ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА
Степенные ряды
Содержание
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
5. Приложения степенных рядов
1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля
Степенные ряды являются частным случаем функциональных рядов.
Определение 1.1
. Степенным рядом
называется функциональный ряд вида
.(1.1)
Здесь – постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами
степенного ряда; а
– некоторое постоянное число, х
– переменная, принимающая значения из множества действительных чисел.
При степенной ряд (1.1) принимает вид
. (1.2)
Степенной ряд (1.1) называют рядом по степеням разности
, ряд (1.2) – рядом по степеням
х
.
Если переменной х
придать какое-либо значение, то степенной ряд (1.1) (или (1.2)) превращается в числовой ряд, который может сходиться или расходиться.
Определение 1.2
. Областью сходимости степенного ряда
называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.
Ряд (1.1) с помощью подстановки приводится к более простому виду (1.2), поэтому вначале будем рассматривать степенные ряды вида (1.2).
Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема.
Теорема 1.1 (Теорема Абеля)
:
если степенной ряд (1.2) сходится при , то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству ; если же ряд (1.2) расходится при , то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству .
Теорема Абеля дает ясное представление о структуре области сходимости степенного ряда.
Теорема 1.2:
область сходимости степенного ряда (1.2) совпадает с одним из следующих интервалов:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ,
где
R
– некоторое неотрицательное действительное число или .
Число R
называется радиусом сходимости
, интервал – интервалом сходимости
степенного ряда (1.2).
Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую ось .
Если , то интервал сходимости вырождается в точку .
Замечание:
если – интервал сходимости для степенного ряда (1.2), то – интервал сходимости для степенного ряда (1.1).
Из теоремы 1.2 следует, что для практического нахождения области сходимости степенного ряда (1.2) достаточно найти его радиус сходимости R
и выяснить вопрос о сходимости этого ряда на концах интервала сходимости , т. е. при и .
Радиус сходимости R
степенного ряда можно найти по одной из следующих формул:
формула Даламбера:
;(1.3)
формула Коши:
.(1.4)
Если в формуле Коши , то полагают , если , то полагают .
Пример 1.1.
Найти радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда .
Решение
Найдем радиус сходимости данного ряда по формуле
В нашем случае
, .
Тогда .
Следовательно, интервал сходимости данного ряда имеет вид .
Исследуем сходимость ряда на концах интервала сходимости.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
который расходится как гармонический ряд.
При степенной ряд превращается в числовой ряд
.
Это – знакочередующийся ряд, члены которого убывают по абсолютной величине и . Следовательно, по признаку Лейбница этот числовой ряд сходится.
Таким образом, промежуток – область сходимости данного степенного ряда.
2. Свойства степенных рядов
Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию , определенную в интервале сходимости , т. е.
.
Приведем несколько свойств функции .
Свойство 1.
Функция является непрерывной на любом отрезке , принадлежащем интервалу сходимости .
Свойство 2.
Функция дифференцируема на интервале , и ее производная может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.
,
для всех
.
Свойство 3.
Неопределенный интеграл от функции
для всех
может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.
для всех
.
Следует отметить, что при почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости R
не меняется, однако его сходимость на концах интервала
может измениться.
Приведенны
Пример 2.1.
Рассмотрим степенной ряд
.
Область сходимости этого ряда, как показано в примере 1.1, есть промежуток .
Почленно продифференцируем этот ряд:
.(2.1)
По свойству 2 интервал сходимости полученного степенного ряда (2.1) есть интервал .
Исследуем поведение этого ряда на концах интервала сходимости, т. е. при и при .
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
.
Этот числовой ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости : , который не существует.
При степенной ряд (2.1) превращается в числовой ряд
,
который также расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.
Следовательно, область сходимости степенного ряда, полученного при почленном дифференцировании исходного степенного ряда, изменилась и совпадает с интервалом .
3. Ряды Тейлора, Маклорена для функций
Пусть – дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки , т. е. имеет производные любых порядков.
Определение 3.1.
Рядом Тейлора
функции в точке называется степенной ряд
. (3.1)
В частном случае при ряд (3.1) называется рядом Маклорена
:
. (3.2)
Возникает вопрос: в каких случаях ряд Тейлора для дифференцированной бесконечное число раз функции
в окрестности точки совпадает с функцией
?
Возможны случаи, когда ряд Тейлора функции
сходится, однако его сумма не равна
.
Приведем достаточное условие сходимости ряда Тейлора функции
к этой функции.
Теорема 3.1:
если в интервале функция имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е. , то ряд Тейлора этой функции сходится к для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство
.
Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.
Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.
4. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена
1. . Для этой функции , .
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:
. (3.3)
Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):
.
Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении .
Все производные функции на любом отрезке ограничены, т. е.
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.4)
2. . Для этой функции , , .
Отсюда следует, что при производные четного порядка равны нулю, а производные нечетного порядка чередуют знак с плюса на минус.
По формуле (3.2) составим ряд Маклорена:
.
При любом фиксированном значении этот ряд сходится как знакочередующийся по признаку Лейбница. При этом
.
Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение
. (3.5)
3. . Воспользуемся разложением (3.5) в ряд Маклорена функции и свойством 2 о дифференцировании степенного ряда. Имеем
|
. |
(3.6) |
Поскольку при почленном дифференцировании интервал сходимости степенного ряда не изменяется, то разложение (3.6) имеет место при любом .
Приведем без доказательства разложения других элементарных функций в ряды Маклорена.
4.
– биномиальный ряд
( – любое действительное число).
Если – положительное целое число, то получаем бином Ньютона
:
.
– логарифмический ряд
.
.
5. Приложения степенных рядов
Степенные ряды находят применение в таких задачах, как приближенное вычисление функций с заданной степенью точности, определенных интегралов, решение дифференциальных уравнений и др.
Приближенное значение функции вычисляют, заменяя ряд Маклорена этой функции конечным числом его членов.
Приведем приближенные формулы для вычисления некоторых наиболее часто встречающихся функций при достаточно малых значениях х
:
; ; ; ;
; .
Литература
1. Высшая математика: Общий курс: Учебник – 2-е изд., перераб. / А.И. Яблонский, А.В. Кузнецов, Е.И. Шилкина и др.; Под общ. ред. С.А. Самаля. – Мн.: Выш. шк., 2000.– 351 с.
2. Марков Л.Н., Размыслович Г.П. Высшая математика. Ч. 2. Основы математического анализа и элементы дифференциальных уравнений. – Мн.: Амалфея, 2003. – 352 с.