План
1. Теорема о проецировании прямого угла
2. Главные линии плоскости
3. Прямая, перпендикулярная к плоскости
4. Перпендикулярные плоскости
5. Перпендикулярные прямые
1. Теорема о проецировании прямого угла
Возможны три случая проецирования прямого угла:
1. Если обе стороны прямого угла прямые общего положения, то прямой угол проецируется искаженно на все три плоскости проекций.
2. Если обе стороны прямого угла параллельны какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину.
3. Если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, то прямой угол проецируется на эту плоскость в натуральную величину, рис. 64. Это основная теорема о проецировании прямого угла.
Рис. 64
Дано: ÐАВС
= 90°; ВСúú Н. Необходимо доказать: ÐА
¢В
¢С
¢ = 90°.
1. ВС
^АВВ
¢А
¢
ВС
^АВ
, следовательно ВС
^ВВ
¢ - по свойству ортогонального проецирования
2. В
¢С
¢úúВС
3. В
¢С
¢^АВВ
¢А
¢
4. В
¢С
¢^А
¢В
¢ - что и требовалось доказать
2. Главные линии плоскости
Линии уровня плоскости
Кроме прямых линий общего положения, в плоскости отмечают три главные линии: горизонтальную (горизонталь), фронтальную (фронталь) и линию наибольшего наклона. Эти линии применяют как вспомогательные: они упрощают решение задач. Две из них — горизонтальная и фронтальная — уже рассматривались.
Необходимо добавить, что все горизонтальные линии плоскости параллельны между собой, а их горизонтальные проекции параллельны горизонтальному следу плоскости (рис. 65). Горизонтальный след плоскости — одна из горизонталей.
| Рис. 64
|
Рис. 65
|
Все фронтальные линии плоскости параллельны между собой, а их фронтальные проекции параллельны фронтальному следу плоскости. Фронтальный след плоскости — одна из фронтальных линий (рис. 66).
Рис. 66
Линии наибольшего наклона плоскости
Прямые плоскости, перпендикулярные к прямым уровня этой плоскости, называются линией наибольшего наклона (ЛНН) данной плоскости к соответствующей плоскости проекций.
Линии наибольшего наклона плоскости перпендикулярны к ее следам или к линиям уровня (либо к ее горизонталям, либо к фронталям, либо к ее профильным прямым) (рис. 67).
В случае перпендикулярности к горизонтали определяется наклон к плоскости проекций H (при этом ЛНН называют линией наибольшего ската
), перпендикулярности к фронтали — наклон к плоскости проекций V, перпендикулярности к профильной прямой — наклон к плоскости проекций W.
На рис. 67, 68 дано изображение плоскости (а
||b
), для которой требуется построить линию наибольшего наклона к горизонтальной плоскости проекций H.
Проведем в данной плоскости горизонталь h
(рис. 68). Прямая n
, перпендикулярная к прямой h
, перпендикулярна и к следу плоскости H
(KL
^H) (рис. 69).
Рис. 67
Угол наклона прямой n
к плоскости H определяется как угол между прямой и ее проекцией на плоскость H. Строим KK
¢^H (рис. 69). Тогда угол j — искомый угол наклона прямой n
к плоскости H.
На рис. 68 построена линия наибольшего наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций — прямая n
. Угол наклона плоскости к плоскости H получают при определении натуральной величины отре
при построении прямоугольного треугольника по проекциям K
¢M
' и .
Рис. 69
3 Прямая, перпендикулярная к плоскости
Прямая, перпендикулярная к плоскости, если перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости. На основании теоремы о проецировании прямого угла в качестве прямых плоскости общего положения удобнее всего использовать ее линии уровня.
Поэтому, проводя перпендикуляр к плоскости, необходимо брать в этой плоскости две такие прямые: горизонталь и фронталь.
Проекции прямой, перпендикулярной к плоскости, на комплексном чертеже перпендикулярны к соответствующим проекциям ее линий уровня, т.е. если прямая линия перпендикулярна плоскости, то ее горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а ее фронтальная проекция — фронтальной проекции фронтали (рис. 70) или соответствующим следам плоскости (рис. 71).
| Рис. 70
|
Рис. 71
|
На рис. 72 изображена плоскость общего положения (a
||b
), к которой к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 72
Проводим в данной плоскости горизонталь h
(через точки 1,3) и фронталь v
(через точки 1,4) (рис. 72).
Затем из точки 1 проводим прямую n
перпендикулярно к горизонтали и фронтали плоскости следующим образом:
n
¢^h
¢; n
²^h
².
Построенная прямая n
(n'
, n''
) является искомым перпендикуляром к плоскости .
4. Перпендикулярные плоскости
Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости. Построение таких плоскостей может быть выполнено двумя путями:
1) плоскость проводится через перпендикуляр к другой;
2) плоскость проводится перпендикулярно прямой, принадлежащей другой плоскости.
На рис. 73 изображены прямая общего положения и плоскость общего положения (а
´b
). Требуется построить через прямую плоскость, перпендикулярную к плоскости .
Рис. 73
Для решения задачи необходимо через какую-нибудь точку данной прямой, например, точку М, провести перпендикуляр к плоскости , заданной пересекающимися прямыми a и b.
Проводим в плоскости горизонталь h
и фронталь v
(рис. 73).
Далее из точки М
, взятой на прямой , опускаем перпендикуляр n
, пользуясь рассмотренным выше положением: n'
^h'
; n''
^v''
, т.е. горизонтальная проекция перпендикуляра будет перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная его проекция — перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (рис. 73).
Плоскость (Çn
), проходящая через прямую n
, будет перпендикулярна к плоскости .
6.5 Перпендикулярные прямые
Две прямые перпендикулярны в том и только в том случае, если через каждую из них можно провести плоскость, перпендикулярную к другой прямой.
На рис. 74 изображена прямая общего положения, к которой требуется провести перпендикулярную прямую.
Рис. 74
Через точку А
прямой строим перпендикулярную к ней плоскость (h
Çv
) (рис. 71):
'
^h
'
; ''
^h
''
.
Любая прямая, лежащая в плоскости будет также перпендикулярна к данной прямой . Поэтому проведем в этой плоскости произвольную прямую t
, на которой возьмем произвольную точку, например, точку В
(рис. 74).
Соединив точки А
и В
, лежащие в плоскости, получим прямую n
, перпендикулярную к данной прямой (рис. 74).