Эрмитовы операторы
Содержание
Линейные операторы
Линейные уравнения
Эрмитовы операторы
Линейные операторы
Пусть M
и N
— линейные множества. Оператор L
,
преобразующий элементы множества M
в элементы множества N
,
называется линейным,
если для любых элементов f
и g
из M
и комплексных чисел λ и μ
справедливо равенство
L(λ+ μ
g
) =
λLf
+ μ
Lg
(1)
При этом множество M
=
ML
называется областью определения
оператора L
.
Если Lf
=
f
при всех f
Є M
,
то оператор L
называется тождественным (единичным)
оператором. Единичный оператор будем обозначать через I.
Линейные уравнения
Пусть L
— линейный оператор с областью определения ML
.
Уравнение
Lu
=
F
(2)
называется линейным неоднородным
уравнением. В уравнении (2) заданный элемент F
называется свободным членом
(или правой частью),
а неизвестный элемент и
из ML
— решением
этого уравнения.
Если в уравнении (2) свободный член F
положить равным нулю, то полученное уравнение
Lu
= 0 (3)
называется линейным однородным уравнением,
соответствующим уравнению (2).
В силу линейности оператора L
совокупность решений однородного уравнения (3) образует линейное множество; в частности, и =
0 всегда является решением этого уравнения.
Всякое решение и
линейного неоднородного уравнения (2) (если оно существует) представляется в виде суммы частного решения ио
этого уравнения и общего решения ŭ,
соответствующего линейного однородного уравнения (3)
и = ио
+
ŭ
.
Отсюда непосредственно выводим: для того чтобы решение уравнения (2) было единственным в ML
,
необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение (3) имело только нулевое решение в ML
.
Пусть однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в ML
.
Обозначим через Rl
область значений оператора L
,
т.е. (линейное) множество элементов вида {Lf
}, где f
пробегает ML
.
Тогда для любого F
Є Rl
уравнение (2) имеет единственное решение и
Є ML
,
и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F
из Rl
соответствующее решение уравнения (2). Этот оператор называется обратным оператором к
оператору L
и обозначается через L
-1
, так что
и =
L
-1F
.
(4)
Оператор L-1
, очевидно, является линейным и отображает Rl
на ML
. Непосредственно из определения оператора L
-1
,
а также из соотношений (2) и (4) вытекает:
L
L
-1F
=
F
,
F
Є Rl
;
L
-1
Lu
=
u
, и Є
ML
,
т.е. L
L
-1
=
I
,
L
-1
L
=
I
.
Если линейный оператор L
имеет обратный L
-
1
, то системы функций {φ
k
} и {
L
φ
k
}
одновременно линейно независимы. (При этом, естественно, предполагается, что все φ
k
принадлежат ML
.
)
Рассмотрим линейное однородное уравнение
Lu
=
λu
, (5)
где λ — комплексный параметр. Это уравнение имеет нулевое решение при всех λ. Может случиться, что при некоторых λ оно имеет ненулевые решения из ML
. Те комплексные значения λ, при которых уравнение (5) имеет ненулевые решения из ML
,
называются собственными значениями
оператора L
,
а соответствующие решения — собственными элементами
(функциями), соответствующими этому собственному значению. Полное число r
, 1 ≤
r
≤
∞
, линейно независимых собственных элементов, соответствующих данному собственному значению λ, называется кратностью
этого собственного значения; если кратность r
= 1, то λ называется простым
собственным значением.
Если кратность r
собственного значения λ оператора L
конечна и u
1
,...,и2
—
соответствующие линейно независимые собственные элементы, то любая их линейная комбинация
u
0
=
c
1
u
1
+
c
2
u
2
+ ... +
cr
ur
также является собственным элементом, соответствующим этому собственному значению, и приведенная формула дает общее решение уравнения (5). Отсюда вытекает: если решение уравнения
Lu
=
λ u
+
f
(6)
существует, то его общее решение представляется формулой
и = и* +∑с
k
и
k
,
(7)
где и*
— частное решение (6) и с
k
, k = l,2,...,r, — произвольные пост
Эрмитовы операторы
Линейный оператор L
,
переводящий ML
СL
2
(
G
)
в L2
(G), называется эрмитовым,
если его область определения ML
плотна в L2
(G) и для любых f
и g
из Ml
справедливо равенство
(
Lf
,
g
)
= (
f
,
Lg
).
Выражения (
Lf
,
g
)
и (
Lf
,
f
) называются соответственно билинейной
и квадратичной формами,
порожденными оператором L
.
Для того чтобы линейный оператор L
был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы порожденная им квадратичная форма (
Lf
,
f
), f
Є Ml
,
где Ml
плотна в L2
(G),
принимала только вещественные значения.
Линейный оператор L
,
переводящий Ml
С L2
(G) в L2
(G),
называется положительным,
если Ml
плотна в L2
(G) и
(Lf
,
f
) ≥
0, f
Є Ml
.
В частности, всякий положительный оператор эрмитов.
Теорема. Если оператор
L
эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (неотрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны
.
Доказательство. Пусть λ0
— собственное значение, u
0
— соответствующая нормированная собственная функция эрмитова оператора L
,
L
u
0
= λ0
u
0
. Умножая скалярно это равенство на u
0
,
получим
(
L
u
0
,
u
0
)
= (
λ0
u
0
,
u
0
)
= λ0
(u
0
, u
0
) λ0
|| u
0
||2
= λ0
. (8)
Но для эрмитова (положительного) оператора квадратичная форма (
Lf
,
f
)
принимает только вещественные (неотрицательные) значения, и, стало быть, в силу (7) λ0
— вещественное (неотрицательное) число.
Докажем, что любые собственные функции и
1
и и
2
,
соответствующие различным собственным значениям λ1
и λ2
,
ортогональны. Действительно, из соотношений
Lu
1
=
λ1
и
1
,
Lu
2
=
λ2
и
2
,
из вещественности λ1
и λ2
и из эрмитовости оператора L
получаем цепочку равенств
λ1
(и
1
,и
2
) = (
λ и
1
,и
2
) = (
L
и
1
,и
2
) = (и
1
,
Lu
2
)
= (и
1
,λ
2
и
2
) = =λ
2
(и
1
,и
2
),
т.е. λ1
(и
1
,и
2
) = λ
2
(и
1
,и
2
).
Отсюда, поскольку λ1
≠ λ
2
,
вытекает, что скалярное произведение (и
1
,и
2
)
равно нулю. Теорема доказана.
Предположим, что множество собственных значений эрмитова оператора L
не более чем счетно, а каждое собственное значение конечной кратности. Перенумеруем все его собственные значения: λ1
,λ2
,..., повтори λk
столько раз, какова его кратность. Соответствующие собственные функции обозначим через и
1
,и
2
,… так, чтобы каждому собственному значению соответствовала только одна собственная функция и
k
:
Lu
k
= λk
, и
k
, k = 1,2,...
Собственные функции, соответствующие одному и тому же собственному значению, можно выбрать ортонормальными, используя процесс ортогонализации Шмидта. Всякая ортонормальная система {φ
k
} состоит из линейно независимых функций. Всякая система ψ
1
,ψ
2
,... линейно независимых функций из L2
(G) преобразуется в ортонормальную систему φ
1
,φ
2
, — следующим процессом ортогонализации Шмидта:
φ
1
= ψ
1
/||ψ
2
|| , φ
2
= ψ
2
– (ψ
2,
φ
1
) φ
1
/ || ψ
2
– (ψ
2,
φ
1
) φ
1
||
φ
k
= ψ
k
– (ψ
k
,
φ
k
-1
)φ
k
-1
– … – (ψ
k
,
φ
1
)φ
1
/ || ψ
k
– (ψ
k
,
φ
k
-1
)φ
k
-1
– … – – (ψ
k
,
φ
1
)φ
1
||
При этом опять получаются собственные функции, соответствующие тому же самому собственному значению. По доказанной теореме собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.
Таким образом, если система собственных функций {ик
} эрмитова оператора L
не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормальной:
(
Lu
k
,
u
i
) = λ
k
(и
k
,
u
i
) = λ
k
δki
Список литературы
1.
Владимиров B.C., Жаринов В. В. Уравнения математической физики: Учебник для вузов. — М.: Физмат-лит, 2000.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — Изд. 5-е. — М.: Наука, 1985.
3. Никольский СМ. Математический анализ.—Изд. 5-е. — М.: Физмат-лит, 2000.