Задача 1.
В партии из 60 изделий 10 – бракованных. Определить вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными:
а) ровно 2 изделия;
б) не более 2 изделий.
Решение.
А)
Используя классическое определение вероятности:
Р(А) – вероятность события А, где А – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными ровно 2 изделия;
m – кол-во благоприятных исходов события А;
n – количество всех возможных исходов;
Б)
Р(А’) – вероятность события А’, где А’ – событие, когда среди выбранных наудачу изделий для проверки 5 изделий окажутся бракованными не более 2 изделий,
;
– кол-во благоприятных исходов события ;
– кол-во благоприятных исходов события ;
– кол-во благоприятных исходов события ;
n’ – количество всех возможных исходов;
Ответ: вероятность того, что среди выбранных наудачу для проверки 5 изделий окажутся бракованными: а) ровно 2 изделия равна 16%. б) не более 2 изделий равна 97%.
Задача 2.
В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. Определить вероятность попадания на сборку небракованной детали, если с каждого автомата в цех поступило соответственно 20, 10, 20 деталей.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где А – взятие хорошей детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия хорошей детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку небракованной детали.
; (т. к. ) = 1% = 0.01)
;
;
Ответ: Вероятность попадания на сборку небракованной детали равна 98%.
Задача 3.
В сборочный цех завода поступают детали с трех автоматов. Первый автомат дает 1% брака, второй – 2%, третий – 3%. С каждого автомата поступило на сборку соответственно 20, 10, 20 деталей. Взятая на сборку деталь оказалась бракованной. Найти вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата.
Решение.
По формуле полной вероятности:
где А’ – взятие бракованной детали, – взятие детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность взятия бракованной детали из первого (второго / третьего) автомата, – вероятность попадания на сборку бракованной детали.
; (согласно условию)
;
;
Согласно формуле Байеса:
Ответ: Вероятность того, что деталь поступила с 1-го автомата равна 20%.
Задача 4.
Рабочий обслуживает 18
станков. Вероятность выхода станка из строя за смену равна . Какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков? Каково наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену?
Решение.
Используя формулу Бернулли, вычислим, какова вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков:
где n – кол-во станков, m – кол-во станков, которые придётся чинить, p – вероятность выхода станка из строя за смену, q =1-р – вероятность, не выхождения станка из строя за смену.
.
Ответ: Вероятность того, что рабочему придется ремонтировать 5
станков равна 15%. Наивероятнейшее число станков, требующих ремонта за смену равно 3.
Задача 5.
В двух магазинах, продающих товары одного вида, товарооборот (в тыс. грн.) за 6 месяцев представлен в таблице. Можно ли считать, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором? Принять = 0,05.
Все промежуточные вычисления поместить в таблице.
| Магазин №1 |
Магазин №2 |
| 20,35 |
20,01 |
| 20,60 |
23,55 |
| 32,94 |
25,36 |
| 37,56 |
30,68 |
| 40,01 |
35,34 |
| 25,45 |
23,20 |
Пусть, a1
– товарооборот в 1 магазине, a2
– товарооборот во 2 магазине.
Формулируем гипотезы Н0
и Н1
:
Н0
: a1
= a2
Н1
: a1
≠ a2
| xi |
xi-a1 |
(xi-a1)2
|
yi |
yi-a2 |
(yi-a2)2
|
|
| 20,35 |
-9,135 |
83,44823 |
20,01 |
-6,35 |
40,32 |
|
| 20,6 |
-8,885 |
78,94323 |
23,55 |
-2,81 |
7,896 |
|
| 32,94 |
3,455 |
11,93703 |
25,36 |
-1 |
1 |
|
| 37,56 |
8,075 |
65,20563 |
30,68 |
18,66 |
||
| 40,01 |
10,525 |
110,7756 |
35,34 |
4,32 |
80,64 |
|
| 25,45 |
-4,035 |
16,28123 |
23,20 |
8,98 |
9,98 |
|
| ∑ |
176,91 |
366,591 |
158,14 |
-3,16 |
158,496 |
a1
= = = 29,485, a2
= =
1
= = 73.32
2
= =
n 1
= n 2
= n =6
Вычислю выборочное значение статистики:
ZВ
= * =
Пусть = 0,05. Определяем необходимый квантиль распределения Стьюдента: (n1
+n2
-2)= 2.228.
Следовательно, так как ZВ
=0,74 < =2,228, то мы не станем отвергать гипотезу Н0
, потому что это значит, что нет вероятности того, что товарооборот в первом магазине больше, чем во втором.
Задача 6.
По данному статистическому ряду:
1. Построить гистограмму частот.
2. Сформулировать гипотезу о виде распределения.
3. Найти оценки параметров распределения.
4. На уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о распределении случайной величины.
Все промежуточные вычисления помещать в соответствующие таблицы.
| Интервал |
Частота случайной величины |
| 1 – 2 |
5 |
| 2 – 3 |
8 |
| 3 – 4 |
19 |
| 4 – 5 |
42 |
| 5 – 6 |
68 |
| 6 -7 |
44 |
| 7 – 8 |
21 |
| 8 – 9 |
9 |
| 9 – 10 |
4 |
1. Гистограмма частот:
2. Предположим, что моя выборка статистического ряда имеет нормальное распределение.
3. Для оценки параметров распределения произведем предварительные расчеты, занесем их в таблицу:
| № |
Интервалы |
Частота, mi
|
Середина Интервала, xi
|
xi
|
xi
|
| 1 |
1–2 |
5 |
4,5 |
7,5 |
112,5 |
| 2 |
2–3 |
8 |
2,5 |
20 |
50 |
| 3 |
3–4 |
19 |
3,5 |
66,5 |
232,75 |
| 4 |
4–5 |
42 |
4,5 |
189 |
350,5 |
| 5 |
5–6 |
68 |
5,5 |
374 |
2057 |
| 6 |
6–7 |
44 |
6,5 |
286 |
1859 |
| 7 |
7–8 |
21 |
7,5 |
157,5 |
1181,25 |
| 8 |
8–9 |
9 |
8,5 |
76,5 |
650,25 |
| 9 |
9–10 |
4 |
9,5 |
38 |
361 |
| ∑ |
n=220 |
1215 |
7354,25 |
Найдем оценки параметров распределения:
= = 5,523
2
= 2
= 2,925
= = 1,71
4. все вычисления для проверки гипотезы о распределении занесем в таблицы.
| № |
Интервалы |
Частоты, mi |
t1
|
t2
|
Ф(t1
|
Ф(t2
|
pi
|
| 1 |
-∞ – 2 |
5 |
-∞ |
-2,06 |
0 |
0,0197 |
0,0197 |
| 2 |
2–3 |
8 |
-2,06 |
-1,47 |
0,0197 |
0,0708 |
0,0511 |
| 3 |
3–4 |
19 |
-1,47 |
-0,89 |
0,0708 |
0,1867 |
0,1159 |
| 4 |
4–5 |
42 |
-0,89 |
-0,31 |
0,1867 |
0,3783 |
0,1916 |
| 5 |
5–6 |
68 |
-0,31 |
0,28 |
0,3783 |
0,6103 |
0,232 |
| 6 |
6–7 |
44 |
0,28 |
0,86 |
0,6103 |
0,8051 |
0,1948 |
| 7 |
7–8 |
21 |
0,86 |
1,45 |
0,8051 |
0,9265 |
0,1214 |
| 8 |
8–9 |
9 |
1,45 |
2,03 |
0,9265 |
0,9788 |
0,0523 |
| 9 |
9-∞ |
4 |
2,03 |
∞ |
0,9788 |
1 |
0,0212 |
Где: t1
= , t2 =
, ai
, bi
– границы интервала, Ф(t) – Функция распределения нормального закона.
pi
= Ф(t2
) – Ф(t1
)
Так как проверка гипотезы о распределении производится по критерию , составляем еще одну таблицу для вычислений:
| № интервала |
pi
|
mi |
n* pi
|
|
| 1 2 |
0,0708 |
13 |
15,57 |
0,4242 |
| 3 |
0,1159 |
19 |
25,5 |
1,6569 |
| 4 |
0,1916 |
42 |
42,15 |
0,0005 |
| 5 |
0,232 |
68 |
51,04 |
5,6336 |
| 6 |
0,1948 |
44 |
42,86 |
0,0303 |
| 7 |
0,1214 |
21 |
26,71 |
1,2207 |
| 8 9 |
0,0735 |
13 |
16,17 |
0,6214 |
| ∑ |
9,5876 |
Согласно расчетам, = = 9,5876
Выбираем уровень значимости = 0,05 и вычисляем 1-α
(k-r-1), где k – число подмножеств, r – число параметров в распределении.
0,95
(7–2–1) = 0,95
(4) = 9,49.
Сравнив полученное значение с расчетным можно сделать вывод, что так как расчетное значение больше, следовательно, гипотеза о нормальном распределении выборки статистического ряда не принимается.
Задача 7.
По данным выборки вычислить:
а) выборочное значение коэффициента корреляции;
б) на уровне значимости = 0,05 проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.
Решение
Формулируем гипотезы Н0
и Н1
:
Н0
: a1
= a2
Н1
: a1
≠ a2
| xi |
xi-a1 |
(xi-a1)2
|
yi |
yi-a2 |
(yi-а2)2
|
xi*yi |
|
| 4,40 |
-0,476 |
0,2266 |
3,27 |
-0,47 |
0,2209 |
14,388 |
|
| 5,08 |
0,204 |
0,0416 |
4,15 |
0,41 |
0,1681 |
21,082 |
|
| 4,01 |
-0,866 |
0,7499 |
2,95 |
-0,79 |
0,6241 |
11,829 |
|
| 3,61 |
-1,266 |
1,6027 |
1,96 |
-1,78 |
3,1684 |
7,075 |
|
| 6,49 |
1,614 |
2,605 |
5,78 |
2,04 |
4,1616 |
37,512 |
|
| 4,23 |
-0,646 |
0,4173 |
3,06 |
-0,68 |
0,4824 |
12,944 |
|
| 5,79 |
0,914 |
0,8354 |
4,45 |
0,71 |
0,5041 |
25,765 |
|
| 5,52 |
0,644 |
0,4147 |
4,23 |
0,49 |
0,2401 |
23,349 |
|
| 4,68 |
-0,196 |
0,0384 |
3,54 |
-0,2 |
0,04 |
16,567 |
|
| 4,95 |
0,074 |
0,0055 |
4,01 |
0,27 |
0,0729 |
19,849 |
|
| ∑ |
48,76 |
- |
6,9371 |
37,4 |
- |
9,6626 |
190,36 |
a1
= = 4,876, a2
= = 3,74
1
= = 0,7708
2
= = 1,0736
n 1
= n 2
= n =6
а) Вычислим выборочное значение коэффициента корреляции
=
б) Проверим на уровне значимости =0,05 гипотезу о значимости коэффициента корреляции:
(n-2)=2,306
Вычислим величину
=
получаем, что >0.6319 т.е. попадает в критическую область, следовательно, коэффициент корреляции можно считать значимым.
Задача 8.
По данным выборки найти:
а) точечные оценки математического ожидания и дисперсии;
б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии.
| α |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
x10 |
| 0.01 |
3,85 |
8,87 |
21,26 |
6,72 |
0,29 |
15,48 |
7,48 |
0,33 |
0,34 |
1,37 |
Решение
а) Вычислим математическое ожидание и дисперсию. Промежуточные значения поместим в таблицу.
| xi
|
mi
|
mi
|
mi
|
| 3,85 |
1 |
3,85 |
14,822 |
| 8,87 |
1 |
8,87 |
78,677 |
| 21,26 |
1 |
21,26 |
451,987 |
| 6,72 |
1 |
6,72 |
45,158 |
| 0,29 |
1 |
0,29 |
0,0840 |
| 15,48 |
1 |
15,48 |
239,630 |
| 7,48 |
1 |
7,48 |
55,950 |
| 0,33 |
1 |
0,33 |
0,109 |
| 0,34 |
1 |
0,34 |
0,115 |
| 1,37 |
1 |
1,37 |
1,877 |
| ∑65,99 |
10 |
65,99 |
888,409 |
Математическое ожидание:
m==
Дисперсия:
δ2==
б) с доверительной вероятностью р =1- найти доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, считая, что выборка получена из нормальной совокупности.
Определим из таблиц значение , где ;
Доверительный интервал для математического ожидания имеет вид:
Подставив полученные значения, найдем доверительный интервал для математического ожидания:
0,271<M<12.927
Доверительный интервал для дисперсии имеет вид:
Доверительный интервал для дисперсии равен: 23,192<D<240,79.