Содержание
Введение 3
Основные понятия и определения 4
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах_ 7
§1. Свойства НОД и НОК_ 7
§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп_ 11
Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел со свойствами (*) и (**) 15
Библиографический список 19
Введение
В математических исследованиях множество действительных чисел R
очень популярно как бескрайний источник простых примеров и как множество, использующееся во многих структурах.
Рассматриваемое в данной работе множество неотрицательных
действительных чисел – это интересное легко интерпретируемое подмножество R
.
Как известно, различные подалгебры множества R
+
(например, полугруппа N
) исследовались ранее. В этой работе мы продолжим изучение мультипликативных полугрупп неотрицательных действительных чисел с 0 и 1.
Работа состоит из двух глав. Первая глава содержит некоторые свойства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного элементов целой полугруппы (§1). В этой же главе говорится о строении НОД и НОК полугрупп. Во второй главе получена топологическая классификация мультипликативных полугрупп S
R
+
, обладающих одним из введенных специфических свойств:
(*) (a
<
b
);
(**) (0<a
<
b
).
Основные понятия и определения
Определение 1.
Пусть Х
– множество произвольной природы и t – семейство подмножеств Х
, называемых открытыми
, удовлетворяющее условиям:
1) пересечение конечного числа множеств из t принадлежит t,
2) объединение любого множества множеств из t принадлежит t,
3) и ÆÎt.
Тогда называется топологическим пространством
, t – топологией
на Х
.
Определение 2.
Дополнения открытых множеств в Х
называются замкнутыми множествами
.
Определение 3.
Пусть – топологическое пространство и . Введем на множестве Х
1
топологию t1
. Открытыми в пространстве назовем все множества вида , где U
– произвольное открытое множество в Х.
Тогда пространство называется подпространством
топологического пространства , а топология t1
– топологией, индуцированной
топологией t на множество Х
1
.
Определение 4.
Семейство открытых множеств в топологическом пространстве называется базой топологии
t, если любое открытое множество в Х
является объединением множеств из этого семейства.
Пример.
На числовой прямой R
с естественной (евклидовой) топологией открытыми множествами являются всевозможные объединения интервалов, они и образуют базу этой топологии. На множестве неотрицательных чисел R
+
эта топология индуцирует топологию, в которой открытым множеством будет, например, R
+
Ç (-1, 1).
Определение 5.
Пространство Х
1
называется плотным подпространством
пространства Х
, если любое непустое открытое множество в Х
содержит точки множества Х
1
.
Очевидно, Х
1
плотно в Х
, если каждая точка подпространства Х
1
является предельной точкой множества Х
.
Определение 6.
Множества в топологическом пространстве, являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, называются открыто-замкнутыми
.
Определение 7.
Топологическое пространство Х
называется связным
если открыто-замкнутыми множествами в нем являются лишь Х
и Æ.
Определение 8.
Множество Х
1
в топологическом пространстве Х
называется связным
, если оно связно как топологическое подпространство пространства Х
.
Примеры:
1.
Множество точек плоскости является связным, если в нем любую пару точек можно соединить кривой.
2.
На числовой прямой связными множествами являются лишь промежутки.
Определение 9
. Топологическое пространство называется нульмерным
, если оно обладает базой из открыто-замкнутых множеств.
Пример.
Дискретное топологическое пространство, в котором все его подмножества являются открытыми, – нульмерно.
Далее везде будем обозначать символом S
мультипликативную полугруппу.
Определение 10
. Множество S
с бинарной операцией умножения × называется мультипликативной полугруппой
, если эта операция обладает свойством ассоциативности, т.е. .
Определение 11
. Элемент bS
называется делителем
элемента а
S
, если для некоторого . При этом говорят, что делится на
, или делит
(|).
Определение 12
. Общий делитель элементов и , делящийся на любой их общий делитель, называется наибольшим общим делителем элементов
и и обозначается НОД
.
Определение 13
. Элемент
S
называется кратным
элементу
S
, если a
делится на b
.
Определение 14
. Общее кратное элементов и , на которое делится любое их общее кратное, называется наименьшим общим кратным элементов
и и обозначается НОК
.
Определение 15
. Полугруппа S
называется НОД
-полугруппой
(НОК
-полугруппой
), если любые два элемента из S
имеют наибольший общий делитель (наименьшие общее кратное).
Определение 16
. Элемент из S
называется неприводимым
, если он имеет ровно два делителя 1 и а.
Неприводимые элементы не представимы в виде произведения неединичных элементов, т.е. если .
Определение 17
. Элемент из S
называется простым
, если . Очевидно, простые элементы неприводимы.
Определение 18
. Полугруппа S
называется топологической полугруппой
, если на множестве S
введена топология, и топологическая и алгебраическая структуры в S
согласованы, т.е.
1) áS
, ×ñ– полугруппа;
2) S
–
топологическое пространство;
3) полугрупповая операция × непрерывна в S
:
.
Глава 1. Делимость в мультипликативных полугруппах
§1. Свойства НОД и НОК
Пусть S
– коммутативная мультипликативная несократимая полугруппа с 1 и без делителей единицы. Такие полугруппы называются целыми
, или коническими
.
Элементы и из S
называются взаимно простыми
, если НОД
(,)=1.
Предварительно рассмотрим простейшие свойства отношения делимости в целых полугруппах.
Свойства делимости в целых полугруппах
(1) ;
(2) – рефлексивность
;
(3) – антисимметричность
;
(4) – транзитивность
;
(5) ;
(6) ;
(7) Любой простой элемент неприводим
;
(8) р неприводим
Û;
Свойство 1.
НОД и НОК нескольких элементов определены однозначно, если существуют.
Доказательство.
Проведем доказательство для НОД двух элементов а
и b
из S
. Пусть (a
,b
) и (a
,b
). Тогда из определения НОД следует и . По свойству антисимметричности имеем .
Свойство 2. .
Доказательство.
Импликации
и очевидны. Пусть , т.е. для некоторого . Очевидно, b
– общий делитель а
и b
. Возьмем произвольный общий делитель с
элементов а
и b
. Для него существуют такой элемент , что и . Таким образом, с
делит b
. Это и означает, что .
Аналогично доказывается .
Следствие 1. .
Следствие 2.
и
.
Свойство 3.
и .
Доказательство
следует из коммутативности операции умножения и свойств делимости.
Свойство 4.
.
Доказательство.
Обозначим d
1
=НОД
(НОД
(a
,
b
),
c
). Так как d
1
является общим делителем НОД
(a
,
b
)иc
, то d
1
– общий делитель и для элементов a
,
b
и c
. Верно и обратно: любой общий делитель этих трех элементов является общим делителем для НОД
(a
,
b
)иc
. Аналогичным свойством обладает и элемент d
2
=НОД
(a
,
(НОД
(b
,
c
)). Тогда элементы d
1
и d
2
делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем d
1
=d
2
.
Свойство 5.
.
Доказательство.
Обозначим k
1
=НОК
(НОК
(a
,
b
),
c
). Так как k
1
является общим кратным элементов НОК
(a
,
b
)иc
, то k
1
– общее кратное и для элементов a
,
b
и c
. Верно и обратно: любое общее кратное этих трех элементов является общим кратным для НОК
(a
,
b
)иc
. Аналогичным свойством обладает и элемент k
2
=НОК
(НОК
(a
,
b
),
c
). Тогда элементы k
1
и k
2
делят друг друга. По свойству антисимметричности делимости получаем k
1
=k
2
.
Свойство 6.
Если элементы а
и
b
не взаимно просты, то а
и b
имеют общий делитель, не равный 1.
Доказательство.
По условию НОД
(a
,
b
)=
d
¹1. Тогда по определению d
и есть не равный единице общий делитель а
и b
.
Свойство 7.
=
.
Доказательство.
Обозначим d
=НОД
(a
,
b
). По свойству (6) делимости элемент с
d
делит любой общий делитель элементов ас
и b
с
, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 8.
Если , то
.
Доказательство.
Из условия
следует, что d
делит любой общий делитель элементов а
и b
и
. Тогда по свойству (6) делимости элемент делит любой общий делитель элементов
, следовательно, является их НОД. Свойство доказано.
Свойство 9.
Если и , то .
Доказательство.
Пусть НОД
и НОД
(а,b) = 1, тогда среди делителей элементов b
и с
нет делителей элемента а
. Следовательно, и среди делителей элемента bc
нет делителей элемента а
, что и означает, что .
Свойство 10.
Если , то для любых
N
.
Доказательство.
Докажем, что
методом математической индукции. Пусть m
= 1, тогда
по условию, т.е. база индукции верна. Предположим, что
для всех k
< m
. Покажем, что
при k
= m.
по свойству (10) для с
= b
. Отсюда,
для всех
N
.
по свойству 3 делимости. Аналогичными рассуждениями получаем
для любого
N
. Следовательно,
.
Свойство 11.
Если , то для любого .
Доказательство.
Пусть
, тогда а = sd и c = td для некоторых s,tS таких, что НОД(s,t) = 1. Поскольку
, то НОД(s,b) = 1 и по свойству 9 НОД(s,tb) = 1. Следовательно,
. Свойство доказано.
Свойство 12.
Существование НОК
(a
,
b
) влечет существование НОД
(a
,
b
) и равенство НОД
(a
,
b
) НОК
(a
,
b
) = ab
.
Доказательство.
Если хотя бы одно из чисел или равно 0, то и равенство справедливо. Пусть элементы и ненулевые и . Поскольку - общее кратное чисел и , то для некоторого . Так как и , то - общий делитель и . Докажем, что делится на любой общий делитель элементов и . Пусть - произвольный общий делитель чисел и , т.е. и для некоторых . Поскольку - общее кратное элементов и , то . Так как , то для некоторого . Отсюда . Следовательно, , и, значит, НОД
().
Предложение 1
. Полугруппа является НОК-полугруппой тогда и только тогда, когда есть НОД-полугруппа.
Доказательство
. По свойству 12 достаточно доказать, что любая НОД-полугруппа является НОК-полугруппой. Пусть есть НОД-полугруппа. Возьмем произвольные . Если хотя бы одно из чисел равно 0, то . Рассмотрим случай и . Обозначим . Тогда и для некоторых . Поскольку по свойству 7, то . Положим . Число является общим кратным элементов и . Осталось показать, что на делится любое общее кратное и . Возьмем произвольное общее кратное элементов и , т. е. для некоторых . Тогда , т.е. (поскольку ). По свойству 11 имеем , значит, для некоторого . Поэтому , т.е. .
§ 2. Строение числовых НОД и НОК полугрупп
Далее будем рассматривать множество всех неотрицательных действительных чисел R
+
и мультипликативную полугруппуS
R
+
, содержащую 0 и 1, с топологией, индуцированной топологией числовой прямой.
Лемма 1
. Если
S
связно, то
S
= или
S
=
R
+
.
Доказательство.
Пусть S
связное множество в R
+
. Тогда S
является промежутком. Поскольку и , то . Если в S
нет элемента c > 1, то . В противном случае числа (N
) принимают сколь угодно большие значения. Поскольку S – промежуток, то для всех N
. Отсюда R
+
.
Лемма 2.
Если несвязно, то
.
Доказательство.
Предположим, что
.Тогда в силу несвязности существуют такие числа , что и . Так как , то . Тогда . Полученное противоречие завершает доказательство.
Лемма 3.
Если
, то
или
=R
+
.
Доказательство.
Очевидно, - полугруппа. Пусть и . Тогда существует элемент . Докажем, что . Возьмем произвольное . Пусть натуральное N
таково, что . Тогда из следует . Отсюда . Лемма доказана.
Лемма 4.
Пусть
S
– НОД-полугруппа и пространство
S
несвязно. Тогда:
1)
(0,с
)S
для любого
,
2)
если
, то и
для любого
.
Доказательство.
1) Если в интервале (0,1) нет элементов из S
, то заключение очевидно. Пусть (0,1)ÇS
¹Æ.Предположим, что (0,c
)S
для некоторого
. Не теряя общности, будем считать, что
. Так как S
несвязно, то по лемме 2 существует s
[0, 1]S
. Возьмем в S
ненулевой элемент и положим b
=asS
.
Пусть d
=НОД
(a
,
b
). Поскольку 0<s
<1, то sn
0 при n
. Тогда sN
< c
для некоторого натурального N
, и, значит, sN
S
. По свойству 8, пункт (3), НОД
(a
/
d
,
b
/
d
)=1. Поскольку b
/
d
:a
/
d
=s
S
, то элемент a
/
d
необратим в S
. Очевидно, необратимым является и (a
/
d
)N
. По свойству 11, пункт (5), имеем НОД
((a
/
d
)N
, (b
/
d
)N
)=1. Из (b
/
d
)N
:((a
/
d
)N
=sN
S
следует, что НОД
((a
/
d
)N
, (b
/
d
)N
)=(a
/
d
)N
. Значит, элемент (a
/
d
)N
ассоциирован с 1, т. е. обратим. Получили противоречие. Следовательно, (0, с
)S
для любого .
2) Если , то заключение справедливо. Пусть и . Тогда по лемме 3 существует s
. Предположим, что для некоторого с
>1. Возьмем в S
элемент и положим b
=asS
.
Поскольку s
>
1, то sn
+¥ при n
. Следовательно, sN
>c
для некоторого натурального N
, и, значит, sN
S
. Повторяя рассуждения, проведенные выше, заключаем: для любого.
Предложение 2.
Пусть
S
– НОД-полугруппа. Если пространство
S
несвязно и
, то
S
нульмерно.
Доказательство.
Докажем, что при выполненных условиях в любом интервале , где , есть точки, не принадлежащие S
. Доказывая от противного, предположим, что [a
,b
]S
для некоторых . Возможны два случая.
Случай 1. Пусть 0<a
<. Докажем, что найдется n
0
N
, для которого ab
. В самом деле, допуская, что b
<
a
для всех n
N
и, переходя в неравенстве b
<
a
к пределу при n
, получили бы b
a
<
b
. Откуда b
>
a
для всех натуральных n
>
n
0
. Тогда что невозможно по лемме 4.
Случай 2. Пусть . Возьмем такое число с
> a
, чтобы 1<c
<b
. Рассуждая, как и в случае 1, получаем cb
для некоторого n
0
N
. Тогда что также невозможно по лемме 4.
Докажем, что S
нульмерно. Пусть V
– произвольное открытое множество в S
и . Требуется показать, что существует такое открыто-замкнутое в S
множество U
, что . Поскольку топология в S
индуцируется топологией числовой прямой, то существуют такие числа a
иb
, что . Если , то это и есть открыто-замкнутое множество U
. Пусть левее s
в интервале нет точек множества S
, а правее – есть, и точка с
- одна из них. По доказанному выше существует точка , такая, что . В этом случае – искомое открыто-замкнутое множество U
. Аналогично рассматривается случай, когда левее точки s
в интервале есть точки множества S
, а правее нет, и случай, когда интервал содержит точки из S
и справа и слева от s
. Предложение доказано.
С помощью предложения 2 можно получить следующую топологическую классификацию числовых НОД-полугрупп.
Предложение 3.
Любая НОД-полугруппа
S
относится к одному из следующих классов:
1.
S
связно.
2.
S
нульмерно, замкнуто в
R
+
и
0 – предельная точка для
S
.
3.
S
нульмерно, не замкнуто в
R
+
и
0 – предельная точка для
S
.
4.
Точка
0 изолирована в
S.
Доказательство.
По лемме 1 существуют полугруппы , которые являются связными множествами. Пусть несвязно. Если =Æ, то 0 – изолированная точка. Если существует элемент , то для любого N
и последовательность сходится к 0. Следовательно, 0 – предельная точка дляS
, множество при этом может быть как замкнутым в R
+
, так и не замкнутым. Предложение доказано.
Глава 2. Мультипликативные полугруппы неотрицательных чисел
со свойствами (*) и (**)
В этой главе на основе предложения 2 дадим топологическую классификацию полугрупп S
, которые обладают одним из следующих свойств:
(*) (a
<
b
);
(**) (0<a
<
b
).
Лемма 8.
Полугруппа
S
,
удовлетворяющая хотя бы одному из свойств
(*), (**) является НОД-полугруппой и НОК-полугруппой. При этом, в первом случае НОД
(a
,b
)=
max
{a
,b
}, НОК
(a
,b
)=
min
{a
,b
} для любых
a
,
bS
, а во втором случае – НОД
(a
,b
)=
min
{a
,b
}, НОК
(a
,b
)=
max
{a
,b
}, если числа и не равны нулю.
Доказательство.
Пусть полугруппа S
обладает свойством (*). Покажем, что любые два элемента имеют НОД и НОК. По свойству (*) a
= и S
. Получили, что элемент b
является делителем a
. Следовательно, по свойству 2 делимости НОД(a
,b
) = b
= max{a
,b
} и НОК(a
,b
) = а
= min{a
,b
}. Аналогичными рассуждениями можно показать, что если полугруппа S
обладает свойством (**), то для любых ненулевых элементов и НОД(a
,b
)= min{a
,b
}, НОК(a
,b
)= max{a
,b
}. Пусть хотя бы одно из чисел а или b равно 0, например, b. Тогда НОД(a
,b
) = НОД(а,0) = а и НОК(a
,b
) = НОК(а,0) = а.
Лемма 9.
Если в полугруппе
S
со свойством
(*
) существует элемент
c
>
1, то
S
{0
} – группа.
Доказательство.
Докажем, что в S
произвольный ненулевой элемент a
< 1 обратим. Элемент acn
> 1 для некоторого n
N
. Тогда 1 / acn
S
в силу свойства (*). Откуда 1 / a
= (1 / acn
) cn
S
.
Предложение 4.
Любая полугруппа
S
со свойством
(*
) относится к одному из следующих классов:
1.
S
=
[0,1].
2.
S
=
R
+
.
3.
S
=
{rn
| n
= 0,1,2,…}, где
0 < .
4.
S
=
{rn
| n
Z
}, где
0 < .
5.
S
– нульмерное плотное подпространство в [0,1].
6.
S
–
нульмерное плотное подпространство в R
+
.
7.
S
=
{0,1}.
Доказательство.
Если связно, S
=
или S
=
R
+
по лемме 1.
Пусть S несвязно. Поскольку полугруппа {0}È[1,+) не обладает свойством (*), то S
нульмерно. Предположим сначала, что S
замкнуто (в R
+
). Если в S
ровно два элемента, то S
=
{0,1}. Пусть поэтому . Покажем, что точка 1 изолирована в S
. Предположим, что это не так. Тогда в S
существует строго возрастающая последовательность (е
n
), сходящаяся к 1. Так как S
замкнуто и несвязно, то в (0,1) найдутся такие элементы c
< d
, что (c
,d
) = по лемме 4. В то же время строго возрастающая последовательность (en
,d
) элементов из S
сходится к числу d
. Противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в S. Обозначим . Тогда . Возьмем произвольный ненулевой элемент из . Для него при некотором N
. По свойству (*) получаем и . Поскольку , то . Тогда в случае S
имеем 0,1,2,…
, а в противном случае Z
по лемме 9.
Пусть S
нульмерно и не замкнуто. Существует монотонная последовательность чисел 0а
n
S
, сходящаяся к некоторому а
S
. Пусть bn
= an
/ an
+1
, если (an
) возрастает, и bn
= an
+1
/ an
, если она убывает. Тогда bn
S
(N
) и bn
1 при . Возьмем произвольное число с
(0,1). Для каждого N
найдется такое k
(n
)N
, что . Тогда имеем и .
Следовательно, числа N
из образуют плотное подмножество в [0,1]. Если S
, то получаем случай 5. Если же S
, то по лемме 9 получаем случай 6. Предложение доказано.
Предложение 5.
Любая полугруппа
S
со свойством
(**) относится к одному из следующих классов:
1.
S
=
R
+
.
2.
S
=
{rn
| n
ÎN
}, где
.
3.
S
=
{rn
| n
Z
}, где
.
4.
S
{0} – нульмерное плотное подпространство в [1,).
5.
S
–
нульмерное плотное подпространство в R
+
.
6.
S
=
{0,1}.
7.
È[1,+¥).
Доказательство.
Пусть связно. Поскольку полугруппа [0,1] не обладает свойством (**), то по лемме 1 получаем S
=
R
+
.
Очевидно, является полугруппой со свойством (**).
Пусть далее несвязно и . Тогда нульмерно по предложению 2.
Пусть замкнуто и Æ. Если в нет элемента, большего 1, то . Пусть (1,+¥)¹Æ. Докажем, что точка 1 изолирована в . Допустим, что это не так. Тогда в существует строго убывающая последовательность, сходящаяся к 1. Так как замкнуто и несвязно, то в [1,+¥) есть такие элементы , что . В то же время строго убывающая последовательность элементов из сходится к числу , следовательно, ее члены, начиная с некоторого номера, попадают в интервал . Получили противоречие. Следовательно, 1 является изолированной точкой в . Обозначим . Тогда и поскольку замкнуто, то . Возьмем произвольный элемент из . Для него при некотором N
. По свойству (**) получаем и . Поскольку , то . В этом случае N
.
Пусть замкнуто и Æ. Как и выше, доказывается, что 1 – изолированная точка. Обозначим и . Тогда , . Так как замкнуто, то . Из свойства (**) следует, что . Из неравенства по доказанному выше получаем: для некоторого натурального N
. Поскольку , то . В этом случае Z
.
Пусть не замкнуто и Æ. Тогда существует монотонная последовательность чисел , сходящаяся к некоторому . Пусть , если последовательность элементов убывает, и , если она возрастает. Тогда для всех N
и при . Возьмем произвольное число . Для каждого N
найдется такое N
, что . Тогда имеем и .
Следовательно, числа N
из образуют плотное подмножество в [1,+ ¥) (случай 4).
Если не замкнуто и Æ, то аналогичные рассуждения показывают, что S
–
плотное подпространство в R
+
.
Следствие 1.
Любая полугруппа
S
, обладающая свойствами
(*) и
(**) относится к одному из следующих классов:
1.
S
=
R
+
.
2.
S
–
нульмерное плотное подпространство в R
+
.
3.
S
=
{0,1}.
Библиографический список
1. Варанкина, В.И., Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы и конгруэнции [Текст] // В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова / Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. № 2. С 493-510.
2. Курош, А.Г. Лекции по общей алгебре [Текст] / А. Г. Курош. – М.: Наука, 1973.