в науке и практике, иметь элементарное представление и навыки применения математики).
Содержание школьного курса математики.
Школьные программы и учебники постоянно изменяются. Первые изменения в школьных программах произошли в 1965 году. ( Калмагулов, Акумевич – комиссия).
В основу программы были заложены 4 ступени образования ( 1-3 классы, 4-5 классы, 6-8 классы, 9-10 классы).
В этот период были введены новые термины множества и его элементы, высказывания и предложения с переменными, подмножества, объединение и пересечение множеств. (с 1-5 класс) Элемент арифметического понятия и начальные сведения из геометрии, понятие отрицательного числа, понятие числа в буквенной символике и решение уравнений (6-8 класс) курс алгебры, 9-10 класс курс алгебры и начала анализа.
Особенностью данного проекта было усиления внимания к обобщенным идеям ( число, геометрические преобразования)
После обработки данная программа была облегчена и переработана в 1985 году ( трех ступенчатая 1-4 класс, 5-9 класс, 10-11 класс).
Дидактические функции.
В основе технологии обучения лежит методологическая система значения включает следующих 5 компонентов:
1) содержание обучения
2) цели обучения.
3) средства
4) форма
5) методы
Дидактические принципы подразделяются на общие и основные.
При рассмотрении дидактических принципов основные положения определяют содержания организационных форм и методов учебной работы школы. В соответствии с целями воспитания и закономерностей процесса обучения.
Дидактические принципы выражают то общее, что присуще любому учебному предмету и являются ориентиром планирования организации и анализа практического задания.
В методической литературе нет единого подхода выделении систем принципа:
А.Столяр выделяет следующие принципы:
1) научность
2) содержательность
3) наглядность
4) активность
5) прочность
6) индивидуальный подход
Ю.К. Бабанский выделяет 5 групп принципов:
1) направлена на отбор содержания обучения
2) на отбор задачи обучения
3) на отбор формы обучения
4) выбор методов обучения
5) анализ результатов
В основу развития современного образования заложен принцип непрерывного обучения.
Принципы обучения не являются раз и навсегда установленные, они углубляются и изменяются.
Принцип научности, как дидактический принцип, сформулирован Н.Н. Скаткиным в 1950 году. Особенностью принципа:
отображает, но не воспроизводит точности системы науки, сохраняя по возможности общие черты присущую им логику, этапность и систему знаний.
Опора к последующим знаниям на предыдущие.
Системная закономерность расположения материала по годам обучения в соответствии с возрастными особенностями и возрастом обучаемых, а также дальнейшие развитии обучающих.
Раскрытие внутренних связей между понятиями закономерностями и связи с другими науками.
В переработанных программах были особо выделены принципы наглядности.
Принцип наглядности обеспечивает переход от живого созерцания пр- венному мышлению. Наглядность делает более доступным, конкретным и интересным, развивает наблюдательность и мышление, обеспечивает связь между конкретным и абстрактным, способствует развитию абстрактного мышления.
Чрезмерное употребление наглядности может привести к нежелательным результатам.
Виды наглядности:
натуральный (модели, раздаточный материал)
изобразительная наглядность (рисунки, фото и т.д)
символическая наглядность (схемы, таблицы, чертежи, диаграммы)
Принципы:
принцип сознательности обучения предлагает глубокое знание изучаемого усвоения материалом и умения применять на практике. Данный принцип достигается при оптимальном сочетании руководящей ролью учения и активной деятельности ученика (восприятие, сознательное усвоение). В поле сознание выполняет только тот материал, который хорошо понят, проверкой 123 является система продуманных упражнений.
2) Формальность. Критерий формальности:
1.отрыв формы от содержания
2. неумение применять теоретическую математику на практике
3. преобладание памяти над пониманием
3) Прочность. Данный принцип, чтобы у учащихся на долго сохранялись приобретенные ЗУН- этого не возможно достигнуть без глубокого понимания материала т.е здесь превалирует связь между принципом сознательности и научности, однако для прочного усвоения также необходимо учитывать особенности обучаемых, закономерности, находящиеся в промежутке в зависимости от сохранения и применения. Также можно отметить, что память имеет избирательный характер.
4) Принцип системности и последовательности.
Системность в обучении математики предполагает соблюдение определенного порядка в рассмотрении и изучении фактов и постепенное овладение основными понятиями и положениями школьного курса математики.
Последовательность в обучении математике идет:
а) от простого к сложному
б) от представлений к понятиям
в) от известного к неизвестному
г) от знания к умению, а от него – к навыку.
5) принцип доступности. В данном принципе вытекает из требования учета возрастных особенностей (чтобы 123 и содержание учебного материала были по силам обучающим и составляющими умственному развитию и запасу знания).
Применение: необходимо учитывать следующие условия
от простого к сложному , от легкого к тяжелому (от неизвестного к известному)
6)индивидуальный для успешного обучения необходимо учитывать особенности мышления любого ученика, свойства его памяти, слуха, зрения, его характер и волю.
Методы обучения математики.
Методы подразделяются на общие дидактические и специальные.
Данилов: «Метод- это логический способ передачи учителем ЗУН учащимся» (в данном определении отсутствует о познавательной деятельности)
Ильина: «Метод- это способ с помощью которого учитель руководит познавательной деятельностью учителя» (отсутствует ученик как объект деятельности или учебного процесса)
Метод обучения- это способ передачи знаний и организации познавательной практической деятельности учащихся при котором обучаемые овладевают ЗУН, при этом развивают их способность и формируя их научное мировоззрение.
Существует около 150 определений и 80 классификаций методов обучения.
Методы обучения подразделяются на методы преподавания и методы учения.
Бабанский рассматривает три группы:
методы организации учебной познавательной деятельностью
методы мотивации и стимулирования учебной познавательной деятельностью
методы контроля и самоконтроля за эффективностью учебной познавательной деятельностью
Определение: Общие дидактические методы рассматривают наиболее общие теоретические аспекты организации учебной познавательной деятельности обучаемых.
Объяснительно-индустративную
репродуктивный метод
частично поисковую
проблемную
исследовательский
иногда называют информационно - интуитивно. Для данного метода характерно используется, тем, что учитель посредством слова, наглядности, учебника, показа различной демонстрации передает ученикам готовую информацию, ученики же в силу своей подготовленности усваивают этот материал. Без данного метода затруднительно первоначальное усвоение материала в особенности сложного, при использовании этого метода важно умелое сочетание слов и наглядности.
При данном методе раскрывается формула:
Усвоение = понимание + запоминание
репродуктивный метод, при этом методе формируются ЗУН на основе практического опыта (в форме алгоритмов, решения простейших задач) самого обучаемого.
Овладение = усвоению + применение на практике.
Частично поисковый учитель при изложении материала организует работу учащихся по средствам специально подобранных задач ( вопросы, доказательство теорем т.д. ).
Проблемный метод обучения занимались Махмутов М.И., Матюшкин А.Н., И.Я. Левнер, А.А. Столяр, В.И. Крутич.
Основными компонентами являются проблемная ситуация, учебная проблема, учебная задача.
Щукина: проблемная ситуация- это не соответствие между имеющимися знаниями, опытом и недостаточностью прежних действий, знаний и теми способами, которые необходимы для решения задач.
Под проблемностью понимается система проблемных ситуаций создаваемых учителем с помощью определенных приемов и их средств.
Исследовательский метод- предназначен для развития творческих способностей у учащихся. Учитель ставит перед учащимися определенную учебную проблему, учащийся пытается ее решить. Данный метод используется на факультативных и кружковых занятиях, в частности для математиков. Необходимо заранее предложить определенный набор задач различной степени сложности, для того чтобы учащиеся соответственно своим возможностям выбрать одну из задач и в установленные сроки предоставить решение этих задач.
Специальные методы.
Наблюдение, опыт, сравнение, аналогия, индукция, дедукция, обобщение, анализ, синтез.
Наблюдение- называется метод изучения ,фиксирование свойств и отношений отдельных объектов и явлений окружающего мира, рассматриваемых в их естественных условиях, и в той естественной связи признаков объекта, в какой они существуют в самом объекте.
Опыт- называют метод изучения объектов и явлений, посредством которого мы вмешиваемся в их естественное состояние и развитие, создавая для них искусственные условия, искусственно их расчленяя на части и соединяя с другими объектами и явлениями.
Сравнение - мысленное установление сходства или различия объектов изучения.
Обобщение - выступает как переход от данного множества предметов к рассмотрению более и емкого множества, содержащего данное.
Анализ и синтез- практически неотделимы друг от друга, они сопутствуют друг другу, дополняя друг друга составляя единый аналитико- синтетический метод.
Анализ рассматривался как путь ( метод мышления ) от целого к частям этого целого, а синтез- как путь ( метод мышления) от частей к целому.
Абстрагированию противоположен процесс конкретизации. Конкретизация- это мыслительная деятельность, при которой односторонне фиксируется та или иная сторона объекта изучения, вне связи с другими его сторонами.
Абстрагирование- это мысленное отвлечение от некоторых несуществующих свойств изучаемого объекта и выявления, существенных для данного исследования свойств.
История возникновения МПМ.
Из обширного запаса методико-педагогических знаний и опыта выделен учебный предмет МПМ в педагогическом институте, который можно условно разделить на три раздела.
Общая МПМ ( изучение методов преподавания )
Специальная МПМ ( изучение, учение о функции в школьном курсе математики )
Конкретная МПМ, которая состоит из
а) частных вопросов общей методики (планирование уроков математики в 4 классе)
б) частных вопросов специальной методики (методика преподавали темы «Четырехугольники»).
Различают также методики преподавания пропедевтического (подготовительного) и систематического (основного) курса математики.
Методика формирования методических понятий.
Представление- это наглядный образ предмета или явления возникаемого путем его воспитания в памяти и воображении.
Для представления характерно переход к его высшей ступени познания то есть к образованию понятий. С точки зрения формальной логики мышление характеризуется следующими основными формами:
понятие
умозаключение
суждение.
Для понятия характерным является выделение свойств, при этом общее свойство некоторого объекта могут быть как отличиями так и неотличительными свойствами.
Общее свойства могут быть отличительными для данного объекта если оно отражает его так называемые существенные свойства, которые могут быть его признаками.
Признак является основным для некоторого объекта, если данный признак принадлежит всем объектам рассматриваемого класса.
Признак называется противоречивым, если он не принадлежит не одному объекту рассматриваемого класса.
Признак называется отдельным, если он принадлежит лишь некоторым объектам рассматриваемого класса.
Отношение независимости. Свойства а и б называются независимыми, если объектом некоторого множества принадлежат оба свойства одновременно и отдельно друг от друга.
Отношение необходимости и достаточности. Каждое из двух свойств является необходимым и достаточным условием по отношению друг к другу, если объекту этого множества принадлежат одновременно только эти свойства, при этом одно свойство называется необходимым если существуют объекты имеющие одно из этих свойств, в противном случае рассматривается достаточность.
Отношение несовместимости. Свойства называются несовместимыми, если объект некоторого множества может содержать только свойства одного класса.
Основными характеристиками понятия является:
содержание понятия
объем
связь и отношения данного понятия с другими
Под содержанием понятия понимают совокупность основных признаков существующих характеристик (классов) объекта (явления), возникающих со знанием человека с помощью данного понятия. (для треугольника, прямоугольника, окружности и т.д)
Объем понятия - это количество объектов охватываемых в данном понятии (квадрат, прямоугольник, трапеция, ромб)
Логические операции используемые при работе с понятиями:
ограничение- переход от понятия большего… к понятию меньшего… (от параллелограмма к ромбу)
обобщение- переход от меньшего к большему …, при этом общие понятия называются родовым понятием, менее общее видовым (призма родовое понятие, прямая призма- видовое)
Что значит определить понятие?
Определение понятие- это логическая операция при помощи которой рассказывается содержание вводимого понятия через перечисление существенных признаков.
Существенные признаки понятия- это признаки которые необходимы для характеристики данного объекта при этом возможно, что лишь 1 признак является необходимым, а все ….. , чтобы отличить объекты данного рода от других. Выбор существенного признака для определения объекта может оказаться многозначным.
Различают реальные и номинальные определения.
Реальные определения: отображают существенные признаки предмета и имеют цели отличить определяемые предметы от всех других предметов путем указания его отличительных признаков. Номинальные определения объясняют значение слова и термины обозначают данный объект
Конъюнктивные и дедуктивные. Конъюнкция, когда одно истинно.
Дизъюнкция, либо ложь, либо истина.
Конструктивное определение, определение в котором указывается способ образования объекта (конус, шар, цилиндр).
Рекурсивное определение- это определение в котором указывается некоторые базисные объекты, некоторого класса и правила позволяющие получить новые объекты этого же класса.
Остенсивное - это определение значение слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов, которое обозначается этими словами.
Определение через отрицание- это когда отрицаются известные определения, чтобы получить новое определение (натуральное, отрицательное, рациональное, иррациональное)
Определение через абстракцию- это, когда определение того или иного объекта через другой вид невозможно либо трудно осуществимо (множество, число, величина, точка).
Аксиоматический- это когда определение понятие дается через аксиому (прямая, точка, плоскость)
Требования к определениям
Определение должно быть соразмерным, то есть ……… определяемого и определяющегося понятия должны быть равные.
Н-р: квадратом наз-ся прямоугольный четырехугольник.
2. Определение не должно включать в себя порочного круга ( тавтология ) то есть в качестве определяющего понятия, не должно браться понятие, которое само определяется с помощью определяемого понятия.
Н-р: прямой угол наз-ся угол равный 90 градусов.
3. Определение не должно бать отицающим, Определение должно указывать признаки принадлежащие понятию, а не признаки которые оно не должно иметь.
Н-р: параллелограмм- это не трапеция.
4. Определение должно быть ясным, т.е Определение не должно быть двухсмысловым или содержать метафологические выражения.
Н-р: подобные фигуры должны иметь одинаковую форму.
Нарушение этих требований к следующим ошибкам:
Ошибки связанные с неполным указанием родового понятия. Н-р: квадрат равносторонний прямоугольник.
В определении указывается род понятия, который для определяемого понятия не является не родом, не видом. Н-р: хорда это прямая соединения 1 точек окружности.
Тавтология в определении понятий, т.е предмет определяется через самого себя.
Ошибки связанные с неправильным указанием родового отличия:
а) Указываются не все требуемые видовые отличия. (угол образованный хордами)
б) избыток видовых отличий (параллелограмм- это прямоугольник, у которого противоположные стороны равны или параллельны)
5. Ошибки, связанные с пропуском слов (прямые лежащие в одной плоскости и не имеющие одной общей точки называются параллельными – 2 пропущено)
Понятие в школьном курсе математики представляется по группам:
понятие аналогии, которое является житейским представлением и включает донаучные понятия.
Понятие дается без определения.
Понятие дается через определения.
Понятие дается более расплывчатым, а затем более конкретизируется
Д/З. «Лабораторная работа» Лященко
Математические суждения.
виды математических суждений
логическая структура, теоремы. Виды теорем.
свойства и признак.
Суждением называется такая форма мышления, которая устанавливает связи между понятиями между объектами, охватываемые этими понятиями.
Суждения, правильно отображающие эти объективно существующие зависимости между вещами называется истинными, в противном случае ложные. Суждения имеют свою языковую оболочку в предложениях. Однако не всякое предложение является суждением, характерные признакам суждения является обязательное наличие истинности или ложности, выражающем его предложение.
Обычно математические суждение формулируется в виде математических предложений.
К математическим предложениям относятся: теоремы и аксиомы. Некоторые определения тоже относят к математическим предложениям.
К математическим предложениям относят уравнение неравенство, тождество и др.
Для выражения тех или иных научных суждений и для выражения логической структуры операции над ними используется язык математической логики, где используется термин высказывания близкий к термину суждений. Над высказываниями используются логические операции конъюнкция, дизъюнкция, и т. д..
Основными видами математических суждений являются: аксиомы, постулаты, теоремы.
Аксиома (от греческого то, что приемлема) - предложение, принимаемое без доказательства его истинность допускается.
В аксиомах высказываются утверждения о свойствах основных неопределяемых понятиях некоторые теории к системе аксиом предлагаются требования независимости, непротиворечивости, полноты.
Постулат (от лат. требование) – это предложение в котором выражаются некоторое требование (условие) к которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторого отношения между понятиями.
Теорема (от греч. рассматриваю, зрелище) – математическое предположение, истинность которого устанавливается по средствам доказательства (рассуждения).
2.В любой теореме можно выделить разъяснительную часть (Р), условие (А), заключение (В).
Пример: В теореме «если две прямые // 3-й, то они // между собой».
Р: три прямые
А: 2 // 3-й
В: 3 прямые // между собой
Любую теорему на языке логики можно записать так Р/А В или АВ.
Теорема имеющая одно условие называется простой.
Если имеется несколько условий, то называется теорема сложной.
П-р: сложной теоремой
1) если 2 // прямые пересечены третьей, то накрест лежащие углы равны и сумма внутренних односторонних углов равна 180 градусов (АВ1 В2)
2) если диагональ четырехугольника точкой пересечения делится пополам, то эта фигура ромб (А1А2В).
Каждая сложная теорема может быть предложена в виде нескольких простых.
Для словесной формулировки теорем используется условное (со словами или … то) и категорическое (без этих слов)
Условная формы формулировки теорем отражает ее структуру и импликация высказываний из АВ.
Условная формы формулировки теорем удобна для изучения в ней после слов если, дается условие теоремы то, ее заключение.
П-р: 1) Средняя линия треугольника // основанию (категорическая форма)
2) Если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником ( условная форма)
3) Вертикальные углы равны (категорическая форма)
4) Если два угла вертикальные, то они равны (условная форма).
С любой теоремой связаны еще 3 теоремы.
1. АВ- прямая
2. ВА- обратная
3. - противоположная к первой
4. - контропозитивная.
1 2 пары эквивалентных
3 4 теорем.
П-р: 1) Если четырехугольник параллелограмм, то его диагонали пересекаясь делятся пополам (АВ- истина)
2) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм (ВА- истина).
3) Если четырехугольник не параллелограмм, то его диагонали пересекаясь не делятся пополам (истина)
4) Если в четырехугольнике диагонали пересекаясь не делятся пополам, то этот четырехугольник не является параллелограммом (истина).
Отметим важные случаи простых и сложных теорем.
Следствие- это теорема, легко доказываемая с помощью одной теоремы.
Лемма- вспомогательная теорема представляющая интерес, только как ступень к доказательству другой теоремы.
Необходимое и достаточное условие.
Это теорема объединяющая в одной формулировке с использованием слов необходимо и достаточно прямую и обратную теорему.
АВ
-Теорема существования- это теорема, в которой отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование какого-либо объекта, обладающего определенными свойствами ( Н-р: теорема существования параллельных прямых).
- Теорема единственности- эта теорема в которой нет условия и заключения, но утрачивается единственность какого-либо объекта, обладающего какими-то свойствами (Н-р: теорема единственности перпендикуляра к прямой проходящего через данную точку).
- Теорема тождества, теорема формула- это теоремы, выраженные языком математических символов.
Некоторые теоремы отражают свойства объекта (эти понятия), а некоторые его признаки.
Свойства понятия- это то что можем сказать о данном понятие всесторонне рассматривая его.
Признак понятия- это те показатели, по которым можно узнать данное понятие.
Отличить теорему выражающая свойство понятия от теоремы, выражающей его признаки помогает условная формы теоремы, если об объекте идет речь в условии, то это свойство понятия, а если в заключении, то признак, причем объект в формулировке встречается один раз.
П-р: Теорема: «Вокруг любого прямоугольника можно описать окружность.»- это свойство прямоугольника.
Теорема в условной форме выражается так «если параллелограмм является прямоугольником, то вокруг него можно окружность». Здесь идет речь в условии теоремы.
Теорема: «Параллелограмм, у которого диагонали равны, является прямоугольником»- это признак прямоугольника
Теорема в условной форме: «если диагонали параллелограмма равны, то он является прямоугольником».
Лекция 2. Индукция. Дедукция. Аналогия
Доказательство любой теоремы состоит из цепочки умозаключения.
Умозаключение- это рассуждение, в ходе которого из одного или нескольких суждений называемых посылками умозаключения выводятся новые суждения называемые заключением или следствием, логически вытекающих из посылок.
Умозаключение делится на непосредственные и опосредованные.
Непосредственным умозаключением называется умозаключение, если вывод делается на основании только одной посылки. (Н-р: параллелограмм- это четырехугольник.- нет не может)
Опосредованным умозаключением называется, если вывод делается на основании нескольких посылок. Умозаключение бывает достоверным, если вывод истинное утверждение и вероятностным, если истинность вывода не определена.
В зависимости от общности посылок и вывода выделяют следующие виды умозаключений:
Дедуктивное
Индуктивное
Традуктивное
Дедуктивное умозаключение или дедукция (от лат. выведение)- умозаключение от общего к частному, частичному или от более общего к менее общему.
Индуктивное умозаключение или индукция (от лат. наведение)- от частного к общему или от менее общего к более общему.
Традуктивное или традукция (от лат. перемещение)- умозаключение, в котором посылки и вывод имеют одинаковую степень общности.
Дедуктивное умозаключение - может быть непосредственным и опосредованным.
Самым распространенным видом опосредованного умозаключения является силлогизм.
В силлогизме содержатся три понятия, и состоит из посылок и вывода, его структуру можно представить в следующем виде:
Пример силлогизма
П - р силлогизма: Все ромбы (М) есть параллелограммы (Р).
Доказательство любой теоремы состоит из нескольких силлогизмов, на которые при доказательстве теорем делают ссылки только в устной форме, особо не выделяя силлогизмы (этапы доказательства).
П-р: Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков обоих хорд равны произведению отрезку другой хорды.
Дано:
АВ и СД - хорды
Е- их точка пересечения
Доказать: АЕ*ВЕ=СЕ*ДЕ
Доказательство:
1 Силлогизм
БП Вписанные углы опирающие на одну и ту же равны.
МП угол 1 и 2 вписанные и опираются на дугу АД.
В: Угол 1=2
2 Силлогизм.
БП: Вертикальные углы равны.
МП: Угол 3 4 вертикальные углы.
В: угол 3=4 .
3 Силлогизм
БП: АСЕ и ВЕД подобны.
МП: 1=2, 3=4 т.к они подобны.
В: 1=2, 3=4
4 Силлогизм БП
МП АЕЕД; СЕЕВ; АСВД
В АСЕВЕД
Задание: Доказать любую теорему из учебника в форме выделения силлогизмов.
Полная и неполная дедукция.
В том случае когда дедукцией вывод делается после рассматривания не всех частных случаев индукция называется неполной.
Примеры неполной индукции: рассмотрим умножение 2-х чисел
26*24=624
47*43=2021
62*68=4216
сумма единиц-10
первые цифры – одинаковые.
Рассмотрев произведение этих чисел делают вывод. Для любых чисел и , где сумма
b+c=10, тогда произведение может быть найдено по следующему правилу:
*=a(a+1)*100+bc
этот вывод сделан на основе неполной индукции от частного к общему и нуждается в доказательстве, т.к может оказаться ложным.
Примеры на сокращение дробей:
Из рассматриваемых примеров можно сделать вывод, что в числитель и знаменатель можно вычеркнуть b, а иногда нельзя .
Из приведенных примеров видно что неполная индукция вероятностно умозаключению. Она не может использоваться для доказательства утверждения, но она поможет выделить гипотезы на основании подмеченных закономерностях.
Н-р: Найти ГМТ на плоскости равноудаленных концов отрезка АВ.
Полная индукция противоположность неполной индукции, служит методом строгого логического доказательства.
Может быть использована при доказательстве утверждений относящиеся как к конечному так и бесконечному множеству объекта.
П-р: Значение выражения является целым числом при любом х равных 0, -5, 1.
В случае доказательства некоторым утверждениям для бесконечного множества объектов методом полной индукции это множество разделяется на конечное число не пересекающихся подмножеств, которые при объединении должны составлять данное множество.
В школьном курсе полная индукция применяется при доказательстве о величине вписанного угла, теорема косинусов.
Литература:
1. Н.Я. Виленкин «Индукция. Комбинаторика» Москва, 1976
2. Головина Л.И. , Яглан И.М. «Индукция в геометрии» 1956г, Москва.
Аналогия.
Аналогия- является видом традуктивного умозаключения. Она также , как и полная индукция относится к вероятностному умозаключению.
Аналогия- это утверждение, при котором значение об одном объекте переносится на другой объект, сходимый с первым, иногда его называют умозаключение по сходству.
Различают умозаключение простую и распространенную аналогию.
В распространенной аналогии от сходства явлений делают вывод о сходстве причины.
Простая аналогия- это аналогия, в которой от сходства двух объектов в одних признаках, отношениях заключают о сходстве их других признаков и отношениях.
Н-р: Предмет А имеет признаки 1, 2, 3. Предмет В 11, 21, 31- признаки.
В: вероятно объект имеет признак 3 сходный с 31.
Н-р: 1) у прямоугольника все углы прямые (А)
все диагонали равны (В)
точкой пересечения делятся пополам (С).
у прямоугольного параллелепипеда все линейные углы трех равных углов прямые (А)
диагонали равны (В1)
В: (вероятно диагонали параллелепипеда точкой пересечения делятся пополам С1)
Можно заметить сходство треугольника и тетраэдра.
Треугольник выпуклая фигура на плоскости образована наименьшим числом пересечения плоскостей.
Тетраэдр выпуклая фигура в пространстве образуется пересечений плоскостей в пространстве.
Вероятно, свойства у них сходны.
Литература:
1. Ердниев П.А., Ердниев Б.П. «Аналогия в задачах» 1989
2. Ердниев П.М. «Аналогия в математике» Москва
Лекция 3. Методы доказательств
Доказательство- это цепь логических рассуждений, связывающие условие и заключение теоремы опирающихся на известные теории (теоремы, определения, аксиомы) и обосновывающих истинность заключения. К доказательству теорем учащихся необходимо готовить с первого по 6 классы, научить их наблюдательности, подмечать закономерности и т.д.
Необходимо научить учащихся приводить контрпримеры, они являются доказательством.
Н-р: 1) четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны являются ромбом
2) В четырехугольнике противоположные углы по 90 градусов n-угольник.
При изучении геометрии особенно на начальном этапе большое значение имеет вид чертежа, его расположение.
Методы доказательства теорем делятся на два вида: прямое и косвенное доказательства.
Если доказательство соединяет условие и заключение теоремы, то его называют прямым доказательством.
Если оно связывает условие и заключение другой теоремы (суждение), но в силу логических законов обосновывает истинность доказываемой теоремы, то это косвенное доказательство.
Метод доказательства- это способ связи заключений доказательства.
В широком смысле анализ и синтез являются операциями мышления и следовательно могут рассматриваться как методы познания действительности.
Слово анализ от греч., разложение, расчленение.
Анализом обычно наз. такую операцию мышления с помощью, которой переходят от целого к его частям, от сложного к простому, от следствия к причине, от искомого к данным.
Слово синтез от греч., соединение, сочетание, составление.
Синтез представляет собой операцию мышления с помощью которой переходят от части к целому, от простого к сложному, от причины к следствию, от данных к искомому.
Кроме того над анализом понимают коллективное изучение свойств объекта, а под синтезом их качественное изучение.
Поскольку анализ и синтез связывают причину (условие теоремы, задачи) со следствием (заключением теоремы , требованием задачи) их рассматривают как метод доказательства.
Синтетический метод доказательства определяется тем, что рассуждения ведутся от условия к заключению теоремы это метод прямого доказательства.
АС
(АТ)В1В2В3…ВхС, где Т известные математические предложения в рассмотрении теории.
В1,В2,В3,…,Вх- следствие из условия.
Вывод об истинности С делается по закону логики.
Синтетический метод- метод строгого доказательства.
П-р: Теорема: Если противоположные стороны некоторого четырехугольника попарно равны, то это параллелограмм.
Дано
АВ=СД, ВС=АД (условие А)
Доказать: АВСД- параллелограмм (заключение)
Доказательство:
1) АВС=АСД (В1)
2) САД=ВСА
ВАС=АСД (В2)
3) ВС//АД, АС//СД (В3)
4) АВСД- параллелограмм (С)
В учебнике все теоремы даются синтетическим методом.
Синтетический метод- является самым коротким методом доказательства.
Аналитический метод доказательства характеризуется тем, что рассуждения ведутся от заключения к условию теоремы.
Анализ как метод доказательства встречается в двух формах: восходящий анализ (совершенный анализ), анализ Паппа и нисходящий анализ (несовершенный анализ) – анализ Евклида.
При восходящем анализе для доказываемого утверждения последовательно набирают достаточное основание от следствия восходят к причине, схема восходящего анализа следующая:
Пусть требуется доказать что из АС
Док-во: В1С (достаточное условие для С)
В2 В1
В3 В2
……
Вх (АТ)
Т.О рассуждение состоит в подборе достаточных условий.
Восходящий анализ является строгим методом логического доказательства, истинность
С(АТ)- этот метод прямого доказательства.
Иногда аналитический метод доказательства применяется для нахождения способа доказательства, такой метод доказательства называют аналитико-синтетическим методом.
Н-р: в предыдущей теореме доказывают синтетический метод.
используют аналитический метод.
1 пункт
1. Что нужно доказать?
2. Что АВСД- параллелограмм
3. Что это значит?
4. Определение параллелограмма.
5. Доказать параллельность противоположных сторон.
2 пункт
Чтобы доказать // АВ и СД надо доказать равенство накрест лежащих углов.
3 и4 при прямых АВ и СД при секущей АС.
3 пункт
// ВС и АД
4 пункт
3=4, 2=1
АВС=АСД
5 пункт
Чтобы доказать равенство треугольников надо показать, что условие соответствует одному из признаков равенства треугольников, т.е идти от 5 пункта к 1 пункту.
При подготовке к доказательству теорем можно использовать следующие 3 способа: подача, формулировки теорем.
Учитель проводит такую работу, после которой ученики сами дают формулировку теоремы.
Учитель предварительно разъясняет содержание формулировки теоремы, теорему дает сам.
Учитель сразу дает формулировку теоремы, потом проводит разъяснительную работу.
Учитель обязан продумать чертеж к теореме 6
В учебнике доказательство дается сплошным текстом, учитель обязан продумать лаконичную гладкую запись, подразделяя доказательство на этапы рассуждения.
Обратить на важность теоремы. Наиболее важными теоремами в планиметрии являются теоремы о сумме углов треугольника, теорема Евклида.
Обратить внимание учащихся на слова и термины, появившиеся впервые в формулировках теорем и на доске дать правильную запись и символы которыми они обозначаются.
Иногда полезно давать ошибочные формулировки, чтобы проверить уровень усвоения теоремы.
Н-р: 1) в треугольнике против равных углов лежат равные стороны.
2) почему в равносторонних треугольниках углы при основании остры.
Условие обеспечения доказательства теоремы.
Если доказательство должно быть только понятно, то оно должно проверятся кратко, если доказательство должно быть усвоено, проверятся подробно.
Для учителя важно темп подачи материала, тембр голоса, монотонность речи, языковые погрешности, чрезмерная громкость.
Литература:
Бондаренко А.Ф. «Формирование педагогических речевых умений»- советская педагогика №3,1983г
Бухвалова «О требованиях в речи педагога» народное обучение М, 1983
Куваев «Диалог как форма обучения доказательства» №6, 1985г. Математика в школе- журнал
Приемы закрепления доказательства теоремы: закрепляется в 2 этапа: на уроке и последствии.
Следует разделять усвоение доказательства и ее запоминание.
Для проверки используются вопросы целесообразные.
Прием 1: После доказательства теоремы: один или два ученика повторяют доказательство теоремы.
Прием 2: Учитель предоставляет серию вопросов, отвечая на который, ученик прогоняет основные этапы доказательства.
Прием 3: Ученикам предлагается составит план доказательства.
Прием 4: На доске или на пленке кодоскопа заготавливается последовательность выводов, а ученики должны привести аргументы этих выводов.
Методы доказательств.
Нисходящий анализ.
При нисходящем анализе рас-ние выполняется в предложении, о том что истинность или ложность суждения выяснена, опираясь на допущение и доказательстве ранее теоремы, выводят одно или несколько следствий из заключения из заключения до тех пор пока вопрос об истинности который в данной теории решен.Т.О. Нисходящий анализ состоит в отыскании необходимых условиях, заключениях теоремы.
Доказательство в форме Нисходящего анализа проводятся по следующей схеме: АС, то СВ1В2…Вх (условие А учитывается при выборе В1)
Последовательное заключение Вх такое суждение истинность или ложность которого известна. Если Вх ложно, то и С ложно. В этом случае нисходящий анализ может быть применен как метод сурового доказательства и прямого доказательства. Если же истина т.е из приведенных рассуждений об истинности С нельзя сказать определенно, рассуждение нельзя считать доказательством, нисходящий анализ в этом случае может быть использован как метод доказательства.
Можно попытаться провести синтетическое доказательство, проверив обратимость рассуждений, если рассуждение обратимо ВхВх-1…В1С, то С истина. Если же не возможно провести обратное рассуждение, то необходимо искать другой метод доказательства.
П-р:
предлагается, что данное неравенство справедливо для любых a,b неотрицательных.
Последовательное утверждение истина.
Убедившись, что утверждение обратимы делаем вывод об истинности доказываемого неравенства, Т.О. нисходящий анализ в случаи истинности Вх не может служить методом строгого доказательства. Он требует обратного синтетического хода рассуждений, поэтому он называется несовершенным анализом.
В этом случае, когда Вх ложное, используют метод косвенного доказательства или метод от противного, который заключается в следующем:
1. Если следует доказать теорему: АС, то представляют, что С ложно (отрицание) по закону исключения третьего.
2. Получают цепочку следствий
В1В2…Вх, в которой Вх ложное.
Делают вывод о ложности не . А истина С.
Цели обучения.
| I Предметно- ориентированный метод обучения | II личностно-ориентированный метод обучения |
Цели: обучающий, развивающий, воспитывающий. Математическое образование. Математика- цель. Ученик- средство. Субъективно объективный. Монолог учителя Формы урока: усвоение = понимание + запоминание Обучение предлагает вооружение алгоритмами. Вооружение учеников готовыми фактами. |
образование с помощью математики. Ученик- цель. Математика- средство. Субъективно- объективный диалог Овладение = усваивание + применение на практике Обучение предлагает развитие, отказ от шаблонов стереотипа шаблона. Развитие осуществляется за счет процесса получения фактов. |
Лекция 4. Математические задачи
В психолого – методической литературе существуют разные подходы к решению задачи. Большинство авторов считают, что задача – это ситуация требующая действий для достижения определенной цели. Поэтому основными компонентами задачи являются: цель, ситуация, действие.
Цель – это требование, ситуация – условие; действие – решение.
Задачей будем считать математической, если ее решение осуществляется математическими средствами.
2.Математические задачи можно разделять на виды (типы) по разным признакам:
а) по отношению компонентов в математике: чисто математические, (все компоненты математические объекты); прикладные (математическое только решение);
б) по характеру требования Н.М. Фридман
- задачи на вычисление искомого,
- задачи на доказательство и объяснение
- задачи на построение или преобразования.
в) по методу решения подразделяются на арифметические (+,-,/,*), алгебраические (буквенные выражения), геометрическое (построение, преобразование).
г) по числу неизвестных компонентов (Колягин Ю.М.)
- стандартные (все компоненты известны)
- обучающая (неизвестен 1 компонент)
- поисковая (неизвестны 2 компонента)
- проблемная(неизвестны 3 компонента)
Выделяет следующие компоненты: начальное состояние, условие (И), конечное состояние, заключение (Z), решение задачи (N), базис решения обоснование (О).
д) по характеру мыслительной деятельности необходимые для решения: стандартные (репродуктивные), нестандартные (творческие).
е) по дидактическим функциям А.А. Столяр для усвоения понятий задачи, для обучения доказательствам, для формирования математических умений – подготовительные.
Различные признаки типизации задач, связанный с различным методом задач.
Задачи могут выступать как цель: научить решать.
Задачи могут выступать как сод – е обучения: тогда они характеризуются по типу требования.
Задачи в обучении могут выступать как средство обучения; в этом случаи их часто называют упражнениями их назначения давать знания, умения и навыки.
В частности учащегося необходимо обучать методом и приемом решения задач, к ним относятся рассмотренные выше методы как анализ, синтез, дедукция, индукция, аналогия.
Перечислим некоторые приемы решения задач не зависимые от типов задач.
Решение задачи представляет собой такое преобразование условия задачи при котором находится требуемое искомое. Решение математической задачи это значит найти такую последовательность общих положений в математике (определение, аксиомы, формулы, законов и т.д.) применяя которые к условию задачи или к их следствию (промежуточном развитии движения получаем то, что требуется в задачи ее ответ). При решении задачи возникает необходимость четного выделения осиновых этапов решения.
Д. Пойя Ю. М. Калягин выделяют и этапа в процессе решения задачи:
- исследование условия и требования задачи.
- поиск решения задачи (составление плана).
- осуществления планов решения задачи.
- проверка правильности решения задачи, поиск правил других способов решения задачи.
Л. М. Фридман, Е. Н. Турецкий в процессе решения задачи подразделяют на 8 этапов:
- анализ задачи
- схематическая запись задачи,
- поиск правил других способов решения задачи
- осуществления решения задачи
- проверка решения задачи
- исследование задачи
- формирование решения задачи
- анализ решения задачи.
Наиболее важными и трудными являются первые 2 этапа.
Для поиска решения задачи и для анализа и требования используются следующие приемы:
1. правильное чтение задачи (правильное произношение слов, постановка ударения в словах, постановка логических ударений).
2. правильное слушание текста задачи (слушая первый раз надо постараться понять и записать требование задачи, второй раз условие).
3. постановка специальных …. По тексту задачи для выяснения его понимания. Вопросы могут быть следующего характера:
- о чем эта задача?
- о каких объектах идет речь?
- какой процесс описывается в задачи?
- что означают слова, термины, числа?
4. разбиение задачи на смысловые части, выявление структуры задачи, и из формулировки выдвигаются условия и требования, объекты и их характеристики, выясняются отношения, зависимости между ними. Для выполнения условия задачи могут быть поставлены вопросы:
- что дано в задачи?
- что требуется найти?
- как связаны величины задачи?
После такого анализа составляется краткая запись условия задачи.
при необходимости возможна переформировка текста задачи отбросив лишние детали текста.
Приемы поиска планы решения задачи.
1. Распознавание вида задачи, подведение задачи под известные Def, утверждение, правило, алгоритм. В случаи, если задача стандартная.
2. Рассуждение на основе исходного текста задачи с использованием аналитически синтетического метода.
3. рассуждение по краткой записи.
4. проведение аналогии с ранее решенными задачами и методами решения.
5. разбиение задачи на подзадачи.
6. Введение вспомогательных элементов.
Приемы дополнительной работы над задачами.
Составление и решение обратной задачи.
Решение задачи другим способом.
Исследование решения.
Проверка, практическая значимость задачи.
обобщение задачи и способы решения.
Задача: Два велосипедиста выехали навстречу друг другу из пункта А и В, расстояние между которыми = 11 км, ? = 24 км/ч
? = 20 км/ч.
одновременно с первым велосипедистом из А выбежал пес, добежав до 1- го велосипедиста, он повернул назад так он и бегал от одного к другому до их встречи.
Какое расстояние пробежал пес, если его ?= 28 км/ч.
Пери способа: арифметический, арифметически – алгебраический, алгебраический.
Решение:
S=v/t
t=S/v
v1+2=v1+v2
v1+2=44 км/ч
t=11/44=1/4 ч
S=28:1/4=7 км
При решение задач на вычисление аналитическим способом аналитико – синтетический метод применяется на тех – же решениях. Единственное различие состоит в том , что на этапе поиска решения применяется анализ в нисходящей форме.
Методика обучения решения технических задач.
Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми (сюжетными, практическими, арифметическими и т.д)
Текстовая- текст
Задача сюжетная- сюжет (реальные объекты, события, явления)
Арифметическая- математические выкладки (коллективные отношения
между значениями нескольких величин, связанные с вычислениями).
Термин текстовая задача -наиболее распространен. Текстовая задача представляет собой словесную модель ситуации, явления, события, процессы.
Задача:
Числовые значения величин (данные, известные- их должно быть не меньше двух).
некоторая система функциональных зависимостей в неявной форме.
требование или вопрос, на который надо найти ответ.
В задачи есть условие. Числовые значения величин и существующие между ними зависимости, т.е качественные и количественные характеристики объектов задачи и отношений между ними.
Величину, значение которой надо найти, называют искомой величиной, а числовое значение искомых величин, а числовое значение искомых величин- искомыми или неизвестными.
Задача: На первом складе было 135 м3 дров, на втором складе 114 м3. Ежедневно с первого склада вывозят по 7,5 м3, со второго 6,5 м3. Через солько дней на складах дров останется поровну?
Условие задачи :
1) Первый склад-135 м3
Второй склад- 114 м3.
Ежедневно с первого склада- по 7,5 м3.
со второго 6,5 м3.
Требование:
Через сколько дней на складах дров останется поровну?
Решение задачи:
135-7,5х=114-6,5х.
135-114=7,5х-6,5х
21=х
х=21
Ответ: через 21 день.
Задача: Даны три числа, сумма которых равна 100. Сумма двух из них равна 80, а первое число на 20 больше второго. Найти эти числа.
Условие задачи :
три числа: x, y, z.
сумма чисел равна 100
сумма двух из них равна 80 (1 и2, 1 и 3, 2 и 3)
первое число на 20 больше второго
Требование: 1. Найти эти числа
Решение задачи:
Ответ:
1) 2) 3) - неопределенная задача.
Лекция 5. Алгоритмы и правила
При решении стандартных задач выполняется алгоритмическая деятельность, т.к ход, последовательность и действия учащимся известны, под алгоритмом под алгоритмом понимает предписание, определяющее последовательность действий, операции, преобразовании с данными заданиями и для того чтобы решить задачу определенного типа алгоритм- неопределенное понятие, поэтому его распознавание проводится с использованием характеризующих свойств: массовость, элементарность и дискретность, шагов детерменированность, результативность.
Свойство массовости означает, что алгоритм применим для всех задач данного типа.
Элементарность проявляется в возможности разделения алгоритма на отдельные законченные операции, шаги, каждый из которых ученик может выполнить.
Детерменированность алгоритма понимается как однозначность, определенность каждого его шага.
Результативность показывает, что выполнение предписаний обязательно приводит к требуемому результату.
В школьном курсе математики вместо слова «алгоритм» часто используют термин «правило»
Правило- такое предписание, которое отличается от алгоритма, с нарушением некоторых свойств.
Логико-математический анализ алгоритмов и правил составляют из следующих действий.
а) проверка характеризующих свойств.
б) выделение последовательности операции.
в) установление связи с другими знаниями.
г) установление математических оснований, которые обычно являются общими математическими суждениями.
«Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями надо привести их к общему знаменателю и сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.»
Все свойства алгоритма выполняются, т.к правило применимо для любых двух обыкновенных дробей с разными знаменателями (массовость). В нем четко выделены 2 операции (дискретность) каждая из которой вполне определена (дискретность) и последовательное их выполнение приводит к результату в виде дроби (результативность) с помощью этого правила можно складывать дроби большего количества. Убрав в формулировке слово две. Учителю необходимо пересмотреть правило, указать порядок выполнения действия.
«Чтобы сложить две дроби с разными знаменателями надо:
1) привести их к общему знаменателю
2) сложить полученные дроби с одинаковыми знаменателями.»
Способы задания и виды алгоритмов.
Основными способами задания алгоритмов является словесное предписание в виде свободного текста, памятки, инсрукции, перечня шагов и т.п.
Образец выполнения
Алгоритмичная запись
Блок схемы
Запись на одном из математических языков программирования.
Основные виды алгоритмов: 1. линейные и разветвленные.
2.циклические и нециклические.
Рассмотренный пример «Сложение дробей с разными знаменателями» является линейным нециклическим алгоритмом, заданным способом предписания.
П-р: «Алгоритм Евклида» нахождение НОД двух чисел.
1) Разделить х на у перейти к указанию 2
2) если остаток =0 перейти к указанию 4, иначе к указанию 3.
3) присвоить х значение у, в значение остатка. Перейти к указанию 1.
4) НОД (х,у)= . перейти к указанию 5.
5) процесс окончен.
Это разветвленный циклический алгоритм, заданный способом алгоритм записи «Алгоритм решения линейных уравнений».
Это разветвленный не циклический алгоритм в виде блок-схемы. В школьном курсе математики алгоритмы и правила чаще записываются в виде и образца выполнения
Развитие понятия числа в курсе математики в неполной средней школе.
Различные подходы изучения чисел в курсе математики в неполной средней школе.
Методические основы ведения новых чисел.
Понятие числа относится к основным понятиям математики. На вопрос «что такое число? »нельзя дать ответ, опираясь на ранее введение понятия.
Современная математика имеет дело с различными по природе числами: натуральные N, с целыми Z, рациональные Q , действительные числа R, иррациональные J, комплексные С, гиперкомплексные К.
Понятие числа возникло на заре человеческой цивилизации в результате деятельности человека. Постепенно происходило расширение понятия числа.
Nc Z c Q C R c C c r, каждое из этих множеств является расширением предыдущего, при этом имеется в виду, что множество У является расширением множества Х, если выполняются следующее условие:
Множество Х есть собственное подмножество множества У.
Все отношения и операции для элементов множества Х определены и в множестве У, при этом их смысл совпадает с тем, который они имели в Х до расширения.
В множестве У выполнена операция, которая в Х была не выполнима, или не всегда выполнима.
Расширение У является минимальным из всех возможных удовлетворяющим первым трем требованиям.
Первое расширение понятия числа происходит в 5-6 классах, к концу 6-го класса формулируется понятие рационального числа, дальнейшее расширение в 7-9 и далее в 10-11 классах, причем основные положения и представление о числе у учащихся сложились в 5-6 классах.
С точки зрения чистой алгебры естественный ряд обобщений идет по пути:
(1)(2) (3) (4) и на алгебраических числах заканчивается.
В школе рассмотрение понятия числа идет по пути (1)(5) (3) (7)(8)
При разработке программы для школы были предложения идти по пути (1)(2) (3), после того как ученики изучили целые числа должны перейти к понятию неотрицательного числа.
В начале 5-го класса ученики еще не готовы к введению понятия отрицательного числа, они не поймут почему из меньшего числа вычесть больше, а понятие дроби более естественно, оно связано с повседневной жизнью, поэтому выбором путь рассмотрения числа (1)(5) (3) (7)(8) от (7)(8) оставили на факультативные занятия.
А.А. Столяр предлагает показать учащимся, что расширение понятия числа происходит из потребности практики и в связи с этим предлагает следующую схему:
Введение дробных чисел возможно начиная с обыкновенных и десятичных дробей, необходимо исходит из начального освоения. Для первоначального усвоения обыкновенной дроби легче исходя из возраста их жизни, а затем десятичные.
Введение нового числа обычно опирается на жизненный опыт учащихся, необходима мотивировка, так введение дробных чисел связывает с измерением, делением на части, мотивировка может быть алгебраической, практической (вводятся индуктивным методом).
Методика введения новых чисел в школе.
Какие дроби изучали раньше обыкновенные или десятичные?
В большинстве случаев в школе принято изучать обыкновенные дроби, однако есть случаи когда первыми изучают десятичные дроби:
1) десятичные дроби имеют большую практическую ценность.
2) производить действия над десятичными дробями легче
3) теорию о десятичных дробях можно построить, используя понятие обыкновенной дроби, расширяя десятичную нумерацию меньшую единицы.
Доводы против-й стороны:
не следует отступать от исторического развития числа.
Не следует нарушать логику, обыкновенная дробь родовое понятие, а десятичная дробь- видовое, трудно обосновать действия над десятичными дробями без обыкновенной дроби.
Учащиеся не оценят легкость действий над десятичными дробями не познавая трудности при действии над обыкновенными.
Теоретическое значение обыкновенных дробей, выше вся алгебра построена на обыкновенных дробях.
Нумерация дробных чисел.
В нумерации натуральных и дробных чисел есть различия:
1. Натуральное число имеет единственное название и единственное обозначение.
Дробное число имеет бесконечное множество названий и обозначений.
Обыкновенные дроби в отличии от десятичных читается неоднозначно.
При первоначальном введении новых понятий, надо начинать с небольшого 2-3х минутного исторического экскурса.
Источники получения дробных чисел.
1. Дробные числа появляются как результат измерения величин.
2. Разделение предметов на доли.
Дробные числа появляются в результате деления одного числа на другое.
Первоначальное ознакомление учащихся с дробью начинается в начальных классах, в 3 классе они знакомятся с долями, методикой ознакомления с простейшими дробями опора на конкретные образы долей величины, на практическое получение той или иной доли, а затем и дроби путем деления предметов, геометрических фигур на нужное число равных частей.
Нельзя допускать формального введения этих понятий.
В начальных классах для введения дроби учащиеся должны:
1) уметь называть и показывать доли со знаменателями не превышающие числа 10. Знать обиходное название этих дробей (половина, три, четверть).
2) уметь читать и записывать обыкновенные дроби со знаменателями не превышающие числа 10, показывать соответствующую дроби отрезка.
3) уметь сравнивать с опорой на рисунке указанные выше дроби, без опоры на рисунок уметь сравнивать дроби у которых числитель дроби =1.
4) уметь решать задачи на нахождение доли числа и числа по его долям, а также на нахождение дроби числа.
Каждый раз при решении таких задач используются рисунки, схемы, простые чертежи.
Изучение обыкновенных дробей начинается в 5 классе. В первом издании учебника математики 5- го класса уделялось мало времени на повторение материала 4- го класса.
Во втором издании этого учебника время на повторение увеличено, более обосновано излагается введение дробного числа.
Понятие дроби вводится в объеме достаточным для введения десятичных дробей. Здесь изучаются сведения о дробных числах, необходимых для систематического изучения дробей. Основное внимание уделяется сравнению дробей с одинаковыми знаменателями, а затем к выделению целой части числа. Необходимо чтоб учащиеся поняли, что дроби разные записи равных дробных чисел.
Желательно широко использовать различного рода наглядные пособия (бумажные ленты, метод демонстраций, линейки и др.), а также варьировать условие задачи.
Н-р: 1) как записать в виде дроби 3:4=3/4
2) на сколько нужно разделить 3, чтобы получить дробь ¾ (на 4).
При изучении дробных чисел учащиеся должны понять общий вид дробных чисел. Особое место занимает так называемое смешанные числа. Учащиеся должны понимать, что 2+=2
Смешанное число термин школьный А.А. Колмогоров считает его неудачным и предлагает заменять термином смешанная дробь.
Рассмотрения действия над дробями при малейшем затруднении учащихся необходимо использовать наглядность. Это изображение дроби как части отрезка, прямоугольника, круга. Практика опытных учителей показывает, что следует четче различать отдельные случаи сложения и вычитания обыкновенных дробей с разными знаменателями.
Изучение этого материала лучше проходить в такой последовательности:
1) Сложение дробей , если знаменатель одной из дробей равен остальным.
2) Сложение дробей, если знаменатель одной прост, взаимно простые числа.
3) Приведение дробей к наименьшему общему знаменателю и сложение дробей
4) Примечание законов арифметических действий сложению дробей, содержащих целые и дробные части.
5) Вычитание положительных дробей.
6) Замена единицы дробью при вычитании.
7) Вычитание чисел содержащих целую и дробную часть.
8) Сложение и вычитание рациональных чисел.
Лекция 6. Методика введения понятия отрицательного числа
1. Вопросы, связанные с отрицательными числами являются одним из трудных вопросов для освоения учащимися.
История развития математики показывает, что отрицательные числа значительно труднее дались человеку, это связано с тем, отрицательные числа менее связаны с практической жизнью.
Отрицательные числа возникли в связи с необходимостью выполнения с известными числами. Математики древней Греции не признали отрицательных чисел, они не могли дать им конкретного толкования. Лишь работу Диофанта (3 в. н.э) встречаются преобразования, которые приводят к необходимости выполнения операций над отрицательными числами.
Отрицательные числа появляются лишь в зачаточной форме. Довольно широкое распределение они получили в работах индийских ученых. Положительные числа они называли настоящими, а отрицательные- не настоящими- ложными. Отрицательные числа рассматривали, как долг, а положительные числа как наличные деньги.
Первые правила сложения и вычитания принадлежат индийским ученым. И связаны с трактовкой этих чисел как имущество и долг.
Ученые долго не могли объяснить, дать трактовку произведения двух отрицательных чисел. Почему произведение 2-х долгов есть имущество. Такие ученые как Эйлер, Коми давали свое объяснение правилу произведения чисел, но они приводили к ошибочным результатам.
Немецкий ученый М. Штифель впервые в 1544 г. дал определение отрицательных чисел, как чисел меньших нуля.
Впервые математическую интерпретацию дал Рене Декарт в 1737 г. в книги «Аналитическая геометрия». Отрицательные числа он рассматривал как самостоятельное, расположенное на оси ОХ влево от начало координат. Однако он эти числа назвал ложными. Всеобщее признание отрицательные числа получили в первой половине 21 века, так отрицательные числа вошли в историю математики.
2. Различные приемы введения отрицательных чисел. В учебной литературе можно отметить 3 способа введения отрицательных чисел.
1) Рассматриваются случаи, когда вычисление на множестве положительных чисел ложно.
2) Рассматривают векторы расположенные на одной прямой, необходимость охарактеризовать не только их длину, но и направление приводит к понятию положительных и отрицательных чисел.
3) Введение отрицательных чисел посредством расположения изменяющихся величин в противоположных направлениях.
Методика введения отрицательного числа.
Прежде чем дать понятие об отрицательном числе необходимо показать на конкретных примерах, что известно уч-ся чисел недостаточно для характеристики положения точки на прямой к началу отсчета.
На достаточном количестве примеров надо показать неудобства понятия типа вправо или влево, вверх или вниз начертить числовую ось. Необходимо отложить начало отсчета и чтоб для определенности таких шкал, которые находятся вправо со знаком плюс, влево с противоположным знаком- минус.
В учебнике рассматривается достаточное число примеров, показывающих о целесообразности использования определенных знаков для обозначения направления противоположности движения. Для понятия введения отрицательного числа необходимо пользоваться демонстративным термометром и другими пособиями.
Знакомству с противоположными числами способствует изучение центра симметрии.
Понятие о противоположных числах связывается симметричными точками. В тоже время введение этого понятия основывается с геометрическим истолкованием положительных и отрицательных чисел.
В пункте противоположных чисел вводится определение целых чисел. Натуральные числа, противоположные числа, нуль- называют целыми числами. Модуль числа- понятие модуль числа дает от начала отсчета до точки соответствующему числу. Следует обратить внимание учащихся как мотивировать определение модуля числа.
В учебниках понятие модуля числа вводится путем рассмотрения примеров, поясняют как находить модуль числа. Поясняется, что модуль числа не может быть отрицательным ибо модуль числа это расстояние- обращается внимание, что для положительного числа модуль равен самому числу. Модуль отрицательного числа равен противоположному числу.
Сравнение чисел.
Соотношения равенства и неравенства между положительными и отрицательными числами вводится по определению, они не могут быть получены путем доказательства, причем очень важно показать учащимся целесообразность определения на конкретных примерах и геометрических образах.
Учащиеся должны на столько прочно усвоить расположение чисел на числовой прямой, чтобы это могло служить основным средством сравнения чисел. Иногда возникают трудности в сравнении отрицательных чисел, чтобы преодолеть их, необходимо рассмотреть их на числовой прямой.
Действия над отрицательными и положительными числами.
Основное, что надо учитывать учителю при рассмотрении этого материала – это действия сложения и вычитания над положительными и отрицательными числами вводится по определению, причем формулировки этих определений должны включать в себя ранее известные учащимся понятия об этих действиях. Вычитание и деление определяются как обратные сложению и умножению.
В учебнике отдельно дается определение действия сложения чисел с разными знаками, формулировки этих правил содержат указание на следующие действия. В учебнике большое время уделяется к тому как подойти к действию сложению. Основное внимание уделяется к рассмотрению конкретных задач, обращаясь при этом к координатной прямой.
Каким бы путем не вводилось правило сложение учащимся должно быть ясно, что ничто не доказывается при рассмотрении следующих примеров.
Примеры признаны лишь иллюстрировать целесообразность правил. Учащиеся должны овладеть навыками выполнения сложения 2-х отрицательных чисел с разными знаками, противоположных чисел, нуля с положительными и отрицательными числами.
Рассматривая свойства действий важно показать учащимся, что при установленных определениях действий сложения и вычитания чисел сохраняется все те законы которые имели место для положительных чисел.
Учащимся дается формулировка переместительного и сочетательного законов запись каждого из них с помощью букв.
Вычитание отрицательных чисел определяются как действие обратное сложению. Вычитание сводится к прибавлению противоположного числа.
Умножение положительных и отрицательных чисел представляет наибольшую трудность, трудность заключается в том, что учащейся испытывают потребность в доказательстве правил знаков при умножение, а учитель должен убедить учащихся, что такого доказательства нельзя искать или требовать, таким образом действие умножения вводится по определению, которое можно ввести по разному и по разному истолковать правило знаков. Сложения и умножения имеют много общего, однако трактовка правил умножения вызывает больше трудности.
Рассмотрим объяснения правил умножения является рассмотрение конкретных задач, решение которых требует вычисление по формуле а в, при различных а и в. недостатком этого метода является, то что они доказывают правило умножения.
Многие авторы придерживаются пути, когда в начале дается формулировка правил умножения, затем оно поясняется на примерах, задачах. Учащийся убеждаются на конкретном математическом в практичной целесообразности введенного определения. обычно в учебниках формулировки правил умножения чисел с разными знаками и правил умножения натуральных чисел представляет расписания рядов примеров.
При этом используется положение о том, что если изменить знак одного из множителей, то изменится знак произведения.
Правило формулируется удобным для использования вида. Необходимо обратить внимание учащихся на условия равенство произведения нулю.
Деление положительных, отрицательных чисел рассматривается как действие обратное умножению. Учащемуся сообщается, что деление положительных и отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Важно обратить внимание на законы вычисления и умножения выражений.
Так же как и в случая сложения, правило сложения и умножения натуральных чисел может быть выведены из умножения чисел. Считая, что правило знаков для суммы известно.
В 6 классе в теме рациональные числа вводятся памяти отрицательные числа, которое может быть записано в виде дроби. Расписывается множество рациональных чисел можно сбить внимание, что когда выполнимо :, +, *, - на число не равное нулю.
При вычитании или выполни действий учащийся получают числа того же множества и это множество обладает свойством замкнутости по отношению к действиям первой и второй степени. Для сложения справедливы переместительный и сочетательный законы имеется нейтральный элемент, имеется противоположный элемент.
Для умножения справедливы первый распределительный и сочетательный закон, имеется нейтральный элемент 1, противоположный элемент ().
Лекция 7. Методика введения действительных чисел
Изложение вопроса о действительных числах начинается обычно с задачи об извлечении корня.
Однако опрос об извлечении корня не является главным.
В процессе введения понятия действительного числа, главной задачей является дополнение рационального числа до непрерывности.
При этом решается задача об извлечение корня из положительного числа.
При введении понятия действительного числа в связи с его введением возрастает много важных методических вопросов, которые в различных пособиях решаются по разному.
1.Каким должно быть понятие действительного числа сложенного у учащихся в результате изучения темы.
2.Нужно ли определение, если нужно, каким должно быть определение действительного числа.
3. из каких конкретных задач должен возникать вопрос о введении действительного числа и др.
В зависимости от того как будут решены эти вопросы попутно будут решатся и другие достаточно важные
Например: ввести ли вначале понятие действительного числа, а затем выделить как частный случай иррациональное число или в начале ввести понятие иррационального числа, а затем совместимость рациональных и иррациональных чисел назовем как систему ДЧ.
При выборе метода введения следует учесть научность, доступность учащимися и усваимость данного понятия.
Как известно из курса анализа существует ряд ДЧ Дедекинда, Кантора , и др. будут верными если придерживаться данной теории.
Чтобы ответить на эти вопросы, надо обратить внимание на происхождение понятия ДЧ.
Сущность понятия ДЧ заключается в том, что система ДЧ, есть такая числовая система, которая способна выразить непрерывные изменения величин.
Наиболее простым примером непрерывности процесса является движение точки по прямой и в частности изменения расстояния движущийся точки от некоторой к начальной.
Поэтому естественно понятие о ДЧ рассматривают как понятие о такой системе чисел, которая по своей структуре такова же как совокупность точки прямой.
Из сказанного следует, что выр-на у учащихся понятие ДЧ и понятие непрерывной величины – это 2 стороны одного процесса.
Мы будем рассматривать понятие ДЧ из задачи измерения отрезка.
Понятие ДЧ вводится в 8 классе в теме корня. В начале проводится повторения о рациональных числах – это понятие приводится в систему.
В формировании понятия ДЧ главным является понятие бесконечной десятичной дроби, которую впервые вводится в 8 классе.
До введения понятия ДЧ иррационального числа необходимо добиться у учащихся следующих положений: 1.каждое дробное число можно представить либо в виде конечной десятичной дроби, либо в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
2,0 2,5(0)
таким образом, каждое иррациональное может быть представлено в виде бесконечной дроби и наоборот каждое бесконечное периодическое десятичная дробь представление некоторое иррациональное число.
2.вводится понятие арифметического квадратного корня
Определение: арифметическим квадратным корнем из числа а называют неотрицательное число квадрат которого равен а.
Это определение конъюнктивной структуры, объект подходит под понятие лишь при условии наличии обоих требовании и не подходит во всех остальных случаях.
Путем рас-я достаточного количества рас-я примеров необходимо подготовить учащихся к выводу, что выражение не имеет смысла при отрицательных значениях а.
Возникает вопрос- определено ли выражение для всех неотрицательных знаменателей а.
Ответ на этот вопрос дается путем решения квадратного уравнения.
Внимание учащихся обращается на тот факт, что рационального числа, квадрат которого равен 2, не существует. На данной ступени обучения считается возможным лишь обнаружение индуктивное этого факта.
Чаще всего при введении иррационального числа в школе исходят из следующих сообщений: возникает вопрос, каждой ли точки прямой соответствует единственное рациональное число, ответ оказывается отрицанием, регистрируется следующим примером.
Как определить его значение. Доказательством что точка М никакому рациональному числу. Предположим обратное, что
2- четное, значит - четное
()2= 2
2= 2=» n – число четное. Наше предположение, что дробь n/m несократимая, неверно, значит - не является рациональным числом, и его стали называть иррациональным числом.
То получили, что это число нельзя представить в виде отношений целое / к натуральному.
Определение: число которое нельзя представить в виде дроби , где называют иррациональным числом.
Выше было выявлено, что всякое рациональное число может быть представлено в виде периодичной действительной.
Учащимся сообщается, что кроме существует множество иррациональных чисел, которые представляются в виде не периодичной дроби и дается определение.
Определение: совокупность иррациональных и рациональных чисел дает множество ДЧ.
Лекция 8. Алгебраические выражения
1. Определение: совокупность чисел и букв соединенных между собой по средствам знаком, которые указывают какие действия или в каком порядке надо произвести над данными числами и значениями букв называются английскими выражением.
Здесь к знакам отнесены (в 9 – летней школе) в основном изучается преобразование рациональных выражений, тождественных преобразований одночленов и многочленов, разложение на множители, преобразование алгебраических дробей.
В погрому старших классов входит тождественное преобразование в тригонометрических и алгебраических выражений потенцированных (9 кл.)
Таким образом, тождественные преобразования, как и другие основные вопросы школьного курса, не входят в одну какую нибудь тему, и рассматриваются во всем курсе алгебры.
2. Определение: Два алгебраических выражения называются тождественными, если они принимают равные численные значения при соответственно равных числовых значениях букв и С общей области допустимых значений.
Тождеством называется равенство двух тождественных выражений.
Для алгебраических дробей тождественность расширяется.
П. С. Александров, Калмагоров дают следующие определения. – Равенство между двумя рациональными выражениями будем называть тождественным, если оно справедливо при всех значениях входящих в него букв, кроме тех исключительных случаев, когда одна из сторон равенства (или он сразу) становятся бессмысленными.
Таким образом, в тождественных преобладаниях эта замена одного выражения другим тождественно равных. Смысл его сохраняется и для нового. Тождественные преобразования состоят в применение к данному выражению основных свойств к действию, необходимо обратить внимание на правильное оформление упражнений, на доказательство тождеств, запись может быть двоякой.
Если следует доказать, , то
1)
2)
т.е. преобразовываем одну часть пока не получим другую или преобразовываем обе части пока не получим одно и тоже выражение в обеих частях.
Основную нагрузку по формированию умений и навыков выполнение преобразований несет курс алгебры.
На начальном этапе используется не расчлененная система преобразований.
П-р: Решить уравнение
а) 7х-5х=2
б) 7х=2+5х
в) 6+ (2-4у) +5у=3(1-3у)
при а) упрощение при помощи применения тождества ( распределительным законом) т.е. (7-5)х=2
б) сводится к пункту а) по сред-вам равносильных преобразований путем переноса.
в) используется преобразование в первых двух случаев.
Принципиальное значение темы тождественное преобразование состоит в следующем:
Данное алгебраическое выражение преобразуется в более простое тождественное выражение.
Выполняя тождество ученики должны осознать, что эти преобразования не являются самоцелью, а служат для нахождения числовых значений выражений для решения уравнения, для изучения функции.
В начальном или 5 классе вводится понятие буквенного выражения. Выражения содержащие буквы называют буквенным выражением.
Для упрощения выражений используется распределительный закон умножения.
Тождественные выражения и их преобразования основываются на законах арифметических действий.
Н-р: 7*а*с*6=42ас
В 7 классе рассматриваются понятия одночлена, его стандартного вида, коэффициента одночлена, умножение одночленов, а также многочлен и его стандартный вид, сложения и вычитание многочленов, умножение многочлена на одночлен и приведение подобных членов.
При изучении этих тем особое внимание следует уделять оформлению записи в тетрадях.
Учащихся надо приучать записывать в порядке алфавита, это позволяет избежать ошибок, при приведении подобных слагаемых.
Н-р: Записи видо12у2х+3х2у+6ух2-3ху2=9ху2+9х2у=9(ху2+х2у)
При умножении многочлена на многочлен надо приучать учащихся строго соблюдать порядок умножения их членов. Н-р: каждый член первого многочлена последовательно умножать на каждый член другого многочлена, это на позволит пропустить некоторые члены многочлена или не повторить их дважды.
Тождества изучаемые в школе можно разделить на 2 класса; первый состоит из тождества сокращенного умножения, а второй обеими тождествами связывающие арифметические операции и основные элементарные функции.
Формулы сокращенного умножения рассматриваются в 7 классе, как частный случай умножения многочленов.
Рассматриваются формулы разность квадратов, квадрат суммы, квадрат разности, сумму и разность кубов.
Формулы куба разности и куба суммы двух выражений даются для учащихся в упражнениях.
К выводу формул умножения нужно привлекать самих учащихся.
Усвоению формул помогают такие предлагаемые упражнения, прочитать следующие выражения: а+с, а-с, (а+с)2, (а-с)2, ас, 2ас, и т.д.
Еще в процессе изучения темы умножения многочленов можно вывести формулу сокращенного умножения.
Так выполняя многократно умножения двух одинаковых многочленов, учащиеся замечают, какие члены получаются при умножении.
Постепенно можно отвлечься от подробной записи и сразу записать результат умножения, так можно поступать и с другими формулами.
Не следует торопить учащегося запоминать формулы, пусть они ещё раз умножат многочлены, при получении навыков тождественных преобразований учащийся можно выделить три основных этапа:
запоминание алгоритма и его применение.
Применение нового алгоритма к совокупности с ранее известными алгоритмами.
Решение широкого круга задач с использованием нового алгоритма.
Н-р: при изучении формулы разности квадратов рекомендуется выделять следующие этапы:
Применять его к упрощению выражение (с-3)(с+3), (5х+1)(5х-1) и т.д. Чтобы учащиеся поняли, что результат не зависит от порядка множителей и от порядка слагаемых в сумме.
Умение применять формулу (а-с)(а+с) в сочетании с другими тождественными преобразованиями, применением с использованием свойств степени с натуральными показателями.
П-р: (12с2-7а3)(7а3+12с2); (-11р4+9)(9+11р4)
Умение применять форму при решении уравнений, неравенств, и их систем при исследовании функции, задача на делимость и другие.
В этих этапах самым важным является первый этап, где учащимся раскрывается сущность нового алгоритма, создаются основы для его усвоения и правильного применения. Излишне поспешное беглое прохождение первого этапа является основной причиной грубых ошибок в преобразованиях допускаемые учащимися. К ним относятся, например, ошибки вида: 25*73=148
(а+2)2=а2+4
(х+1)2=х2+1
с целью предупреждения подобных ошибок необходимо время от времени предлагать учащимся называть определения свойств, на которые основано выполнение преобразования.
Н-р: если ученик записал (а4)2=а16, то надо не только вспомнить определение, но и сделать подробную запись.
(а4)2=а4а4=(а*а*а*а)(а*а*а*а)=а8
Иногда, чтобы убедить учащихся в ошибочной записи, необходимо использовать числовые подстановки.