РефератыМатематикаОсОсновы высшей математики

Основы высшей математики

Контрольная работа


Основы высшей математики


Оглавление


Введение


1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число


2 Произведение матриц


3 Транспонированная матрица


4 Задача


Список использованных источников


Введение


Понятие Матрица (в математике) было введено в работах У. Гамильтона и А. Кэли в середине 19 века. Основы теории созданы К. Вейерштрассом и Ф. Фробениусом (2-я половина 19 века и начало 20 века). И.А. Лаппо-Данилевский разработал теорию аналитических функций от многих матричных аргументов и применил эту теорию к исследованию систем дифференциальных уравнений с аналитическими коэффициентами. Матричные обозначения получили распространение в современной математике и её приложениях. Исчисление Матрица (в математике) развивается в направлении построения эффективных алгоритмов для численного решения основных задач.


С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.


1 Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число


Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n — ее порядком.


Все числа, входящие в матрицу называются ее элементами. Если все элементы состоят их нулей, то это нулевая матрица, она играет роль нуля в матричном исчислении.


Единичной матрицей называется квадратная матрица любого размера, где по главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.



играет роль единицы в матричном исчислении.


Если такую матрицу умножить на другую матрицу (при возможности умножения) даст исходную матрицу.



- дельта Кронекера


Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что bij = k × aij.


В = k × A


bij = k × aij.


Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.


2 Произведение матриц


Операция умножения двух матриц вводится только для случая,

когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что


сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk,


т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.


Свойства умножения матриц:


Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка.


А × Е = Е × А = А


Умножение матриц обладает следующими свойствами:


1. А × (В × С) = (А × В) × С;


2. А × (В + С) = АВ + АС;


3. (А + В) × С = АС + ВС;


4. α × (АВ) = (αА) × В;


5. А × 0 = 0; 0 × А = 0;


6. (АВ)Т = ВТАТ;


7. (АВС)Т = СТВТАТ;


8. (А + В)Т = АТ + ВТ.


3 Транспонированная матрица


Транспонированная матрица – матрица AТ, полученная из исходной матрицы A заменой строк на столбцы.


Формально, транспонированная матрица для матрицы A размеров m*n – матрица AT размеров n*m, определённая как AT[i, j] = A [j, i].


Например,



Свойства транспонированных матриц:


1. (AT)T = A


2. (A + B)T = AT + BT


3. (AB)T = BTAT


4. detA = detAT


4 Задача









Список использованных источников


1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. - М.: АСТ, 2005. - 991 с.


2. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов/ под ред. Проф.Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ, 2000.


3. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. - Минск. ТетраСистемс, 2004. - 640 с.


4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2.- М.: 2005. - 517 с.

Сохранить в соц. сетях:
Обсуждение:
comments powered by Disqus

Название реферата: Основы высшей математики

Слов:720
Символов:5862
Размер:11.45 Кб.