Введение.
Глава 1. Структура и содержание учебно-методического пособия.
1.1. Теоретическое наполнение раздела «Операции с большими числами»
1.2. Теоретическое наполнение раздела «Вероятностные тесты на простоту»
1.3. Теоретическое наполнение раздела «Доказуемо простые числа»
1.4. Разработка заданий для лабораторных и самостоятельных работ
1.5. Тесты для самопроверки
Глава 2. Апробация методического пособия.
2.1 Апробация в Тюменском государственном университете
2.2 Апробация в Тюменской государственной академии экономики, управления и права
Заключение
Список литературы
Приложение 1
Введение
Актуальность. Структура высшего очного образования предполагает сочетание различных видов и методов обучения: аудиторные занятия, домашняя и самостоятельная работа студентов, выполнение курсовых работ по специальности, по предметам. Аудиторные занятия, в свою очередь, делятся на лекционные, практические, лабораторные и семинарские занятия. Для изучения каждого предмета ГОС ВПО (Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования) по специальности определяет необходимое количество аудиторных занятий каждого вида, а также количество часов, выделенных на самостоятельную работу студентов.
В учебном плане специальности «Компьютерная безопасность» Тюменского государственного университета на изучение дисциплины «Криптографические методы защиты информации» отводится 70 часов лекций и 35 часов лабораторных занятий. Объем самостоятельной работы студента по дисциплине криптографические методы защиты информации составляет 82 часа. На изучение других предметов криптографической направленности – «Теоретико-числовые методы в криптографии» и «Криптографические протоколы» - также отведено в сумме 70 часов лекционных 35 часов практических занятий. В целом, на изучение криптографии в Тюменском государственном университете отводится 210 часов аудиторной нагрузки. Таким образом, криптография как общепрофессиональная и специальная дисциплина является одной из центральных в учебном процессе на специальности «Компьютерная безопасность».
Практические и лабораторные занятия проводятся в виде выполнения студентами заданий в компьютерных классах под руководством преподавателя. Самостоятельная работа студентов осуществляется в виде реализации криптографических алгоритмов на каком-либо языке программирования. Целью практических, лабораторных занятий и самостоятельной работы студентов является лучшее усвоение материала, дающегося на лекциях, через практику, самостоятельное, более глубокое изучение различных аспектов криптографической защиты, вопросов практического применения и реализации криптографических алгоритмов и протоколов.
Методическое обеспечение учебного процесса является одной из важнейших составляющих учебного процесса, особенно в части самостоятельной работы студентов. Связь между преподавателем и студентом не должна обрываться в тот момент, когда студент покидает аудиторию. Методические пособия, указания к выполнению лабораторных и самостоятельных работ, разработанные как дополнение к лекционному материалу, призваны осветить вопросы, встающие перед студентами в процессе выполнения ими самостоятельной работы. Материал, даваемый на лекции, как правило, носит общий характер, и из-за временных ограничений, а также различий в уровне подготовки студентов, различной мотивации к изучению предмета, интересу к различным разделам и аспектам данной дисциплины. В методическом пособии есть возможность рассмотреть каждое направление, каждый алгоритм более подробно, остановиться на вопросах его практической реализации, оговорить моменты, очевидные для одних студентов, но, возможно, представляющие существенные затруднения для других. Важным моментом является возможность рассмотреть в методическом пособии темы, не относящиеся непосредственно к изучаемой дисциплине, но использующиеся при ее освоении. Например, в разработанное пособие вошел раздел «Операции с большими числами», в котором не описано никаких криптографических алгоритмов, однако весьма полезный для студента.
Тематика генерации больших простых чисел, избранная для разработанного методического пособия, является ключевой для изучения криптографических методов защиты информации. Почти каждый криптографический алгоритм с открытым ключом требует генерации простого числа размером не менее 512 бит. В процессе использования таких алгоритмов приходится многократно создавать такие числа, причем некоторые алгоритмы требуют простые числа специального вида. Например, алгоритм цифровой подписи (ЦП) стандарта ГОСТ Р 34.11-94 требует генерации двух простых чисел p и q таких, что qявляется делителем числа (p-1). Таким образом, прежде чем приступать к реализации алгоритмов с открытым ключом, студент должен освоить тему генерации больших простых чисел.
На данный момент существует несколько алгоритмов получения простого числа. В справочной литературе, в том числе такой популярной как [9], рассмотренные алгоритмы приведены без математического обоснования, что в свою очередь не позволяет изучить материал в полном объеме. Для получения наиболее полных знаний следует пользоваться учебной литературой. Большинство изданий учебной литературы содержит не только описание самих алгоритмов, а также их математические обоснования, примеры и.т.п.
На данный момент среди учебной литературы достаточно слабо представлена тема генерации больших простых чисел. Большинство авторов в своих работах не освещают данную тему в полном объеме, а именно [1] осветил данную тему не в полном объеме, в работе присутствуют описание алгоритмов и оценки их сложности и надежности. [3] осветил данную тему не в полном объеме, в работе присутствуют описание алгоритмов их математическое обоснование и примеры, отсутствуют оценки сложности и надежности алгоритмов. [5] осветили тему не в полном объеме: в работе отсутствует математическое обоснование алгоритмов и их оценки сложности и надежности. [12] осветили данную тему достаточно полно, в работе присутствует описание алгоритмов их исчерпывающее математическое обоснование, присутствуют оценки сложности и надежности, примеры.
Таким образом, можно сказать, что для студента является некоторой проблемой найти учебное или учебно-методическое пособие на русском языке, в котором достаточно подробно, обоснованно были бы изложены основные алгоритмы генерации простых чисел с примерами.
Целью данной работы является:
Разработать методическое пособие на тему «Генерация простых чисел» для специальности «Компьютерная безопасность» Тюменского государственного университета, включающее в себя теоретический материал, задания к практическим работам, указания к их выполнению и материалы для проверки качества выполненных заданий.
Для достижения данной цели пришлось решить следующие задачи:
1. Изучить материал по темам: арифметика больших чисел; асимптотический закон распределения простых чисел; вероятностные тесты на простоту и генерация простых чисел случайным поиском; доказуемо простые числа и их построение.
2. Определить структуру и содержание методического пособия.
3. Оформить теоретический материал согласно структуре
4. Составить задания к лабораторным работам по теме к каждому из разделов.
5. Составить задания для самопроверки для каждой из глав пособия.
6. Апробировать составленное методическое пособие с целью улучшения подачи материала.
Апробация работы:
В 2007-2008 учебном году данное методическое пособие впервые было предложено студентам 4 курса специальности «Компьютерная безопасность» групп 347 и 347 Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Криптографические методы защиты информации».
В сентябре - декабре 2008 года по материалу разработанного методического пособия в рамках преддипломной практики в Тюменской государственной академии мировой экономики, управления и права со студентами специальности «Прикладная информатика» были проведены практические занятия по дисциплине «Информационная безопасность» в объеме 10 часов аудиторных занятий и 12 часов самостоятельной работы студентов.
Данное методическое пособие включено в план издания учебно-методической литературы кафедры Информационной безопасности Тюменского государственного университета на 2009 г.
Глава 1. Структура и содержание учебно-методического пособия
Первоначально планировалось включить в пособие 2 раздела – «Вероятностные тесты на простоту» и «Доказуемо просты числа». Это обусловлено тем, что разные криптосистемы используют разные типы простых чисел. Существует 2 основных подхода к генерации простых чисел: методы, генерирующие число, являющееся простым с высокой степенью вероятности (т.н. probabilitymethods) и методы, генерирующие числа, являющиеся доказуемо простыми (т.н. provabilitymethods).
В каждом разделе были приведены несколько тестов на простоту.
После апробации пособия студентами 4 курса специальности «Компьютерная безопасность» групп 347 и 347 Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета выяснилось, что многие студенты затрудняются самостоятельно описать класс больших чисел, поэтому было решено ввести в курс «криптографические методы защиты информации» дополнительную тему «Операции с большими числами» и провести по ней лабораторное занятие, а также включить данную тему в методическое пособие.
В каждом разделе выделены теоретическая часть, задания для самостоятельной работы, также было решено включить во второй и третий раздел тестовые данные для программ, разработанных студентами, чтобы каждый студент имел возможность самостоятельно проверить корректность работы своей программы. Упрощенно, тестовые данные представляют собой данные на вход программы и данные, которые должны быть получены на выходе. Также к каждой паре «вход-выход» приложено предположительное определение ошибки алгоритма в случае несовпадения полученного результата с ожидаемым. Более подробно эти тестовые данные описаны в разделе 1.6.
1.1. Теоретическое наполнение раздела «Операции с большими числами»
Большинство современных алгоритмов такие как ГОСТ Р34.11-94, ГОСТ Р 34.11-2001, DSA и EСDSA накладывают условия на длину простого числа, например в ГОСТ Р 34.11-2001 длина простого числа должна быть больше 255 бит, а по стандарту DSA 512≤|p|≤1024. Для реализации данных алгоритмов необходимо умение работать с «большими» числами, а именно знать, как они представляются в памяти компьютера, и выполнять над ними арифметические операции.
Все алгоритмы, описанные в первой части пособия, приведены для случая, когда на основе класса 64-битных целых чисел описывается класс 128-битных целых. Пользуясь принципами, описанными для этого случая, студенту предоставляется самостоятельно построить класс 256- или 512-, 1024-битных целых чисел.
В данной главе описаны алгоритмы, используя которые можно получить практически любую арифметическую операцию, а именно: сложение, умножения двух чисел (методом Карацубы), возведение в квадрат, вычисление остатка от деления, возведение в степень (дихотомический алгоритм). Все операции над большими числами описаны через следующие стандартные операции над 64-битными целыми числами: сложение, вычитание, вычисление остатка от деления, возведение в квадрат, возведение в n-ю степень.
Операция сложения – это первая операция, описываемая в пособии, поэтому она рассмотрена наиболее подробно. Предлагается метод с использованием стандартной операции сложения 64-битных чисел. Результат сложения двух n-битных чисел предлагается помещать в 2n-битное число с тем, чтобы при выполнении криптографических преобразований промежуточный результат не выходил за размеры класса.
Вычисление остатка от деления. В пособии предлагается метод Барретта. В данном методе используются стандартные 64-битные операции сложение, умножение, вычитание, возведение в n-ю степень, вычисление остатка от деления.
Умножение 2х чисел. В пособии предлагается метод Карацубы. В данном методе используются стандартные 64-битные операции сложение, умножение, вычитание, возведение в n-ю степень, вычисление остатка от деления. Данный метод дает преимущество в скорости вычисления, так как позволяет сократить количество операций умножения с 4 до 3 по сравнению с традиционным подходом. Наряду с методом Карацубы, описывается метод умножения «столбиком» (традиционный подход) и производится сравнение этих двух методов.
Возведение в квадрат. В пособии предлагается метод, основанный на стандартных 64-битных операциях сложения, умножения и возведения в квадрат. Данный метод является более вычислительно быстрым, чем возведение в квадрат через умножение, так как в данном методе доминирует операция возведения в квадрат, которая в свою очередь более быстрая, чем операция умножения.
Возведение в степень. В пособии предлагается дихотомический алгоритм. Рассматриваются два варианта этого метода – «слева направо» и «справа налево». В данном алгоритме используются операции умножения и возведения в квадрат для 256-, 512- или 1024-битных целых чисел.
Изложение каждого из методов сопровождается примерами.
1.2. Теоретическое наполнение раздела «Вероятностные тесты на простоту»
В основном, учебники по криптографии упоминают или приводят именно вероятностные тесты на простоту. Простые числа, построенные случайным поиском с проверкой вероятностными тестами, используются в криптосистемах RSA, Рабина (и других криптосистемах, основанных на проблеме факторизации).
В данной главе выделены следующие разделы: асимптотический закон распределения простых чисел, тест Ферма на простоту, тест Соловея-Штрассена, тест Миллера-Рабина.
Асимптотический закон распределения простых чисел. Данный раздел был включен во 2-ю главу для того, чтобы дать студенту представление об эффективности случайного поиска простых чисел, поскольку именно случайный поиск простых чисел используется в алгоритмах построения с использованием вероятностных тестов на простоту.
Вводится теоретико-числовая функция π(x) – количество простых чисел, меньших x. В пособии приводится собственно теорема (асимптотический закон), которая определяет предельные характеристики распределения простых чисел среди целых положительных чисел, а также теорема Чебышева, определяющая границы интервала, на котором расположено π(x) для различных x.
Для иллюстрации использования приведенных теорем рассмотрен пример. В примере для множества целых положительных 32-битных чисел (таких, что старший бит равен 1) с использованием асимптотического закона вычислена вероятность того, что наугад выбранное из этого множества число окажется простым. Такая вероятность приняла следующее значение:
p»
Если сузить поиск до нечетных чисел, то вероятность возрастет в 2 раза и составит p».
После чего в методическом пособии сделан обоснованный вывод о том, что случайный поиск простых чисел целесообразен.
Тест Ферма. В данном разделе рассмотрен алгоритм теста Ферма на простоту. Данный тест позволяет эффективно определять, является ли данное число простым, однако, с его помощью нельзя строго доказать составность числа.
В основе теста Ферма лежит теорема Ферма. Ее формулировка приведена в тексте пособия (без доказательства)
Теорема Ферма (малая)
Если р – простое, и p не делит aap
–1
≡ 1 (modp)
Таким образом, если n-простое число, то для любого основания a будет выполняться сравнение an
–1
≡ 1 (modn). Если n – составное число, то такое сравнение будет выполняться лишь для некоторых a в силу случайного совпадения. На этом факте основан тест Ферма, который проверяет данное сравнение для случайным образом выбранных оснований a.
Также в пособии отмечено тот факт что, для данного теста существуют такие составные числа, для которых сравнение an
–1
≡ 1 (modn) выполняются при любом основании a. Поэтому, каково бы ни было значение параметра надежности (то есть количество перебранных оснований a), тест Ферма будет принимать такое составное число за простое. Такие числа называются числами Кармайкла.
Следует отметить, что вид чисел Кармайкла определяется теоремой Кармайкла.
Теорема Кармайкла:
n – число Кармайкла 1) n свободно от квадратов (т.е. n = p1
∙p2
∙…∙pk
);
2) (pi
– 1)(n – 1), i = 1,…,k ;
3) k.
Теорема в пособии не приводится, однако была использована при создании тестовых данных для самостоятельной проверки корректности работы приложения, созданного студентами.
Для данного теста приводится оценка вероятности ошибки, равная εt
, где ε, где - функция Эйлера, n - испытуемое число , t- параметр надежности.
- функция Эйлера, где n — натуральное число, равна количеству натуральных чисел, не больших n и взаимно простых с ним.
Если тест показал, что испытуемое число является простым, то подразумевается, что данное число является простым с вероятностью 1- εt
.
В случае составного испытуемого числа, имеющего только большие делители, ε, то есть существуют числа, для которых вероятность ошибки при проверке их на простоту тестом Ферма близка к 1.
В качестве примера иллюстрирующего работу теста были приведены расчеты, в качестве испытуемого числа было выбрано простое число 43, параметр надежности был выбран равный 2, основания, по которым проводилась проверка, были равны 35 и 13. При этом сравнение * выполнилось по основанию 35 и по основанию 13. Тест, таким образом, выдал ответ «43 – простое число».
Тест Соловея-Штрассена. В данном разделе рассмотрен алгоритм теста на простоту Соловея-Штрассена. Так же как и тест Ферма, данный тест позволяет эффективно определять, является ли данное число простым, однако, с его помощью нельзя строго доказать составность числа.
Этот тест основан на различии между символами Якоби и Лежандра.
Символом Лежандра называется символ
, где p – простое число, Q(p) – множество квадратичных вычетов по модулю p, – множество квадратичных не вычетов по модулю p, а называется числителем, р – знаменателем символа Лежандра.
Символ Якоби определяется равенством:, где n – составное число, каноническое разложение которого есть . Знаменатель символа Лежандра – простое число, а символа Якоби – составное.
Свойства символа Лежандра и символа Якоби совпадают, за исключением критерия Эйлера. Критерий Эйлера выполняется для символа Лежандра, и не выполняется для символа Якоби.
Критерий Эйлера: Для символа Лежандра
Алгоритм вычисления этих двух символов одинаков, так как он основан на использовании свойств символов Якоби и Лежандра.
В алгоритме теста встречается вычисление символа Якоби (). В пособии приведен алгоритм вычисления данного символа, без свойств, на которых основано вычисление данного символа. Студенту разъясняется роль данного символа в алгоритме.
Для данного теста приводится оценка вероятности ошибки, равная εt
, где t – число итераций теста, параметр надежности, а < .
Из данной оценки надежности теста сделан вывод о том, что оценка надежности для теста Соловея–Штрассена гораздо лучше, чем для теста Ферма, даже в том случае, когда φ(n) ненамного меньше n. Если на одной итерации вероятность ошибочного решения теста не превышает ½, то уже на двух итерациях – ¼, на трех – 1/8, и т. д. Уже на 14 итерациях вероятность ошибочного решения на превышает 0, 0001.
Также студенту представлен пример, иллюстрирующий вычисление символа Якоби . В заключении данного раздела студенту представлен пример работы алгоритма со следующими параметрами: испытуемое (простое) число равно 43, параметр надежности равен 2.
Тест Миллера-Рабина. Тест Миллера-Рабина, как и тесты Ферма и Соловея-Штрассена, строит вероятно простые числа, то есть число, опознанное этим тестом как простое, может с некоторой малой вероятностью оказаться составным, однако вероятность ошибки у теста Миллера-Рабина гораздо ниже, чем у первых двух тестов. Как правило, для опознания простого числа достаточно одной итерации теста, но все же студенту рекомендуется использовать не менее пяти итераций.
Данный тест основан на теореме ферма, которая гласит если n – простое число, то для любого a: 0<a<n выполняется an
—1
≡1(modn).
В пособии приведена оценка вероятности ошибки ε ≤ , то есть верхняя граница ошибки на одной итерации для теста Миллера-Рабина в 2 раза меньше аналогичной для теста Соловея-Штрассена и в 4 раза – для теста Ферма. Если на одной итерации вероятность ошибочного решения в тесте не превышает ¼, то на двух итерациях – 1/16, на трех – 1/64. Для того, чтобы вероятность ошибки не превышала 0, 0001, требуется всего 7 итераций, что в 2 раза меньше, чем для теста Соловея-Штрассена. На практике рекомендуется использовать не менее пяти итераций теста, что обеспечивает вероятность вынесения ошибочного решении не более 0,001.
Студенту разъяснятся метод построения последовательности b0
, b1
,…,bs
, а именно то, что каждый последующий член данной последовательности является квадратом предыдущего по модулю n, а последний член есть ни что иное как an
—1
modn. То есть на одном из шагов теста строиться последовательность квадратов по модулю n.
В качестве примера, иллюстрирующего работу теста, были приведены расчеты. В качестве испытуемого числа было выбрано составное число 65, параметр надежности был выбран равный 5.
1.3. Теоретическое наполнение раздела «Доказуемо простые числа»
В данном разделе рассмотрены алгоритмы которые позволяют строить числа, простота которых не вызывает сомнений, а именно тест Миллера на простоту, тест основанный на теореме Поклингтона, Процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. Последний алгоритм используется в отечественном стандарте шифрования ГОСТ Р 34.10-94.
Данная тема редко и недостаточно полно затрагивается в учебно-методической литературе, несмотря на достаточно большую ее практическую значимость.
Подход к получению доказуемо простых чисел отличается от подхода, рассмотренного ранее. Для построения таких чисел не используется случайный поиск. С использованием таблицы простых чисел небольшого размера, построенной заранее, строится число m (равное произведению нескольких простых чисел либо произведению простых чисел и случайного числа), затем число n=2m+1 проверяется на простоту одним из нижеприведенных тестов.
Тест Миллера. Данный тест, основанный на теореме Сэлфриджа, пригоден для доказательства простоты любого нечетного числа, если известно разложение на простые сомножители числа, ему предстоящего. Однако этот тест достаточно трудоемок. Для некоторых чисел особого вида построены специальные доказательства простоты.
Теорема Сэлфриджа.
Пусть n—1=. n – простое, a: 1) an—1
≡1(mod n);
2) 1(modn).
Данная теорема приведена в пособии без доказательства.
Теорема Сэлфриджа дает удобный критерий для доказательства простоты числа. На основании этой теоремы построен алгоритм Миллера проверки чисел на простоту, который требуют полной факторизации числа n—1.
Алгоритм построения простого числа с помощью теста Миллера следующий:
1. Строится таблица малых простых чисел qi
(или используется готовая таблица);
2. Строится число m=(где qi
—случайные простые числа из таблицы, αi
– случайные целые числа), размер которого на 1 бит меньше требуемого размера для простого числа;
3. Вычисляется значение n=2m+1;
4. Построенное число n испытывается тестом Миллера с заданным параметром надежности.
Тест Миллера, приведенный в пособии, осуществляет проверку сравнений (1) и (2) теоремы Сэлфриджа для всех qi
по нескольким случайным основаниям a. Если для какого-то основания данные сравнения не выполняются, число отвергается (как, возможно, составное). Количество оснований, по которым производится проверка, есть параметр надежности.
Следует заметить, что проверка условия (2) теоремы Сэлфриджа возможна благодаря тому, что проверяющему известны все простые числа из разложения числа n-1, а именно числа 2 и qi
. Для случайно выбранного (а не построенного) числа n проверка тестом Миллера была бы невозможна.
Числа qi
из разложения числа m не должны быть известны никому кроме лица, построившего данное число, иначе крипосистемы, построенные с использованием такого числа, станут уязвимыми для атак.
Тест, основанный на Теореме Поклингтона. Теорема Сэлфриджа дает четкий критерий для проверки простоты числа
n, однако требует знания полного разложения числа (n—1) на простые сомножители. Следующая теорема позволяет ограничиться частичной факторизацией (n—1).
Теорема Поклингтона.
Пусть n=RF+1, F= - каноническое разложение.
Еслиa: 1) an—1
≡1(mod n);
2) 1(modn) .
p≡1(modF) для любого простого pn.
Итак, если разложить n—1 на два сомножителя n—1=RF, где F>—1, то, если для некоторого a будут выполнены условия Теоремы Поклингтона (1) и (2), то n – простое.
Таким образом, можно значительно сократить количество проверок по сравнению с тестом Миллера.
Алгоритм построения простого числа с помощью теста на основании теоремы Поклингтона следующий:
1. Строится таблица малых простых чисел qi
(или используется готовая таблица);
2. Строится число F=(где qi
—случайные простые числа из таблицы, αi
– случайные целые числа), размер которого на 1 бит больше половины требуемого размера для простого числа;
3. Вычисляется значение n=RF+1, где R – случайное четное число, размер которого на 1 бит меньше размера F;
4. Построенное число n испытывается тестом на основании теоремы Поклингтона с заданным параметром надежности.
Такой тест, приведенный в пособии, осуществляет проверку сравнений (1) и (2) теоремы Поклингтона для всех qi
из разложения числа F по нескольким случайным основаниям a. Если для какого-то основания данные сравнения не выполняются, число отвергается (как, возможно, составное). Количество оснований, по которым производится проверка, есть параметр надежности.
Заметим, что число, построенное с помощью данного теста, более предпочтительно для использования в качестве модуля криптосистем, поскольку никто, даже его создатель, не знает полного разложения числа n—1.
Для иллюстрации алгоритма в пособии приведен пример расчета алгоритма со следующими параметрами: испытуемое число(n = RF+1) равно 4021, разложение n-1 - 22
·3·5·67 , R=67 , F=22
·3·5=60. Студенту разъясняется, что в данном примере вероятность того, что наугад выбранное a будет удовлетворять условиям теоремы Поклингтона для данного примера, есть (1—1/67)≈0,985.
Процедура генерации простых чисел заданной длины ГОСТ Р 34.10-94. Данный процедура позволяет строить доказуемо простые числа большего размера на основе простых чисел меньшего размера. Основана она на теореме Диемитко, которая гласит что для n=qR+1( где q – простое число, R – четное, R<4(q+1)) если найдется a<n: 1) an
—1
≡1(modn); 2) 1(modn), то n – простое число.
1.4. Разработка заданий для лабораторных и самостоятельных работ
Для закрепления материала лекционных занятий нами были разработаны задания для лабораторных и самостоятельных работ. Всего разработано три комплекта заданий, соответствующие трем темам: «Операции с большими числами», «Вероятностные тесты на простоту» и «Доказуемо простые числа». Предполагается последовательное выполнение этих заданий, в порядке, изложенном в методическом пособии. На изучения каждой из тем, соответствующих разделам пособия, отводится по 2 часа лабораторных занятий и по 2 часа самостоятельной работы. Программная реализация алгоритмов осуществляется студентами в компьютерном классе под руководством преподавателя, отладка программы и оформление результата – в часы, отведенные для самостоятельной работы.
Программные модули разработанные в рамках перечисленных тем, описанные в них классы и функции, используются студентами в дальнейшем курсе предмета «Криптографические методы защиты информации» для выполнения лабораторных работ по реализации и использованию асимметричных алгоритмов шифрования, алгоритмов цифровой подписи, криптографических протоколов, а также для выполнения курсовой работы по предмету.
Задание к первому разделу – «Операции с большими числами» не разделено на варианты, так как результат данной лабораторной работы подразумевает разработку класса для работы с большими числами, который используется при выполнении лабораторных работ ко второй и третьей главам. Выполнение задания к первому разделу, таким образом, является базовым элементом программ, которые разрабатываются студентами в дальнейшем, на протяжении всего курса предмета «КМЗИ».
Задания к разделу «Операции с большими числами» включают в себя создание класса больших чисел, в котором заданы следующие операции: сложение, вычисление остатка от деления, умножения двух чисел (методом Карацубы), возведение в квадрат, возведение в степень (дихотомический алгоритм). Используя данные операции можно получить практически любую арифметическую операцию.
Операция возведения в степень используется при шифровании данных в криптосистемах, основанных на проблеме дискретного логарифмирования, также данная операция используется практически во всех тестах на простоту.
Операции умножения и возведения в квадрат используются при реализации операции возведение в степень и.т.д. Исходя из вышеупомянутых критериев, мы сформулировали задания в порядке возрастания сложности, а именно первой операцией, которую предстоит реализовать студенту, является операция сложения, как уже было описано выше, она является базовой операцией, использующейся при реализации других операций. Далее студенту предстоит реализовать операцию умножения. При реализации данной операции используется операция сложения. Следующим заданием является реализация операции возведения в квадрат, в которой используются реализованные ранние операции сложения и умножения. Наконец, студенту предстоит реализовать операцию возведения в степень, для которой используются все ранее реализованные операции.
Существует большое количество различных вероятностных тестов на простоту. Из большинства тестов было выбрано три «основных», которые и стали предмето
| № | 1 | 2 | … | 10 |
| p | ||||
| n |
Здесь №-номер эксперимента, p- найденное простое число, n- количество перебранных чисел до получения простого.
Также следует отметить, что при заполнении таблицы число n имеет следующий смысл: количество перебранных чисел до получения простого, и если взять среднее значение n по десяти экспериментам, то результат должен получиться достаточно близким к рассчитанному числу ожидаемого количества перебранных чисел до получения простого числа. Если расхождение слишком велико, то можно сделать вывод, что данный вероятностный тест реализован не верно. Результат работы реализованного алгоритма студент может проверить с помощью теста для самопроверки (тесты для самопроверки будут детально рассмотрены в главе 1.5).
В задании к главе «Доказуемо простые числа» студенту предлагается реализовать три теста основанных на трех различных принципах (Данные тесты описаны в разделе 1.3). Исходя из этого, мы выделили три варианта лабораторной работы. В первом и втором варианте лабораторной работы предлагается использовать тесты Миллера и Поклингтона для построения простых чисел, а для третьего варианта предлагается генерировать простые числа при помощи процедуры ГОСТ 34.10-94. Результат лабораторной работы студенту предлагается оформить в виде таблицы, что позволяет преподавателю затрачивать минимум времени на проверку данной работы, а также, при отсутствии времени на проверку работы на занятии, проверить работы во внеурочное время.
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| p | ||||||||||
| Результат проверки вероятностным тестом | ||||||||||
| k |
В данной таблицу в первой строке указывается номер эксперимента. Во второй строке – простое число, получившиеся в ходе эксперимента. В третьей строке – результат проверки этого числа p ,реализованного студентом к заданию в главе «Вероятностные тесты на простоту». В четверную строку необходимо внести количество чисел, которые были проверенны детерминистическим тестом и определены как составные, но вероятностным тест определил их, как простые.
Такой способ проверки также позволяет при необходимости студентам выполнять, а преподавателю проверять задания, приведенные в пособии, дистанционно или полностью во время, отведенное для самостоятельной работы (например, в случае болезни студента или при изучении данных тем в рамках других специальностей, где изучение криптографии предусмотрено в качестве спецкурса или темы для самостоятельного изучения). Следует отметить, что компьютерный расчет работы тестов, представленных в данном разделе, на больших числах занимает достаточно много времени (на персональном компьютере)). Студенту предлагается сгенерировать десять простых чисел, алгоритм зависит от выбранного варианта, и затем проверить данные числа одним из вероятностных тестов (реализованным в задании к главе «Вероятностные тесты на простоту»). Каждое число, отвергнутое при проверке детерминистическим тестом, также проверять вероятностными тестами. Данное задание показывает студенту, что некоторое количество простых чисел распознаются детерминистическими тестами как составные.
Итак, в результате выполнения комплекса заданий, предложенных в методическом пособии, студент должен получить следующие знания, умения и навыки:
· навыки реализации и использования класса больших чисел;
· навыки реализации и практического использования вероятностных тесов на простоту;
· знание о практическом применении асимптотического закона распределения;
· умение рассчитывать необходимое количество итераций теста для достижения заданной вероятности ошибки (если студенту представиться возможность, применимо к конкретной задачи, столкнуться с реализацией тестов на простоту, то он самостоятельно сможет рассчитать необходимое количество итераций);
· представление о различии вероятностных и детерминистических тестов на простоту (студент будет иметь четкое представление о том, что при реализации детерминистических тестов он строит число, простота которого не вызывает сомнений);
· знание о надежности тестов, об их быстродействии;
· знаниями о том, что не все числа определенные детерминистическими тестам, как составные на самом деле таковыми являются.
1.5. Тесты для самопроверки
Для того чтобы студент мог самостоятельно проверить корректность выполненных им работ, нами были разработаны тесты для самопроверки. Тесты представляют собой наборы входных и выходных данных, то есть студент подставляет в реализованный им тест набор входных данных и делает вывод о корректности теста на основе сравнения полученных им выходных данных и данных «эталона». В пособии тесты выделены в отдельную главу, которая располагается после заданий к главам.
Тесты для самопроверки для раздела «Операции с большими числами» представляет собой две таблицы (в первой таблице длина чисел не превышает 64 бит, во второй длина чисел не превышает 128бит), в столбцы которой занесены числа a и b, название операции и результат.
В таблице нами были разработаны наборы входных и выходных данных для следующих арифметических операций: сложение, вычисление остатка от деления, умножение двух чисел, возведение в квадрат, возведение в степень. Студенту следует проверять реализованные им арифметические операции в следующем порядке:
1. сложение, так как это базовая операция, использующаяся при реализации всех остальных;
2. умножение, так как при реализации данной операции используется только сложение, то для студента не составит труда найти ошибку в алгоритме, зная, что операция сложения работает верно;
3. вычисление остатка от деления, так как при реализации данной операции используется битовый сдвиг, сложение и вычитание;
4. возведение в квадрат, так как при реализации данной операции используются операции сложения и умножения;
5. возведение в степень следует проверять последним, так как при реализации данной операции используются почти все предыдущие проверяемые операции.
Пример тестовых данных приведен в следующей таблице.
| a | b | a+b | a*b | a mod b | a2
|
ab
|
| 0 51 | 0 7 | 0 58 | 0 357 | 0 2 | 0 2601 | 0 897410677851 |
| 0 78 | 0 5 | 0 83 | 0 390 | 0 3 | 0 6084 | 0 2887174368 |
| 0 36 | 0 4 | 0 40 | 0 144 | 0 0 | 0 1296 | 0 1679616 |
| 0 21 | 0 10 | 0 31 | 0 210 | 0 1 | 0 441 | 0 16679880978201 |
| 0 5 | 0 12 | 0 18 | 0 60 | 0 5 | 0 25 | 0 244140625 |
Числа a и b подаются в программу, реализованную студентом, на вход, а данные в колонках «a+b», «a*b», «amodb», «a2
», «ab
» это результаты которые должна вернуть программа при данных операциях (т.е. на основе этих данных студент делает вывод о корректности, реализованной им операции). Следует отметить, что в таблице числа записаны «0 210» это следует понимать как старшую и младшую часть числа.
Также следует реализованные операции проверять сначала на данных из таблицы с малыми значениями (64 бита), при успешном результате следует проверить на данных из второй таблицы(128 бит).
Тесты для самопроверки для раздела «Вероятностные тесты на простоту» представляют собой таблицы, в которых указаны входные данные и реакция теста на эти входные данные (то есть число определяется как простое или как составное). Перед тем как использовать таблицы по назначению, следует установить количество итераций теста равным одному. Также следует отметить, что проверяемое число следует проверять тестом не менее десяти раз и результат проверки сверять с данными из таблицы. Это обусловлено тем, что данные тесты всегда простое число принимает за простое, но каждый тест может принять составное число за простое (при использовании некоторых случайных оснований чисел). Поэтому если мы будем проверять составные числа тестом, то иногда результат будет «простое» но чаще «составное». Стоит отметить, что для теста Ферма существует класс чисел Кармайкла, которые являются составными, но всегда принимаются за «простые». Такие числа также внесены в таблицу для самопроверки.
| Числа для проверки | Результат теста | |
| Простые числа | 0 8363 0 1657 0 9781 |
Всегда «простое» |
| Числа Кармайкла | 0 1105 0 2465 |
Для теста Ферма -Всегда «простое», для тестов Миллера-Рабина и Соловея-Штрассена- чаще «составное»,чем «простое» |
| Составные, нечетные, не Кармайкла | 0 625 0 791 0 3871 |
Чаще «составное»,чем «простое» |
Всего в пособии насчитывается 30 наборов.
Тесты для самопроверки для раздела «Доказуемо простые числа» представляют собой таблицы, в которых указаны входные данные и реакция теста на эти входные данные. Для тестов Миллера и Поклингтона проверка проводиться в два этапа первый этап заключается в проверке данных тестов таблицей составных чисел, второй проверкой таблицей ориентированной на каждый из тестов. (Стоит отметить, что перед проверкой следует установить значение параметра надежности равным единицы).
Таблица составных чисел:
| Числа для проверки (p) | Разложение p-1 | Разложение F | R | Результат теста |
0 335 0 437 0 657 0 779 |
2*167 22
24
2*389 |
167 109 41 389 |
2 4 16 2 |
Всегда отвергаются |
Тест Миллера:
Простое число p |
Разложение (p-1) |
Вероятность ошибки (вероятность того, что число будет принято за составное) |
| 13 | 22
*3 |
0,66666 |
| 29 | 2*2*7 | 0,57142 |
| 61 | 2*2*3*5 | 0,73333 |
| 97 | 25
*3 |
0,66666 |
Тест Поклингтона:
Простое число p |
Разложение F | R | Вероятность ошибки (вероятность того, что число будет принято за составное) |
| 13 | 2*2 | 3 | 0,5 |
| 29 | 7 | 4 | 0,14285 |
| 61 | 3*5 | 4 | 0,46666 |
| 97 | 3*22
|
8 | 0,66666 |
| 157 | 13 | 8 | 0,125 |
Всего в пособии более 30 тестовых примеров на каждый из тестов.
Для процедуры генерации чисел заданной длинны ГОСТ 31.10-94 предусмотрена отдельная таблица, в которой входными данными являются числа q и t а результатом является построенное число p (Стоит отметить, что перед проверкой следует установить значение параметра ξ равным 0).
Процедура генерации чисел заданной длинны ГОСТ 31.10-94:
| q | t | Построенное число p |
| 3 | 4 | 13 |
| 5 | 6 | 41 |
| 7 | 5 | 29 |
| 5 | 5 | 31 |
| 11 | 7 | 67 |
| 11 | 8 | 199 |
| 13 | 7 | 79 |
Всего в пособии насчитывается 20 наборов.
Глава 2. Апробация методического пособия
В 2007-2008 учебном году данное методическое пособие впервые было предложено студентам 4 курса специальности «Компьютерная безопасность» групп 347 и 347 Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета для выполнения лабораторных работ по дисциплине «Криптографические методы защиты информации». Данный эксперимент проходил по следующей схеме: студенту предлагалось выполнить лабораторные работы из методического пособия, после того как он прослушал материал на лекционных занятиях. Лабораторные работы, разработанные для дисциплины «Криптографические методы защиты информации», предполагают реализацию алгоритмов на каком-либо языке программирования. После анализа программных кодов студенческих лабораторных работ, нами была собраны статистические данные по ошибкам допущенных студентами. На основе этих данных мы попытались выдвинуть гипотезы о причинах возникновения ошибок.
Во время проведения данного эксперимента, проанализировав первые, полученные нами программные коды, мы выяснили, что студенты затрудняются в реализации класса больших чисел, что послужило поводом добавить материал по данной теме в пособие, оформленный в виде главы, озаглавленной «Операции с большими числами».
Нами были доработаны некоторые иллюстрации к алгоритмам 1й главы («Операции с большими числами»), которые позволяют студенту сформировать более точное представление о механизмах протекающих «внутри» алгоритма.
Для улучшения качества восприятия студентом материала, изложенного в методическом пособии, нами были добавлены комментарии к алгоритмам и методам, в частности, достаточно подробно был описан алгоритм сложения двух больших чисел, так как данный алгоритма используется при реализации других алгоритмов, описанных в первой главе, именно поэтому он является первым алгоритмом раздела
. Были переработаны и переформулированы некоторые задания к лабораторным работам, для того чтобы обеспечить лучшее понимание студентом сути задания и облегчить проверку их преподавателю.
По завершении апробации методического пособия в Тюменском государственном университете методическое пособие сильно изменилось в плане подачи материала, но основная концепция была сохранена. В основном изменения коснулись заданий лабораторных работ, наполнения глав теоретическим материалом. При анализе результатов мы основывались на предположении, что студенты выполняли лабораторные работы самостоятельно, используя для достижения цели только материалы лекционных занятий и материалы, изложенные в методическом пособии. Для получения более адекватных данных об эффективности методического пособия было принято решение провести еще одну апробацию в одном из ВУЗов города Тюмени. Для апробации пособия была выбрана ГОУ ВПО Тюменская государственная академия экономики, управления и права специальность прикладная «информатика в экономике». Наш выбор был обусловлен тем, что данная специальность в своем учебном плане имеет дисциплины, а именно «Информационная безопасность», схожие с дисциплинами учебного плана ТюмГУ ИМиКН специальности «Компьютерная безопасность», а именно «Криптографические методы защиты информации». Методическое пособие было предложено студентам 5го курса специальности «Прикладная информатика в экономике» Тюменской государственной академии экономики, управления и права.
Данная апробация была проведена в рамках преддипломной практики в период с сентября по декабрь 2008 года. Апробация проводилась по уже отлаженной схеме, которая ранее применялась в Тюменском государственном университете. В результате апробации были внесены следующие изменения в методическом пособии:
Было принято решение разработать тестовые задания для проверки работы алгоритмов, реализованных студентами. Данные тестовые задания представляют из себя наборы тестовых данных, используя которые студент может оценить правильность работы реализованного им алгоритма. В качестве примера таких тестовых данных приведем данные, предложенные студенту в главе «Вероятностные тесты на простоту» к тесту Ферма. Тестовые данные оформлены в виде таблицы. В первой колонке данной таблицы присутствует описание чисел, которые представлены во второй колонки. В третьей колонке представлен результат теста при проверки чисел из второй колонки.
2.1 Апробация в Тюменском государственном университете
Первая апробация методического пособия проходила в апреле 2008 года в институте Математики и компьютерных наук ТюмГУ на специальности «Компьютерная безопасность» (группы 347, 348) в рамках курса «Криптографические методы защиты информации». К моменту апробации пособие содержало только два раздела: вероятностные тесты на простоту» и «Доказуемо простые числа». Каждый раздел содержал теоретический материал по данному разделу, а именно описание алгоритмов тестов на простоту и задания для выполнения к каждому разделу. Студентам двух групп (347 и 348 группа) на протяжении двух лабораторных занятий (4 учебных часа) давались задания из второго и третьего разделов методического пособия. При выполнении этих заданий студенты пользовались лекционным материалом и теоретическим материалом из методического пособия. Задания выполнялись ими в аудитории под руководством преподавателя, а также во время, отведенное для самостоятельной работы.
Результаты сдавались в виде таблиц, приведенных в заданиях к лабораторным работам. Кроме того, для проверки и анализа были собраны исходные коды программ, реализованных студентами.
Кроме того, студенты были опрошены на предмет того, какие моменты в реализации алгоритмов генерации простых чисел вызывали затруднение. Оказалось, что 7 из 11-ти человек, выполнявших генерацию простых чисел с помощью теста Соловея-Штрассена, затруднялись в исполнении программной реализации вычисления символа Якоби, который используется в данном тесте. Это тем более неожиданно, что большинство студентов достаточно уверенно вычисляют подобные символы самостоятельно (при помощи ручки и бумаги). Поэтому было решено включить в текст пособия алгоритм вычисления символа Якоби. 6 из 11-ти студентов, реализовывавших тест Миллера-Рабина, заявили о необходимости примера в тексте пособия, демонстрирующего работу алгоритма. Такой пример был добавлен в пособие.
Студенты, выполнявшие задания по генерации простых чисел при помощи тестов Миллера и Поклингтона (1-й и 2-й варианты), затруднялись в построении числа p – кандидата в простые числа. Дело в том, что число p должно быть случайным, нечетным, и при этом каноническое разложение числа (p—1) должно быть известно. 18 из 22-х студентов, выполнявших 1-й и 2-й варианты, заявили о необходимости осветить в тексте пособия вопрос создания такого числа подробнее. Поэтому в текст пособия были включены инструкции по генерации таких чисел.
Кроме того, анализ текстов программ показал, что общим местом является неоптимальное выполнение арифметических операций на больших числах, которые используются в тестах. В частности, алгоритм возведения в степень у 19 из 33 студентов был реализован через последовательное умножение. Небольшое количество студентов (5 чел.) обращались к преподавателю за помощью, поскольку при возведении числа в степень по модулю (ak
modn) получали переполнение буфера. Оказалось, что все эти студенты пытались сначала возвести число в степень, и лишь затем вычислить остаток от деления на n. Такого рода ошибки, возникающие из-за недопонимания процессов, происходящих в памяти компьютера при выполнении арифметических операций, встречались достаточно часто, что послужило побудительным мотивом к включению в пособие раздела «Операции с большими числами», включающего в себя теоретический материал, задания к лабораторным работам.
В целом, апробация пособия в ТюмГУ прошла успешно, студенты справились с предложенными им заданиями, в текст пособия были внесены необходимые изменения, несколько изменилась подача материала.
2.2 Апробация в Тюменской государственной академии экономики, управления и права
Апробация пособия в ТГФЭУП проводилась в рамках преддипломной практики в период с сентября по декабрь 2008 года. На апробацию пособия руководством вуза было выделено 10 часов аудиторной нагрузки. В апробации участвовали студенты пятого курса специальности «Прикладная информатика в экономике». Дисциплина «Криптографические методы защиты информации» не является профильной на данной специальности, а выступает в качестве специального курса. На момент апробации методическое пособие содержало три главы: «Операции с большими числами», «Вероятностные тесты на простоту», «Доказуемо простые числа» также задания для лабораторных и самостоятельных работ.
Апробация проводилась по той же схеме что и в ТюмГУ. Студентам двух групп на протяжении двух занятий преподавателем было предложено выполнить первую лабораторную работу, т.е. реализовать класс для работы со 128битными числами. Изначально преподаватель объяснил студентам общетеоретический материал касающейся данной темы и реализовал совместно с ними операцию сложения, а остальные операции было предложено реализовать самостоятельно. В ходе эксперимента выяснилось, что студенты имеют слабое представление о представлении чисел в памяти компьютера, что в свою очередь потребовало дополнительных объяснений. Несмотря на то, что операцию сложения студенты делали под руководством преподавателя, довольно распространенной ошибкой стала ошибка связная с битом переноса. У студентов данной специальности отсутствует в программе дисциплина «Теория чисел», поэтому перед тем как приступить к заданиям второй главы преподавателю пришлось прочитать лекцию (в частности о практическом применении Асимптотического закона распределения, вычислении символа Якоби и символа Лежандра и.т.д.). Несмотря на то что студентов ознакомили с теоретическим материалом непосредственно перед выполнением лабораторной работы студенты затруднялись в применении асимптотического закона при генерации простых чисел. В результате анализа лабораторных работ второй главы встречались разнообразные ошибки, но данные ошибки были настолько разные, что не представлялось возможным обледенить их в общие группы. Несмотря на то, что на апробацию пособия руководством вуза было выделено 10 часов, нам не удалось апробировать третью главу пособия, это связано с тем, что преподавателю приходилось отклоняться от темы работы и объяснять сопутствующий материал из других дисциплин. В целом апробация прошла успешно, в пособие были внесены некоторые корректировки. Также было принято решение включить в пособие тесты для самопроверки для каждой из глав, что позволило бы студенту проверять правильность выполненных им работ без участия преподавателя.
Заключение
Результатом данной дипломной работы является методическое пособие довольно полно и подробно освещающее тему генерации больших простых чисел. Поставленная цель - разработать методическое пособие на тему «Генерация простых чисел» для специальности «Компьютерная безопасность» Тюменского государственного университета, включающее в себя теоретический материал, задания к практическим работам, указания к их выполнению и материалы для проверки качества выполненных заданий, достигнута в полном объеме.
Материал, изложенный в пособии, является вполне достаточным для выполнения работ, поскольку все необходимые алгоритмы описаны и приведены примеры. Материал изложен не в общетеоретическом вида, а в виде инструкций и алгоритмов, что позволяет студенту выполнять лабораторные работы, не обращаясь к другим источникам литературы.
Данное пособие подходит как для контактного аудиторного обучения, так и для внеаудиторного обучения, что придает ему некоторую гибкость, т.е. оно может использоваться не только на специальностях, на которых «Криптографические методы защиты информации» является обязательной дисциплиной с выделенном аудиторным временем, но и для специальностей, где данная дисциплина изучается в рамках специализированного курса. Также данное пособие может выступать в качестве дополнительной литературы при освоении данной темы студентами других специальностей (таких как специальность «математика»). Поскольку оно позволяет не только дистанционно обучаться, но и позволяет преподавателю дистанционно проверять задания, выполненные студентом (это достигается путем использования таблиц результатов). Кроме того, данные для самопроверки позволяют студенту проверить корректность выполненных им работ без участия преподавателя.
В результате прочтения студентом теоретической части, изложенной в пособии, студент должен получить следующие знания:
· знание об основных принципах создания класса больших чисел и работы с ним;
· знание о способах получения простых чисел;
· знание о теоретико-числовых принципах, на которых основаны тесты на простоту;
· знание об асимптотическом законе распределения простых чисел;
· знание о надежности тестов, об их быстродействии;
· знания о том, что не все числа определенные детерминистическими тестам как составные на самом деле таковыми являются;
· представление о различии вероятностных и детерминистических тестов на простоту (студент будет иметь четкое представление о том, что при реализации детерминистических тестов он строит число, простота которого не вызывает сомнений).
В результате выполнения комплекса заданий, предложенных в методическом пособии, студент должен получить следующие умения и навыки:
· навыки реализации и использования класса больших чисел;
· навыки реализации и практического применения вероятностных тесов на простоту;
· навыки практического применения асимптотического закона распределения;
· навыки реализации вероятностных тестов на простоту;
· умение рассчитывать необходимое количество итераций теста для достижения заданной вероятности ошибки (если студенту представиться возможность, применимо к конкретной задачи, столкнуться с реализацией тестов на простоту, то он самостоятельно сможет рассчитать необходимое количество итераций);
· навыки реализации алгоритмов для построения доказуемо простых чисел.
Данное пособие позволяет студенту изучить теоретическую часть, выполнить задания для лабораторных работ и проверить свою работу на тестовых примерах. Данное пособие изначально ориентировано на использование при аудиторной работе и для самостоятельной работы студентов дневного отделения, однако оно может быть использовано и при дистанционном обучении, поскольку содержит материал, необходимый на всех этапах выполнения самостоятельной работы при изучении темы «генерация больших простых чисел». А именно: краткое изложение теории, задания для выполнения, подробное руководство к выполнению заданий и наборы тестовых данных для самостоятельной проверки корректности реализованных программ.
Список литературы
1. Агибалов Г.П. Избранные теоремы начального курса криптографии: Учебное пособие. – Томск: Изд-во НТЛ, 2005. – 116 с.
2. Алферов А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черемушкин А.В. Основы криптографии: Учебное пособие. – М.: Гелиос АРВ, 2002. – 480 с.
3. Введение в криптографию/Под общей ред. В.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 1998. – 272 с.
4. Виноградов И. М. Основы теории чисел. – М.: Наука, 1972. – 402 с.
5. Молдовян Н.А., Молдовян А.А. Введение в криптосистемы с открытым ключом. – СПб.: БХВ-Петербург, 2005. 288 с.: ил.
6. Молдовян А.А., Молдовян Н.А., Советов Б.Я. Криптография. – СПб.: Изд-во «Лань», 2001. – 224с.
7. Рябко Б.Я., Фионов А.Н. Криптографические методы защиты информации: учебное пособие для вузов. – М.: Горячая линия–Телеком, 2005. – 229 с.: ил.
8. Черемушкин А.В. Вычисления в алгебре и теории чисел. Курс лекций. — М.: 2002.
9. Шнайер Б. Прикладная криптография: Протоколы, алгоритмы, исходные тексты на языке Cи. – М.: Издательство ТРИУМФ, 2003 – 816 с., ил.
10. Goldwasser S., Bellare M. Lecture notes on cryptography. – Cambridge, Massachusetts, 2001. – 283 p.
11. Grundbegriffe der Kryptographie/ Vorlesungsscript von Eike Best - Oldenburg, 2005.
12. Menezes A., van Oorschot P., Vanstone S. Handbook of Applied Cryptography. – CRC Press, 1996. – 661 p.
13. Анохин М.И., Варновский Н.П., Сидельников В.М., Ященко В.В. Криптография в банковском деле. http://geo.com.ru/db/msg.html?mid=1161287&uri=all.html
14. ГОСТ Р34.10-94. Информационная технология. Криптографическая защита информации. Процедуры выработки и проверки электронной цифровой подписи на базе ассиметричного криптографического алгоритма.
15. Баричев С.Г., Гончаров В.В., Серов Р.Е. Основы современной криптографии. Учебное пособие для ВУЗов – М.: Горячая линия – Телеком, 2002 – 175с.
16. Саломаа А., Криптография с открытым ключом.- М.:Мир, 1995