Модификация метода построения тестов для конечных автоматов относительно неразделимости

2010

Поведение многих дискретных систем (таких как цифровые схемы с памятью или телекоммуникационные протоколы) можно описать моделью с конечным числом переходов, например, моделью конечного автомата. Конечный автомат сопоставляет последовательностям во входном алфавите последовательности в выходном алфавите. Для детерминированных автоматов методы построения проверяющих тестов достаточно хорошо развиты. Для недетерминированных автоматов, в которых одной входной последовательности может сопоставляться несколько выходных последовательностей, тесты активно развиваются, но в основном при тестировании используется предположение "о всех погодных условиях", т.е. предполагается, что есть возможность подавать входную последовательность, пока не пронаблюдаем все выходные реакции на нее. В данной работе изучается и улучшается метод построения тестов для недетерминированных автоматов относительно неразделимости для модели "черного ящика", предложенный в работе [1], в котором не используется ограничение "все погодные условия". Показывается, что избыточность тестов снижается, и при этом тест остается полным.

Автоматом называется пятерка A
= (S
, I
, O
, h
, s1), где S
- множество состояний с выделенным начальным состоянием s1, I
и O
- соответственно входной и выходной алфавиты, h ÍS
´I
´S
´O
- отношение переходов‑выходов. Элементами множества h
являются четверки вида (s, i, s¢, o), называемые переходами
; при этом говорят, что автомат может перейти из состояния s ÎS под действием входного символа iÎI в состояние s¢ÎS с выдачей выходного символа oÎO, если четверка (s, i, s¢, o) содержится в h
.

В случае, когда каждой паре вход-состояние соответствует не более одного перехода, автомат называется детерминированным
, а в противном случае – недетерминированным
(нд-автомат).

Рисунок 1 – Недетерминированный автомат A
(а) и детерминированный автомат B
(b)

Обозначим out
(s
, a) = {b:$s¢ÎS[(s, a, s¢, b) Îh]}, т. е. out
(s
, a) есть множество выходных реакций автомата в состоянии s
на входную последовательность a.

Состояние s¢называется i
-преемником
состояния s, если существует такой выходной символ oÎO, что четверка (s, i, s¢, o) содержится в h
. Множество состояний M
¢ÍS
называется i
-преемником
множества состояний M
ÍS
, если M
¢есть множество всех i
-преемников всех состояний множества M
.

Если для любых (s, i, o) ÎS ´I´O в нд-автомате A
существует не более одного перехода из состояния s
под действием входного символа i
с выходным символом o
, то говорят, что нд-автомат A
является наблюдаемым
. Если для каждой пары (s, i) ÎS ´I существует хотя бы одна пара (s¢, o) ÎS ´O, такая что (s, i, s¢, o) Îh, то нд-автомат A
называется полностью определенным
. В противном случае автомат называется частично определенным или частичным
.

Автомат A
= (S
,I
,O
,h
,s
1
) называется инициальным
, если в множестве состояний S
выделено начальное состояние s
1
.

Говорят, что состояние s
' достижимо
из состояния s
в автоматеA
, если существует входная последовательность, которая переводит автоматA
из состоянияs
в состояниеs
'
. Автомат называется связным
, если любое его состояние достижимо из начального состояния[3].

Пусть A
= (S
, I
, O
, h
, s1), B
= (T
, I
, O
, g
, t1) – полностью определенные автоматы. Автомат B
называется подавтоматом
автомата A
, если TÍS, t1 = s1 и gÍh. Пересечением
автоматовA
= (S
, I
, O
, h
, s
1
)иB
= (T
, I
, O
, g
, t
1
)(обозначение A
ÇB
), назовем максимальный связный подавтомат инициального автомата (S
´T
, I
, O
, H
, s1t1), в котором отношение переходов H
определено следующим образом: (st
, i
,
s
¢t
¢, o
) ÎH
Û [(s
, i
,
s
¢, o
) Îh
Ù(t
, i
,
t
¢, o
) Îg
]. Пересечение автоматов описывает общую часть поведения автоматов A
и B
и используется для построения входных последовательностей, различающих эти автоматы.

На рисунке 2 представлены автоматы A
, B
.

Рисунок 2 – Автоматы A
, B

На рисунке 3 представлен автомат A
∩B
.

Рисунок 3 – Автомат A
ÇB

При тестировании проверяются различные отношения соответствия между эталонным и проверяемым автоматами.

Пусть A
и B
– полностью определенные автоматы. Говорят, что состояние s
автомата A
и состояние t
автомата B
эквивалентны
(обозначение: s
@t
), если "a
ÎI
* [ out
(s, a) = out
(t
, a) ]. Иными словами, множество реакций автомата A
в состоянии s
на любую входную последовательность α
совпадает с множеством реакций автомата B
в состоянии t
на данную входную последовательность α
. В противном случае, состояния s
и t
не эквивалентны [2].

Автоматы A
и B
называются эквивалентными
(обозначение: A
@B
), если эквивалентны их начальные состояния, т.е. s
1
@t
1
.
В противном случае, автоматы A
и B
не эквивалентны. Таким образом, по определению, два автомата эквивалентны, если и только если множества их выходных реакций на каждую входную последовательность совпадают.

Состояние t
автомата B
называется редукцией
состояния s
автомата A
(обозначение: t£s), если "a
ÎI
* [ out
(t, a) Íout
(s
, a) ], т.е. если для любой входной последовательности множество выходных последовательностей автомата B
содержится во множестве выходных последовательностей автомата A
. Если t1
£s1
, то автомат B
называется редукцией
автомата A
.

Состояние s
автомата A
и состояние t
автомата B
неразделимы
(обозначение: s~t), если "a
ÎI
* [ out
(s
, a) Çout
(t, a)¹Æ]. Если $a
ÎI
* [ out
(s
, a)Çout
(t, a)= Æ], то состояния s
и t
разделимы по
a(обозначение: s
≁
t
), или просто разделимы
(обозначение: s
≁t
).Автоматы A
и B
неразделимы
, если s1
~t1
. Если s
1
≁
t
1
, то автоматы A
и B
разделимы по
a(обозначение: A
≁
B
), или просто разделимы
(обозначение: A
≁B
); последовательность a
называется разделяющей последовательностью
автоматов A
и B
. Таким образом, автоматы разделимы, если существует входная последовательность, для которой множества выходных последовательностей автоматов не пересекаются. Разделяющая последовательность a
ÎI
* называется кратчайшей
, если любая другая входная последовательность, разделяющая автоматы A
и B
,не короче a
.Если автоматы неразделимы, то для любой входной последовательности множества выходных последовательностей автоматов пересекаются.

1.2 Построение разделяющей последовательности

Рассмотрим алгоритм построения разделяющей последовательности, предложенный в работе [4].

Алгоритм 1.
Построение разделяющей последовательности для автоматов A
и B

Вход:
Автоматы A
и B
с входным алфавитом I
и выходным алфавитом O

Выход:
Кратчайшая разделяющая последовательность для автоматов A
и B
(если существует)

Шаг 1.
Построить A
ÇB
. Если автомат A
ÇB
полностью определенный, то автоматы A
и B
неразделимы. КОНЕЦ.

Шаг 2.
Построить усеченное дерево преемников автоматаA
ÇB
. Корень дерева (0-й уровень дерева) – начальное состояние пересечения; вершины дерева помечены подмножествами состояний пересечения. Пусть уже построены k
уровней дерева, k
³ 0, для заданной промежуточной вершины k
-го уровня, которая помечена подмножеством состояний пересечения P
и для заданного входного символа i
, в дереве есть ребро, помеченное i
, в вершину, помеченную подмножеством всех i
-преемников состояний подмножества P
. Текущая вершина Current
на k
-
м уровне, помеченная подмножеством состояний P
, объявляется терминальной вершиной, если выполняется одно из следующих условий:

1) Существует такой входной символ i
, что множество i
-преемников подмножества P
– пустое множество;

2) Существует вершина на j
-м уровне, j
< k
,помеченная подмножеством состояний R
со следующим свойством: для всякого состояния (s
',t
') ÎR
найдется такое состояние (s
,t
) ÎP
, что выполняется (s
',t
')£ (s
,t
).

Шаг 3.
Если ни один путь в усеченном дереве преемников, построенном на Шаге 2, ни усекается согласно условию 1, то автоматы A
и B
неразделимы. КОНЕЦ. Если есть терминальная вершина Leaf
, помеченная подмножеством состояний P
таким, что для некоторого входного символа i
всякое состояние подмножества P
не имеет i
-преемников, то последовательность a
i
, где a
помечает путь от корня к терминальной вершине Leaf
, является разделяющей последовательностью для автоматов A
и B
.

Также в работе[4] показано, что если автоматы A
и B
имеют соответственно не более n
и m
состояний, то длина кратчайшей разделяющей последовательности будет не более чем 2nm
−1
, и данная экспоненциальная оценка является достижимой.

Теорема 1.
Для заданных целых чиселn
и m
, n
³ 1, m
³ 1, всегда найдутся разделимые автоматы A
и B
с числом состояний n
и m
, соответственно, такие что для них кратчайшая разделяющая последовательность имеет длину 2nm
−1
.

Для построения качественных тестов необходима не только формальная модель описания эталонной и проверяемой систем, но и формальное задание модели неисправности. Традиционно под моделью неисправности
понимают тройку <S
, », Â
>, в которой S
- эталонный автомат, »- отношение конформности, »Î {@, £, ~}. Область неисправности Â
есть множество автоматов, входной и выходной алфавиты которых совпадают с входным и выходным алфавитом эталонного автомата. Автоматы из множества Â
представляют все возможные неисправности в соответствующей дискретной системе. Тогда конечное непустое множество TS
конечных входных последовательностей называется полным проверяющим тестом
относительно модели <S
, », Â
>, если TS
обнаруживает всякий автомат T
ÎÂ
,
не конформный эталонному автоматуS
.

Для моделей неисправности <S
, @, Â
> и <S
, £, Â
>, где S
– нд‑эталон, Â
– множество проверяемых нд-автоматов, известны методы построение полных проверяющих тестов для случаев, когда Â
есть множество всех автоматов с ограниченным числом состояний или множество всех подавтоматов специального мутационного автомата. Однако, применить на практике эти тесты можно только в случае, если выполняется предположение о "всех погодных условиях", т.е. каждая тестовая последовательность подается на тестируемый автомат до тех пор, пока проверяемый автомат "не покажет" все возможные реакции на эту последовательность. Такое предположение перестает быть реалистичным, если при тестировании нет возможности полностью контролировать проверяемый автомат, что имеет место, например, при удаленном тестировании реализаций телекоммуникационных протоколов.

В данной работе изучен метод построения полного проверяющего теста относительно модели неисправности <S
, (£,≁),Â
m
>, предложенный в работе [1]. Область неисправности Â
m
содержит все полностью определенные реализации эталона S
с теми же входным и выходным алфавитами, что и у S
, и числом состояний не более m
, где m
– целое положительное число. Такую модель неисправности часто называют моделью "черного ящика".

Алгоритм 2.
Построение полного проверяющего теста относительно модели неисправности <S
, (£,≁),Â
m
>

Вход:
Полностью определенный автомат S
и верхняя граница m
числа состояний любой реализации S

Выход:
Полный проверяющий тест TS
относительно модели неисправности <S
, (£,≁),Â
m
>

Шаг 1.
Построим усеченное дерево преемников автомата спецификации S
. Корнем дерева на нулевом уровне является начальное состояние s
0 автомата S
; вершины дерева помечены подмножествами состояний автомата S
. Пусть уже построены j
уровней дерева, j
³ 0. Для заданной нетерминальной вершины j
го
уровня, помеченной подмножеством состояний К
, и для заданного входного символа i
, в дереве есть ребра, помеченные символом i
, в вершину, помеченную i
-преемниками подмножества К
. Текущая вершина Current
на k
м
уровне, k
> 0, помеченная подмножеством К
состояний из множества S
, объявляется листом дерева, если путь из корня в эту вершину содержит 2|
K
|
×
m
вершин, помеченных подмножествами множества К,
и начальное состояние s
0
не содержится в К. Если начальное состояние принадлежит К, то вершина Current
объявляется листом, если путь из корня в эту вершину покрывает (2|
K
|
×
m
-1
+1) вершин, помеченных подмножествами множества К
.