Задание №
1
Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится:
а)
ни на два, ни на три;
б)
на два или на три?
Решение:
Пусть А – событие, что натуральное число делится на 2→ p(A)=1/2 (каждое второе натуральное число кратно 2)
В-событие, что натуральное число делится на 3
p(В)=1/3 (каждое третье натуральное число кратно 3)
а)
С – событие, что наудачу взятое натуральное число не делится ни на два, ни на три
Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей
Тогда вероятность события С:
Т.е. пять из шести натуральных чисел не делится ни на 2 ни на 3
б)
D– событие, что наудачу взятое натуральное число не делится на 2 или на 3 .
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий
Тогда вероятность события D:
.
Т.е. одно из трех натуральных чисел не делится на 2 или на 3
Задание №2
В ружейной пирамиде имеются винтовки двух систем: одна винтовка типа 1 и две винтовки типа 2. Вероятность попасть в мишень при выстреле из винтовки типа 1 равна р1,
из винтовки типа 2 – р2.
Стрелок производит 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки. Чему равна вероятность того, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз?
Решение:
А – событие, что поражена мишень
Пусть событие Н1 – винтовка I типа; событие Н2 – винтовка II типа.
и
А/Н1 – мишень поражена при выстреле из винтовки I типа
А/Н2 – мишень поражена при выстреле из винтовки II типа
Для нахождения вероятности применяют формулу
2. Р
n
(k
) – вероятность, что в n
испытаниях событие наступит k
раз находится по формуле Бернулли .
Вероятность события, что мишень окажется поражённой не менее пяти раз, если произведено 7 выстрелов из наудачу взятой винтовки.
Задание №
3
При измерении урожайности картофеля вес клубней в одном кусте распределился по интервалам следующим образом:
| Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
| К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Построить гистограмму и найти средний вес одного куста.
Решение:
Гистограмма – служит для изображения интервальных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака , и высотами, равными частотам интервалов.
Для расчета среднего веса одного куста воспользуемся формулой средней арифметической.
Средней арифметической дискретного вариационного ряда называется отношение суммы произведений вариантов на соответствующие частоты к объему совокупности:
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.
Для каждого интервала найдем середины по формуле .
| Х(кг) | 2,5–2,7 | 2,7–2,9 | 2,9–3,1 | 3,1–3,3 | 3,3–3,5 | 3,5–3,7 | 3,7–4,3 |
| 2,6 | 2,8 | 3 | 3,2 | 3,4 | 3,6 | 4 | |
| К-во кустов | 50 | 150 | 200 | 250 | 150 | 100 | 100 |
Ответ
: средний вес одного куста составляет 3,22 кг.
Задание №
4
По следующим данным построить интервальный вариационный ряд и гистограмму: 24, 14, 15, 26, 16, 17, 14, 15, 1, 11, 14, 12, 16, 17, 13, 10, 11, 12, 13, 15, 14, 10, 11, 14, 7, 15, 14, 15, 15, 14, 15, 14, 2, 5, 18, 19, 16, 17, 9, 10, 18, 19, 20, 22, 28.
Найти среднее значение, дисперсию и стандартное отклонение.
Решение:
1. Проранжируем[1]
исходный ряд, подсчитаем частоту вариантов. Получим вариационный ряд
2. Для определения числа групп воспользуемся формулой Стерджесса
:
n = 1+3,322 * lgN
где n – число групп, N =45 – число единиц совокупности
Для данных задачи n
= 1 + 3,322*lg 45 = 1 + 3,322 * 1,65 = 6б49 » 6 групп
Величина интервала представляет собой разность между максимальным и минимальным значением признака в каждой группе.
3. Выполним промежуточные вычисления во вспомогательной таблице и определим значения числовых характеристик:
Середины интервалов
Средняя арифметическая
где - варианты дискретного ряда или середины интервалов вариационного ряда, - соответствующие им частоты.
Дисперсия
.
Среднее квадратическое отклонение
.
| № | Значения
|
№ группы | Интервалы | Частота | |
| 1 | 1
|
нач
|
кон
|
||
| 2 | 2
|
1 | 1,0 | 5,5 | 3
|
| 3 | 5
|
2 | 5,5 | 10,0 | 5
|
| 4 | 7
|
3 | 10,0 | 14,5 | 15
|
| 5 | 9
|
4 | 14,5 | 19,0 | 17
|
| 6 | 10
|
5 | 19,0 | 23,5 | 2
|
| 7 | 10
|
6 | 23,5 | 28,0 | 3
|
| 8 | 10
|
||||
| 9 | 11
|
||||
| 10 | 11
|
||||
| 11 | 11
|
||||
| 12 | 12
|
||||
| 13 | 12
|
||||
| 14 | 13
|
||||
| 15 | 13
|
||||
| 16 | 14
|
||||
| 17 | 14
|
||||
| 18 | 14
|
||||
| 19 | 14
|
||||
| 20 | 14
|
||||
| 21 | 14
|
||||
| 22 | 14
|
||||
| 23 | 14
|
||||
| 24 | 15
|
||||
| 25 | 15
|
||||
| 26 | 15
|
||||
| 27 | 15
|
||||
| 28 | 15
|
||||
| 29 | 15
|
||||
| 30 | 15
|
||||
| 31 | 16
|
||||
| 32 | 16
|
||||
| 33 | 16
|
||||
| 34 | 17
|
||||
| 35 | 17
|
||||
| 36 | 17
|
||||
| 37 | 18
|
||||
| 38 | 18
|
||||
| 39 | 19
|
||||
| 40 | 19
|
||||
| 41 | 20
|
||||
| 42 | 22
|
x min
|
1
|
||
| 43 | 24
|
x max
|
28
|
||
| 44 | 26
|
h
|
4,5
|
||
| 45 | 28
|
||||
| № группы | Интервалы | Частота | Промежуточные вычисления
|
|||||
| нач
|
кон
|
сер
|
ni
|
xcp
*ni |
(x-Xcp)
|
(x-Xcp)2
|
ni*
(x-Xcp)2 |
|
| 1 | 1,0 | 5,5 | 3,25 | 3
|
9,75 | -10,9 | 118,81 | 356,43 |
| 2 | 5,5 | 10,0 | 7,75 | 5
|
38,75 | -6,4 | 40,96 | 204,80 |
| 3 | 10,0 | 14,5 | 12,25 | 15
|
183,75 | -1,9 | 3,61 | 54,15 |
| 4 | 14,5 | 19,0 | 16,75 | 17
|
284,75 | 2,6 | 6,76 | 114,92 |
| 5 | 19,0 | 23,5 | 21,25 | 2
|
42,50 | 7,1 | 50,41 | 100,82 |
| 6 | 23,5 | 28,0 | 25,75 | 3
|
77,25 | 11,6 | 134,56 | 403,68 |
|
|
45 | 636,75 |
|
1234,80
|
||||
| 14,15 | S2
|
27,44
|
||||||
| | 5,24
|
|||||||
Среднее значение
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение
Ответ
:, ,
Задание №
5
Некоторая случайная величина подчиняется закону нормального распределения с математическим ожиданием 50 и дисперсией 36. Найти вероятность того, что отдельное значение случайной величины заключено в интервале от 40 до 60.
Решение:
Пусть X – случайная величина подчиняется закону нормального распределения
По условию и
Найти
:
Для нормального распределения СВ X
где Ф(Х) – функция Лапласа, дифференциальная функция нормального закона имеет вид .
Значения Ф(Х) – табулированы
Ответ
:
Задание №6
Определить вероятность того, что истинное значение расстояния отличается от среднего (1000 м), полученного в 100 опытах, не более, чем на 5 м, если стандартное отклонение 25 м.
Решение:
Пусть X – случайная величина расстояния, м
По условию
Найти
:
Ответ
:
Задание №7
При измерении дальности расстояния дальномеры дали различные показания так, что среднее расстояние оказалось 1000 м с выборочной дисперсией 36 м2
. В каких пределах находится истинное расстояние с вероятностью 80%, если произведено 11 измерений.
Решение:
По условию задана выборка объемом и дисперсия нормально распределенной СВ X 36. Найдено выборочное среднее . Требуется найти доверительный интервал для неизвестного математического ожидания , если доверительная вероятность должна быть равна
1. Доверительный интервал имеет общий вид
2. По условию
находим из решения уравнения
→ →
используя таблицу значений функции Лапласа
3. Находим значения концов доверительного интервала
.
.
Т.о., искомый доверительный интервал , т.е.
Ответ
:
Задание №8
При определении массы пяти таблеток лекарственного вещества получены следующие результаты: 0,148; 0,149; 0,151; 0,153; 0,155 (г). Найти ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80%.
Решение:
| xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| mi | 0,148 | 0,149 | 0,151 | 0,153 | 0,155 |
Вычислим ошибку в определении массы таблетки с вероятностью 80% по формуле: - предельная ошибка малой выборки.
Учитывая, что определим табулированные значения - критерия Стьюдента.
.
Таким образом,
.
Ответ
: Ошибка в определении массы таблетки с вероятностью 80% составляет 0,00088
Задание №
9
При изменении скорости реакции 2-х человек провели по сто опытов и получили следующие данные: Xср = 100 мс, дисперсия средних равна 9 мс2
, Yср = 110 мс, дисперсия средних равна 16 мс2
.
Проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий двух нормальных распределений для уровня значимости 0,02.
Решение:
Пусть - гипотеза, математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y равны.
При достаточно больших объемах выборки выборочные средние и имеют приближенно нормальный закон распределения с математическим ожиданием и дисперсией .
При выполнении гипотезы статистика
имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1)
По данным задачи
В случае конкурирующей гипотезы выбирают одностороннюю критическую область, и критическое значение статистики находят из условия
Т.о.
Табулированное значение
Если фактические наблюдаемое значение статистики t больше критического tкр
, определенного на уровне значимости a (по абсолютной величине), т.е. , то гипотеза отвергается, в противном случае – гипотеза не противоречит имеющимся наблюдениям.
Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение , то в силу условия →делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. математические ожидания двух нормальных распределений для случайных величин X и Y не равны.
Задание №10
Оцените достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10:
X |
60 | 65 | 66 | 70 | 64 |
| Y | 72 | 71 | 80 | 78 | 69 |
Решение:
Пусть - гипотеза, достоверность различия в продолжительности жизни мужчин и женщин на уровне значимости 0,10
Вычислим и
При выполнении гипотезы статистика .
где и
| X
|
60 | 65 | 66 | 70 | 64 | |
| Y
|
72 | 71 | 80 | 78 | 69 | |
| 25 | 0 | 1 | 25 | 1 | 52
|
|
| 4 | 9 | 36 | 16 | 25 | 90
|
|
| 13
|
||||||
| 22,5
|
Критическое значение статистики находят из условия .
Т.о. .
Табулированное значение .
Т.к. наблюдаемое значение статистики , а критическое значение то в силу условия делаем ввод, что гипотеза отвергается, т.е. достоверность различия продолжительности жизни мужчин (X) и женщин (Y) для уровня значимости 0,10 не подтверждается.
Задание №11
По данным наблюдений за последние 5 лет составили таблицу урожайности пшеницы и числа дождливых дней за вегетативный период:
| Ц/ га | 10 | 15 | 6 | 20 | 9 |
| Число дождливых дней | 14 | 20 | 6 | 20 | 10 |
Коррелируют ли данные величины?
Решение:
Для оценки тесноты корреляционной зависимости между величинами Y и X используется коэффициент корреляции – показатель тесноты линейной связи.
()
()
Свойства коэффициента корреляции:
1 0
Коэффициент корреляции удовлетворяет неравенству .
2 0
В зависимости от близости r к единице различают связь слабую, умеренную, заметную, достаточно тесную, тесную и весьма тесную
Оценка тесноты линейной связи(шкала Чаддока)
| Значение ½r
½ |
0–0,1
|
0,1–0,3
|
0,3–0,5
|
0,5–0,7
|
0,7–0,9
|
0,9–0,99
|
1
|
Теснота линейной связи |
Нет связи |
Слабая | Умеренная | Заметная | Высокая | Очень высокая | Функциональная |
| Значение R
|
Связь
|
Интерпретация связи
|
| R = 0 | Отсутствует | Отсутствует линейная связь между х и у |
| 0<R < 1 | Прямая | С увеличением х величина у в среднем увеличивается и наоборот |
| -1<R<0 | Обратная | С увеличением х величина у в среднем уменьшается и наоборот |
| R =+1 R = -1 | Функциональная | Каждому значению х соответствует одно строго определенное значение величины у и наоборот |
| Ц/га | Число дождливых дней | Промежуточные вычисления | |||
| № | Y
|
X
|
Y*X
|
Y2
|
X2
|
| 1
|
10 | 14 | 140 | 100 | 196 |
| 2
|
15 | 20 | 300 | 225 | 400 |
| 3
|
6 | 6 | 36 | 36 | 36 |
| 4
|
20 | 20 | 400 | 400 | 400 |
| 5
|
9 | 10 | 90 | 81 | 100 |
| S
|
60 | 70 | 966 | 842 | 1132 |
| Средние
|
12
|
14
|
193,2
|
168,4
|
226,4
|
| Sx
2 |
30,4
|
||||
| Sy2
|
24,4
|
||||
| Sx
|
5,51
|
||||
| Sy
|
4,94
|
||||
| r
|
0,925
|
||||
Таким образом, коэффициент корреляции r=0,925, следовательно, можно сделать вывод, что между двумя факторами присутствует связь прямая и очень тесная.
Ответ
: данные величины коррелируют.
Задание №12
По данным таблицы сделайте прогноз значения X, если Y = 3.
| X | 4 | 2 | 3 | 7 | 5 | 6 | 3 |
| Y | 2 | 7 | 4 | 6 | 5 | 2 | 1 |
Решение:
1. Определим и оценим тесноту корреляционной зависимости между величинами Y и X с помощью коэффициента корреляции .
| Промежуточные вычисления | Уравнение регрессии | |||||
| № | Y
|
X
|
Y*X
|
Y2
|
X2
|
|
| 1
|
2 | 4 | 8 | 4 | 16 | 3,853 |
| 2
|
7 | 2 | 14 | 49 | 4 | 3,824 |
| 3
|
4 | 3 | 12 | 16 | 9 | 3,838 |
| 4
|
6 | 7 | 42 | 36 | 49 | 3,897 |
| 5
|
5 | 5 | 25 | 25 | 25 | 3,868 |
| 6
|
2 | 6 | 12 | 4 | 36 | 3,882 |
| 7
|
1 | 3 | 3 | 1 | 9 | 3,838 |
| S
|
27
|
30
|
116
|
135
|
148
|
3,84
|
| Средние
|
3,86
|
4,29
|
16,57
|
19,29
|
21,14
|
|
| Sx
|
1,67
|
a
|
3,794
|
|||
| Sy
|
2,10
|
b
|
0,015
|
|||
| r
|
0,012
|
|||||
Коэффициент корреляции r=0,012, следовательно можно сделать вывод, что между двумя факторами связь прямая, но очень слабая (почти отсутствует).
Уравнение регрессии выбирают по возможности простым, и оно, как правило, лишь приближенно описывает зависимость между значениями x
одного признака и соответствующими средними значениями другого признака .
Наиболее простой и употребляемый вид зависимости – линейная зависимость. Она определяется уравнением линейной регрессии.
В рассматриваемом примере предположим, что эмпирическая линия регрессии приближается к прямой, и, следовательно, теоретическая линия регрессии может быть представлена уравнением вида: и изображается на графике в виде прямой регрессии. Уравнение регрессии называется выборочным, поскольку его параметры a
и b
находятся по результатам выборки (хi
, уi
), i
=1,2,… n
, причем наилучшим образом в смысле метода наименьших квадратов. Сущность метода заключается в том, чтобы была наименьшей сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уi
от соответствующих значений , вычисленных по уравнению регрессии, то есть
Для нахождения параметров а
и b
уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов. Для этого составим и решим систему линейных уравнений:
→
Решив систему уравнений, получим следующие значения параметров
a=3,794.
b=0,015.
Уравнение линейной регрессии .
Прогноз значения X, если Y = 3 при линейной зависимости
Список литературы
1. Адрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей./ Под ред. Проф. А.С. Солодовникова. – М.: Высшая школа, 2005.
2. Горелова Г.В. Теория вероятностей и математическая статистика в примерах и задачах с применением MSExcel. /Под ред. Г.В. Гореловой, И.А. Кацко. – Ростов н/Д: Феникс, 2006.
3. Информатика и математика для юристов. /Под ред. Проф. Х.А. Адриашина, проф. С.Я. Казанцева. – М.: Юнити-Дана, Закон и право, 2003
4. Ковбаса С.И., Ивановский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для экономистов. – СПб.: Альфа, 2001.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Основы статистики с элементами теории вероятностей для экономистов: Руководство для решения задач. – Ростов н/Д: Феникс, 1999 г. Информатика
7. Пехлецкий И.Д. Математика. / Под ред. И.Д. Пехлецкого. – М.: Издательский центр «Академия», 2003.
8. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.
9. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных чисел: Учебное пособие. /Под общ. Ред. А.А. Свешникова. – СПб: Издательство «Лань», 2007.
[1]
Ранжирование
– операция, заключенная в расположении значений признака по возрастанию