План
Задание 1
Задание 2
Задание 3
Задание 4
Задание 5
Задание 6
Задача 7
Задание 8
Литература
Задание 1
Мебельной фабрике для изготовления комплектов корпусной мебели необходимо изготовить их составные части - книжный шкаф, шифоньер, тумба для аппаратуры. Эти данные представлены в таблице:
| Наименование составных частей |
Виды комплектов корпусной мебели |
|||
| 1 |
2 |
3 |
4 |
|
| Книжный шкаф |
1 |
1 |
1 |
1 |
| Шифоньер |
1 |
1 |
1 |
1 |
| Пенал |
0 |
0 |
1 |
1 |
| Тумба |
0 |
1 |
0 |
1 |
В свою очередь, для изготовления этих составных частей необходимы три вида сырья - стекло (в кв. м), ДСП (в кв. м), ДВП (в кв. м), потребности в котором отражены в следующей таблице:
| Вид сырья |
Составные элементы |
|||
| Кн. шкаф |
Шифоньер |
Пенал |
Тумба |
|
| Стекло |
0,9 |
0 |
0,2 |
1,2 |
| ДСП |
6 |
6,5 |
6 |
2,5 |
| ДВП |
2,9 |
1,7 |
1,4 |
0,6 |
Требуется:
1) определить потребности в сырье для выполнения плана по изготовлению стенок первого, второго, третьего и четвертого вида в количестве соответственно x1
, x2,
x3
и x4
штук;
2) провести подсчеты для значений x1
= 50, x2
= 30, x3
= 120 и x4
=80.
Решение: составим условия для определения числа составных частей в зависимости от числа и вида комплектов мебели. Пусть n1
, n2
, n3
и n4
- число шкафов, шифоньеров, пеналов и тумб, соответственно.
Тогда условия будут выглядеть следующим образом:
n1
= x1
+ x2
n2
= x1
+ x2
+ x4
n3
= x1
+ x2
+ x3
n4
= x1
+ x2
+ x3
+ x4
Составим условия определяющие потребности в сырье в зависимости от вида деталей. Пусть y1
, y2
и y3
- потребности в стекле, ДВП и ДСП, соответственно:
y1
= 0,9n1
+ 0,2n3
+ 1,2n4
y2
= 6n1
+ 6,5n2
+ 6n3
+ 2,5n4
y3
= 2,9n1
+ 1,7n2
+ 1,4n3
+ 0,6n4
Теперь подставим вместо ni
- полученные ранее равенства.
y1
= 0,9· (x1
+ x2
) + 0,2· (x1
+ x2
+ x3
) + 1,2· (x1
+ x2
+ x3
+ x4
)
y2
= 6· (x1
+ x2
) + 6,5· (x1
+ x2
+ x4
) + 6· (x1
+ x2
+ x3
) + 2,5· (x1
+ x2
+ x3
+ x4
)
y3
= 2,9· (x1
+ x2
) + 1,7· (x1
+ x2
+ x4
) + 1,4· (x1
+ x2
+ x3
) + 0,6· (x1
+ x2
+ x3
+ x4
)
Приведем подобные
y1
= 2,3x1
+ 2,3x2
+ 1,4x3
+ 1,2x4,
y2
= 21x1
+ 21x2
+ 8,5x3
+ 9x4
y3
= 6,6x1
+ 6,6x2
+ 2x3
+ 2,3x4
Проведем подсчеты для значений
x1
= 50, x2
= 30, x3
= 120 и x4
= 80
y1
= 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y2
= 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y3
= 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Задание 2
Пусть aij
-
количество продукции j, произведенной предприятием i, а bi
-
стоимость всей продукции предприятия i исследуемой отрасли. Значения aij
и bi
заданы матрицами A и В соответственно. Требуется определить цену единицы продукции каждого вида, производимой предприятиями отрасли. В ходе выполнения задания необходимо составить систему уравнений, соответствующую условиям, и решить ее тремя способами (матричный метод, метод Крамера, метод Гаусса).
,
Решение:
Составим систему уравнений:
Матричное уравнение выглядит следующим образом:
A · X = B
Домножим слева каждую из частей уравнения на матрицу A-1
A-1
· A · X = A-1
· B;
E · X = A-1
· B;
X = A-1
· B
Найдем обратную матрицу A-1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
;
X =· = =
Решим систему методом Крамера
Δ = 374
Δ1
= = 97 * 12 * 4 + 129 * 7 * 13 + 14 * 7 * 109 - 109 * 12 * 7 - 129 * 14 * 4 - 97 * 7 * 13 = 1870
Δ2
= = 4 * 129 * 4 + 12 * 7 * 109 + 97 * 7 * 9 - 9 * 129 * 7 - 12 * 97 * 4 - 4 * 7 * 109 = 1496
Δ3
= = 4 * 12 * 109 + 12 * 97 * 13 + 14 * 129 * 9 - 9 * 12 * 97 - 12 * 14 * 109 - 4 * 129 * 13 = 1122
x1
= Δ1/
Δ = 1870/374 = 5, x2
= Δ2/
Δ = 1496/374 = 4
x3
= Δ3/
Δ = 1122/374 = 3
Решим систему методом Гаусса
=> =>
=>
=> =>
Задание 3
Найти частные производные первого и второго порядков заданной функции:
Решение:
Задание 4
Задана функция спроса , где p1
, p2
- цены на первый и второй товары соответственно.
Основываясь на свойствах функции спроса, определить: какой товар является исследуемым, а какой альтернативным и эластичность спроса по ценам исследуемого и альтернативного товаров.
В процессе решения отметить, какими являются данные товары - взаимозаменяемыми или взаимодополняемыми.
Решение:
Эластичность спроса по цене равна первой производной от функции спроса:
эластичность отрицательная, следовательно, первый товар - исследуемый.
эластичность отрицательная.
Товары являются товарами дополнителями, т.к рост цен на второй товар, как и рост цен на первый товар приводит к снижению спроса.
Задание 5
В таблице приведены данные о товарообороте магазина за прошедший год (по месяцам). Провести выравнивание данных по прямой с помощью метода наименьших квадратов. Воспользовавшись найденным уравнением прямой, сделать прогноз о величине товарооборота через полгода и год. Сопроводить задачу чертежом, на котором необходимо построить ломаную эмпирических данных и полученную прямую. Проанализировав чертеж, сделайте выводы.
| Месяц |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
| Товарооборот, (тыс. р) |
22 |
4,4 |
37 |
57,4 |
55,4 |
72 |
91,6 |
78,4 |
58 |
59 |
42 |
37,6 |
Решение:
Рассчитаем параметры уравнения линейной парной регрессии.
Для расчета параметров a и b уравнения линейной регрессии у = а + bx решим систему нормальных уравнений относительно а и b (она вытекает из метода наименьших квадратов):
По исходным данным рассчитываем Sх, Sу, Sух, Sх2
, Sу2
.
| t |
y |
x |
yx |
x2
|
y2
|
|
| 1 |
22,0 |
1 |
22,0 |
1 |
484,00 |
36,688 |
| 2 |
4,4 |
2 |
8,8 |
4 |
19,36 |
39,332 |
| 3 |
37,0 |
3 |
111,0 |
9 |
1369,00 |
41,976 |
| 4 |
57,4 |
4 |
229,6 |
16 |
3294,76 |
44,62 |
| 5 |
55,4 |
5 |
277,0 |
25 |
3069,16 |
47,264 |
| 6 |
72,0 |
6 |
432,0 |
36 |
5184,00 |
49,908 |
| 7 |
91,6 |
7 |
641,2 |
49 |
8390,56 |
52,552 |
| 8 |
78,4 |
8 |
627,2 |
64 |
6146,56 |
55, 196 |
| 9 |
58,0 |
9 |
522,0 |
81 |
3364,00 |
57,84 |
| 10 |
59,0 |
10 |
590,0 |
100 |
3481,00 |
60,484 |
| 11 |
42,0 |
11 |
462,0 |
121 |
1764,00 |
63,128 |
| 12 |
37,6 |
12 |
451,2 |
144 |
1413,76 |
65,772 |
| Итого |
614,8 |
78 |
4374 |
650 |
37980,16 |
614,76 |
; ; ;
;
Уравнение регрессии: = 34,06 + 2,642 · х
Рассчитаем по данному уравнению значения для и запишем их в дополнительный столбец исходных данных. Найдем прогноз на полгода вперед:
= 34,06 + 2,642 * 18 = 81,636 тыс. руб.
Найдем прогноз на год вперед:
= 34,06 + 2,642 * 24 = 97,5 тыс. руб.
Полученные графики говорят о плохом отражении исходных данных уравнением прямой. Возможно это связанно с наличием сезонности в товарообороте. Тогда прямая линия является уравнением тренда.
Задание 6
Исследовать на экстремум следующую функцию:
;
Решение:
Найдем первые частные производные и определим точки потенциальных экстремумов (там где производные равны нулю).
= 2x + y - 4; = 4y + x - 2;
; ; ; ;
Найдем вторые производные и их значения в точке (2; 0)
= 2 = А, = 1 = B
= 4 = C, Δ = AC - B2
= 2 * 4 - 1 = 7
Т.е. в точке (2; 0) имеется экстремум.
Т.к. А > 0, то точка (2; 0) минимум функции.
Задача 7
Пусть функция полезности задана как
где x и y - количество товаров А и В, приобретаемых потребителем, а значения функции полезности численно выражают меру удовлетворения покупателя. При данной стоимости единицы товаров А и В, общая сумма, выделяемая покупателем на их покупку, составляет 140 рублей. При каком количестве товаров А и В полезность для потребителя максимальна. А = 11, В = 17.
Решение:
Полезность максимальна при равенстве первых производных:
= ; = ; = ; =
Ограничение стоимости задается неравенством 11x + 17y ≤ 140
Составим систему.
; ; ;
Максимальная полезность будет достигнута при потреблении 4,46 ед. А и 5,35 ед.в.
Задание 8
Заданы функции спроса и предложения в зависимости от количества товара Q: и . Под функциями спроса и предложения будем понимать функциональную зависимость цены от количества товара на рынке. Определить излишки потребителя и излишки производителя при равновесном состоянии спроса и предложения.
и ,
Решение: найдем равновесное состояние спроса и предложения:
D (Q) = S (Q); = ; ; - t2
- 10t + 200 = 0
t1
= - 34,685 и t2
= 12,685, t1
- не удовлетворяет условию
=12,685; Q = 160,9 ед.
При этом цена составит: Р = 10 * 12,685 = 126,85 ден. ед.
Излишки потребителя равны площади фигуры ограниченной сверху кривой спроса, снизу равновесной ценой и слева нулевым выпуском. Найдем излишки потребителя:
Sпотр
= - 126,85 · 160,9 = - 20410,165 =
= 200 * 160,9 - 5/22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. ед.
Излишки производителя равны площади фигуры ограниченной сверху равновесной ценой, слева нулевым выпуском и снизу кривой предложения. Найдем излишки производителя:
Sпроизв
= 126,85 · 160,9 - = 20410,165 - =
= 20410,165 - 5 * 12,6853
= 10204,5 ден. ед.
Литература
1. Н.Ш. Кремер. Высшая математика для экономистов. - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум по высшей математике для экономистов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. И.А. Зайцев. Высшая математика. -М.: Высшая школа, 1998.
4. Математический анализ и линейная алгебра. Учебное методическое пособие. Под ред. Н.Ш. Кремера. - ВЗФЭИ, 2006.