КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
ВАРИАНТ 2.3
№ 1. Записать общее уравнение прямой, переходящей через точку М (-2, 4) перпендикулярно прямой x+2y+5=0. Найти площадь треугольника, образованного данной прямой с осями координат.
Запишем уравнение прямой в виде:
.
Коэффициент К найдем из условия перпендикулярности прямых:
Получим уравнение прямой:
Сделаем чертеж
| Ответ: |
№ 2. Записать общее уравнение прямой, проходящей точку М (-2, 2) и отсекающей от первого координатного угла треугольник площадью S= 4,5 кв.ед.
Сделаем схематический чертеж
Площадь треугольника будет равна .
Координаты точек А и В найдем из уравнения прямой, которое запишем в виде
Из уравнения
Получим прямую с угловым коэффициентом
Значение соответствует прямой, которая отсекает треугольник площадью S=4,5 от третьего координатного угла..
№ 3. Даны вершины треугольника А (2,1,0), В (3,-1,1) и С (1,2,-4). Записать общее уравнение плоскости, проходящей через сторону АВ перпендикулярно плоскости треугольника АВС.
Общее уравнение имеет вид:
Для нахождения A,B,C и D необходимо составить три уравнения.
Два уравнения получим из условия, что искомая плоскость проходит через точки А и В. Третье — из условия, что искомая плоскость перпендикулярна плоскости, проходящей через три точки А, В и С. условие перпендикулярности плоскостей:
Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки А, В, С по формуле:
Разложим определитель по первой строке, подготовив числовые значения:
Получим уравнение плоскости:
Запишем условие перпендикулярности плоскостей:
Условие, что искомая плоскость:
через точку А: ;
через точку В: .
Получим систему уравнений:
Складываем 2-е и 3-е уравнения: , 1-е уравнение умножаем на 2 и вычитаем из полученного:
Из 1-го уравнения: .
Из 3-го уравнения: . Принимаем , получаем
.
Уравнение плоскости имеет вид:
№ 4. Найти расстояние от точки до прямой .
Расстояние r найдем по формуле расстояния от точки до прямой, заданной уравнением в канонической форме:
№ 5. Найти длину отрезка, отсекаемого от оси ординат плоскостью, которая проходит через точку перпендикулярно вектору , где В — точка пересечения медиан треугольника, вершины которого совпадают с точками пересечения осей координат с плоскостью
Для нахождения решения найдем уравнение плоскости, которая проходит через точку А в заданном направлении и подставим в это уравнение значение .
Для этого вначале найдем координаты точки В.
Точку пересечения заданной плоскости с осью ОХ найдем из уравнения:
с осью OY:
с осью OZ:
Получим треугольник с вершинами: .
Найдем координаты середины стороны по формуле:
.
— середина стороны .
Теперь найдем точку В, используя свойство: медианы треугольника делятся в точке пересечения в отношении 2:1, считая от вершины. Используем формулу:
Точка пересечения медиан имеет координаты .
Найдем координаты вектора .
Уравнение искомой плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору имеет вид:
№ 6. Две прямые параллельны плоскости . Первая прямая проходит через точку и пересекает ось абсцисс, вторая — через точку и пересекает ось ординат. Найти косинус острого угла между направляющими векторами этих прямых.
Для нахождения направляющих векторов прямых используем условие параллельности прямой и плоскости
и условие, что прямая проходит через ось абсцисс,
подставляем из 1-го уравнения во второе, получим
Полагаем тогда .
Получили направляющий вектор первой прямой (6,-2,-3).
Аналогично для второй прямой (она проходит через точку (0,y,0)
Из второго уравнения
Косинус найдем по формуле:
№ 7. Найти координаты центра окружности радиусом 5, касающейся прямой в точке М (2,0), если известно, что точка С расположена в первой четверти.
Переформулируем задачу:
Найти точку, лежащую на прямой, перпендикулярной прямой , проходящей через точку М (2,0) и отстоящую от нее на 5 ед.
Запишем уравнение прямой в виде , коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых
Получаем уравнение прямой
Используем формулу расстояния между двумя точками:
По условию второе решение не походит, т.к. x<0.
№ 8. Дана кривая
8.1. Доказать, что эта кривая — гипербола.
— это каноническое уравнение гиперболы. Приведем исходное уравнение к этому виду
Это каноническое уравнение гиперболы.
8.2 Найти координаты ее центра симметрии.
Сделаем схематический чертеж:
Центр симметрии гиперболы в точке .
.
8.3. Найти действительную и мнимую полуоси.
8.4. Записать уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус , р-фокальный параметр (половина хорды, проведенной через фокус перпендикулярно действительной оси).
Уравнение , где
8.5. Построить данную гиперболу построение проведено в п.8.2.
№ 9. Дана кривая .
9.1. Доказать, что данная кривая — парабола.
Каноническое уравнение параболы , заданное уравнение приведем к этому виду
следовательно, имеем параболу.
9.2. Найти координаты ее вершины.
Если уравнение параболы записано в виде , координаты вершины .
9.3. Найти значение ее параметра р.
Из уравнения—— видно, что .
9.4. Записать уравнение ее оси симметрии.
Данная ось проходит через вершину параболы перпендикулярно оси ОХ, ее уравнение .
9.5. Построить данную параболу.
Все параметры известны. Найдем пересечение с осью OY.
№ 10. Дана кривая .
10.1. Доказать, что эта кривая — эллипс.
Каноническое уравнение эллипса
Общее уравнение кривой второго порядка:
.
Перепишем заданное уравнение:
Введем обозначения:
Если имеем эллипс. Проводим вычисления при a=8, b=6, c=17,d=-14, l=-23, f=-43.
следовательно, исходная кривая — эллипс.
10.2. Найти координаты центра его симметрии.
Применим формулу:
10.3. Найти его большую и малую полуоси.
Для этого приведем уравнение к каноническому виду, вычислим:
Уравнение запишем в виде:
где
Получим уравнение эллипса в новых координатах, где осями координат являются оси, полученные переносом начала координат в центр эллипса и поворотом осей на угол α, определяемый уравнением , при этом угловой коэффициент новой оси
10.4. Записать общее уравнение фокальной оси.
Фокальная ось проходит через фокус перпендикулярно оси . В новых координатах .
Воспользуемся формулой преобразования координат:
Осталось составить уравнение прямой, проходящей через точку с коэффициентом наклона 2. Общий вид такой прямой , получим:
10.5. Построить данную кривую.
Для этого в старой системе координат строим новую систему. Новые оси направлены по прямым — y=2x-1 и . Далее, определим вершины эллипса.
В новых координатах они равны .
В старых: