Доказательство великой теоремы Ферма

Автор инженер-механик

Козий Николай Михайлович

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

Аn
+ Вn
= Сn
, (1)

где n- целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

Аn
= Сn
- Вn
(2)

Для доказательства великой теоремы Ферма предварительно докажем вспомогательную теорему (лемму).

ЛЕММА: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел:

Nn
= U2
– V2
(3)

Уравнение (3) рассматриваем как параметрическое с параметром Nn
и неизвестными переменными Uи V. Уравнение (3) запишем следующим образом:

Nn
= U2
– V2
= (U-V)∙(U+V) (4)

Пусть: U – V=M(5)

Тогда: U = V + M(6)

Из уравнений (4), (5) и (6) имеем:

Nn
=M∙ (V+M+V)=M∙(2V+M) = 2V∙M+M2
(7)

Из уравнения (7) имеем:

Nn
- M2
=2V∙M(8)

Отсюда: V = (9)

Из уравнений (6) и (9) имеем:

U=(10)

Из уравнений (9) и (10) следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является одинаковая четность чисел Nn
и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений (9) и (10) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа Uи Vбыли целыми, является делимость числа Nn
на число M , т. е.

число Mдолжно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа Nn
. Следовательно, должно быть:

Nn
=D·M(11)

где D - натуральное простое или составное число.

С помощью уравнений (9) и (10) определяются числа Uи V, удовлетворяющие условиям уравнения (3).

Отсюда следует:

Следствие 1-е: Любое натуральное число N>2 в любой степени равно разности квадратов двух натуральных чисел.

Следствие 2-е: Число N=2 в степени n≥3 равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Следствие 3-е: Любое составное натуральное число в любой степени равно разности квадратов одной пары или нескольких пар натуральных чисел:

Доказательство теоремы Ферма

С учетом доказанной леммы можно записать:

Nn
= Аn
= U2
– V2
(12)

Допустим,что великая теорема Ферма имеет решение в натуральных числах. Тогда с учетом уравнений (2) и (11) должны выполняться равенства:

Nn
= D·M =Аn
= Сn
- Вn
= U2
– V2
(13)

Вn
= V2
(14)

Cn
= U2
= (15)

В (16)

C (17)

В соответствии с формулами (13) и (14) число Вn
равно:

Вn
= (18)

Из уравнения (15) с учетом уравнения (13) следует:

Cn
= (19)

Из уравнений (18) и (19) имеем:

В (20)

C (21)

Если допустить, что в соответствии с уравнением (20) В – целое число, то из уравнения (21) с очевидностью следует, что C – дробное число.

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных (натуральных) числах.