Содержание
Задание № 1
Задание № 2
Задание № 3
Задание № 4
Задание № 5
Задание № 7
Задание № 8
Задача № 4
Задача № 5
Задача № 6
Список литературы
Задание № 1
3. б) Найти пределы функции:
Решение
Одна из основных теорем, на которой основано вычисление пределов:
Если существуют
и , то:
Следовательно:
Ответ: предел функции
Задание № 2
3. б) Найти производную функции:
Решение
Воспользуемся правилом дифференцирования сложных функций:
Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f.
Тогда
Применим это правило к заданной функции:
Ответ:
Задание № 3
3. Исследовать функцию и построить ее график:
Решение
1. Найдем область определения функции:
D(y)=R
2. Исследуем функцию на четность и нечетность, на периодичность.
Условие четности: f(x)=f(-x)
Условие нечетности: f(-x)=-f(x)
при x=1: y=0
при x=-1: y=-4
Условия не выполняются, следовательно, функция не является четной и нечетной.
Периодической называется такая функция, значения которой не изменяются при прибавлении к аргументу некоторого (отличного от нуля) числа – периода функции.
Функция
не периодична.
3. Найдем промежутки знакопостоянства, выясним поведение функции на концах промежутков.
y=0 при
;
Следовательно, имеем три промежутка:
Определим знак на каждом промежутке:
при x= -1 y=-4 < 0
при x= 0,5 y=0,125 > 0
при x= 2 y=2 > 0
Тогда: для
, для
Рассмотрим поведение функции на концах промежутков:
4. Найдем промежутки монотонности функции, ее экстремумы.
Найдем производную функции:
при
,
- точки экстремума, они делят область определения функции на три промежутка:
Исследуемая функция в промежутке
– возрастает
– убывает
- возрастает
5. Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.
Найдем вторую производную функции:
при - точка перегиба
Для
,
следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.
Для
,
следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.
6. По полученным данным построим график функции.
Рис. 3 График функции
Задание № 4
Найти интеграл:
3.
Решение
Неопределенным интегралом
функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:
F(x) + C.
Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:
Ответ: .
Задание № 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.
, , , .
Решение.
Построим график функции:
при х=-2: y = 12
при х=-1: y = 5
при х=0: y = 0
при х=1: y = -3
при х=2: y = -4
при х=3: y = -3
при х=4: y = 0
при х=5: y = 5
Рис. 1 График
Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:
Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:
кв. ед.
Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.
Задание № 7.
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:
, при
Решение
Общий вид дифференциального уравнения:
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.
Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши
.
Найдем общее решение или общий интеграл:
-
общее решение дифференциального уравнения
Найдем частное решение для при
Получаем:
Ответ: - любое число.
Задание № 8
Найти вероятность случайного события.
Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?
Решение.
Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.
..................................................................................................................
Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.
Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».
Тогда в соответствии с записанными выше фо
.
Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;
2. вероятность выпадения «шестерки» равна .
Методы вычислений и ЭВМ
Задача № 4.
Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:
| Схема решения |
Алгоритм |
Результат |
| 238200 – 100 % 50175 – х % |
|
21,064 % |
Задача № 5
Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.
Решение:
По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на
Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.
Тогда:
Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %
Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:
100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %
Задача № 6
Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.
| Табельный номер |
Часовая тарифная ставка, руб |
Отработано часов |
К оплате, руб |
| 03 |
6,6 |
165 |
|
| 04 |
8,8 |
72 |
|
| 05 |
7,5 |
216 |
Алгоритм решения на МК:
6,6 * 165 М+
8,8 * 72 М+
7,5 * 216 М+
16713 /
MR MR
* 1089 = М+
C C
633,6 = М+
1620 = М+ MR
C
Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:
1. Ввод названий граф документа:
| Адрес клетки |
Вводимая строка |
| А1 |
Табельный номер |
| А2 |
03 |
| А3 |
04 |
| А4 |
05 |
| В1 |
Начислено, руб. (всего) |
| С1 |
Часовая тарифная ставка, руб. |
| D1 |
Отработано часов |
| Е1 |
К оплате, руб. |
2. Ввод исходных данных:
| Адрес ячейки |
Исходные данные |
| В2 |
16713 |
| С2 |
6,6 |
| С3 |
8,8 |
| С4 |
7,5 |
| D2 |
165 |
| D3 |
72 |
| D4 |
216 |
3. Ввод расчетных формул:
| Адрес ячейки |
Исходные данные |
| F2 |
С2*D2 |
| F5 |
=СУММ(F2:F4) |
| E2 |
$B$2/$F$5*F2 |
| E5 |
=СУММ(Е2:Е4) |
4. Конечный результат:
| Табельный номер |
Начислено, руб. (всего) |
Часовая тарифная ставка, руб. |
Отработано часов, ч. |
К оплате, руб. |
Ставка, руб. |
| 03 |
16713 |
6,6 |
165 |
5445,00 |
1089,00 |
| 04 |
8,8 |
72 |
3168,00 |
633,60 |
|
| 05 |
7,5 |
216 |
8100,00 |
1620,00 |
|
| 16713,00 |
3342,60 |
Список литературы
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.
2. Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.
4. Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.
5. Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.