1. Бросаются 2 кости. Определить вероятность того, что на верхних гранях:
а) сумма очков не превосходит 12; б) произведение числа очков не превосходит 12; в) произведение числа очков делится на 12.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
а).Пусть событие А – сумма числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12,то есть указанная сумма меньше или равна 12. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события А:
m = 36. В результате получаем
Таким образом, искомая вероятность равна 1 .
б) Пусть событие В – произведение числа очков, выпавших на двух костях, не превосходит 12.
| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |
Вероятность события В находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Составим таблицу всевозможных элементарных исходов данного испытания.
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 23. В результате получаем:
Таким образом, искомая вероятность равна 0,6389.
в) Пусть событие С – произведение числа очков, выпавших на двух костях, делится на 12.
Вероятность события С находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события В, n – общее число равновозможных исходов испытания. Воспользуемся таблицей, полученной в пункте б).
Тогда из таблицы несложно найти общее число равновозможных исходов испытания: n = 36; и число исходов, благоприятствующих появлению события В: m = 7. В результате получаем:
Таким образом, искомая вероятность равна 0,1944.
Ответ: а) 1; б) 0,6389, в) 0,1944.
2. Имеются n изделий 4-х
сортов, причём , где i= 1, 2, 3, 4. Для контроля берутся m изделий, где . Определить вероятность того, что среди m изделий m1
– первого сорта, m2
– второго сорта, m3
– третьего сорта, m4
– четвёртого сорта
Дано: n1
= 3, n2
= 3, n3
= 4, n4
= 2, m1
= 2, m2
= 1, m3
= 2, m4
= 2.
Решение.
Пусть событие А – среди m изделий 2 изделия – первого сорта, 2 изделия – второго сорта, 2 изделия – третьего сорта, 1 изделие – четвёртого сорта.
Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m – число исходов, благоприятствующих появлению события А. 2 изделия первого сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 1 изделие второго сорта можно выбрать из 3 изделий способами, 2 изделие третьего сорта можно выбрать из 4 изделий способами, 2 изделия четвёртого сорта можно выбрать из 2 изделий способами. Воспользуемся теоремой умножения, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А равно:
Находим n – общее число равновозможных исходов испытания.
(2+1+2+2)=7 изделий из изделий можно выбрать способами, то есть:
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: Р(А) = 0,0795.
3. Среди n лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли m билетов. Определить вероятность того, что среди m билетов l выигрышных.
Дано: n = 10, l = 5, m =7 , k = 7.
Решение.
Пусть событие А - среди 7 билетов 5 выигрышных. Вероятность события А находим с помощью классического определения вероятности:
,
где: m – число исходов, благоприятствующих появлению события А, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Находим m. Из 7 выигрышных билетов 5 билета можно выбрать способами, а 2 безвыигрышных билетов из 3 билетов можно выбрать способами. Тогда число исходов, благоприятствующих появлению события А, используя теорему умножения, будет равно:
m = ×=
Находим n. . Из 10 билетов 7 билета можно выбрать способами, тогда
n =
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: Р(А) = 0,525.
4. В лифт k-этажного дома сели n пассажиров (n < k). Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом (начиная со второго) этаже. Определить вероятность того, что: а)все вышли на разных этажах; б) по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Дано: k = 7, n = 4.
Решение.
а) Событие А – все пассажиры вышли на разных этажах.
Событие А1
– первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие А2
– второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие А3
– третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие А4
– четвертый пассажир вышел на любом из оставшихся трех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события А находим по теореме умножения, поскольку события А1
, А2
, А3
, А4
являются зависимыми. Тогда:
где: , , , .
Отсюда:
.
б) Событие В – по крайней мере двое сошли на одном этаже.
Событие В1
– первый пассажир вышел на любом из шести, кроме первого, этаже.
Событие В2
– второй пассажир вышел на любом из оставшихся пяти этаже, т.е. кроме первого и этажа, на котором вышел первый пассажир.
Событие В3
– третий пассажир вышел на любом из оставшихся четырех этаже, т.е. кроме первого и этажей, на которых вышли первый и второй пассажиры.
Событие В4
– четвертый пассажир вышел на любом из трех этаже, на которых вышли первый, второй и третий пассажиры.
Вероятность события В находим по теореме умножения, поскольку события В1
, В2
, В3
, В4
являются зависимыми. Тогда:
где: , , , .
Отсюда:
.
Ответ: а) 0,2778; б) 0,2778.
5. В двух партиях К1
и К2
% доброкачественных изделий на удачу выбирают по одному изделию из каждой партии Какова вероятность того, что среди двух изделий:
а) хотя бы одно бракованное;
б) два бракованных;
в) одно бракованное и одно доброкачественное.
Дано: К1
= 39%, К2
= 78%.
Решение.
Обозначим события:
Событие А – из первой партии наудачу вынули доброкачественное изделие;
Событие B - из второй партии наудачу вынули доброкачественное изделие
Вероятности этих событий соответственно равны: р1
= 0,39 и р2
= 0,78.
а) Пусть событий С – среди двух изделий хотя бы одно бракованное.
Рассмотрим противоположное событие - среди двух изделий нет бракованных, то есть эти два изделия доброкачественные. Вероятность события находим, используя теорему умножения:
Р() = р1
· р2
= 0,39 · 0,78 = 0,3042
Отсюда, вероятность искомого события Р(С) найдём по формуле:
Р(С) = 1 - Р() = 1 – 0,3042 = 0,6958.
б) Пусть событий D – среди двух изделий два бракованных.
Вероятность события D находим, используя теорему умножения:
Р(D) = q1
· q2
= (1 - р1
) · (1 - р2
) = (1 - 0,39)·(1 - 0,78) = 0,1342.
в) Пусть событий Е - одно бракованное и одно доброкачественное. Здесь необходимо рассмотреть два события: Событие - из первой партии вынули доброкачественное изделия, а из второй – бракованное; Событие - из первой партии вынули бракованное изделие, а из второй – доброкачественное.
Тогда:
Е = +
или Р(Е) = Р() + Р()
Вероятность события Е находим, используя теорему сложения и умножения:
Р(Е) = р1
· q2
+ q1
· р2
= 0,39 · 0,22 + 0,61 · 0,78 = 0,5616
Ответ: а) 0,6958; б) 0,1342; в) 0,5616.
6. Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле: первым стрелком равна P1
= 0,39, а вторым стрелком - P2
= 0,45. Первый стрелок сделал n1
= 3 выстрелов, а второй стрелок – n2
= 2 выстрелов. Определить Вероятность того, что цель не поражена.
Решение.
Пусть событие А - цель не поражена. Чтобы цель была не поражена, необходимо, чтобы первый стрелок, сделав 3 выстрела, ни разу не попал, и, чтобы второй стрелок, сделав 2 выстрела, тоже ни разу не попал.
Рассмотрим гипотезы:
Событие А1
– первый стрелок промахнулся 3 раза.
Событие А2
- второй стрелок промахнулся 2 раза.
Вероятность того, что первый стрелок промахнется при одном выстреле равна:
q1
= 1 - p1
= 1- 0,39 = 0,61,
а вероятность того, что второй стрелок промахнется при одном выстреле равна: q2
= 1 - p2
= 1- 0,45=0,55.
Тогда вероятность событий А1
и А2
находим по формуле Бернулли:
Тогда:
Тогда искомая вероятность события А, используя теорему умножения, равна:
Р(А) = Р(А1
)×Р(А2
) = 0,227 · 0,3025 = 0,0687.
Ответ: 0,0687.
7. Из ламп ni
принадлежат i-й
партии (i = 1, 2, 3) бракованные лампы в первой партии составляют 6%, во второй – 5%, а в третьей – 4%. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа - бракованная.
Дано: n1
= 620, n2
= 190.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают одну лампу.
Пусть событие А - выбранная лампа – бракованная. Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1
– выбранная лампа принадлежит 1-й
партии,
Событие Н2
– выбранная лампа принадлежит 2-й
партии,
Событие Н3
– выбранная лампа принадлежит 3-й
партии.
Вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1
, Н2
, Н3
с помощью классического определения вероятности:
,
Для события Н1
имеем: m1
= 620 (количество ламп в первой партии), n =1000 (общее количество ламп); тогда вероятность события Н1
равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2
и Н3
.
Для события Н2
имеем: m2
= 190, n =1000.
Для события Н3
имеем: m3
= 1000 - m1
– m2
= 1000 – 620 –190 = 190, n =1000.
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1
, Н2
, Н3
соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:
где: ki
– число процентов бракованных ламп в i-й
партии. Тогда
Подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=
= 0,62 · 0,06 + 0,19 · 0,05 + 0,19 · 0,04 = 0,0543.
Ответ: Р(А) = 0,0543.
8. В первой урне N1
белых и M1
чёрных шаров,
белых и M2
чёрных шаров. Из первой урны во вторую переложили К шаров, затем из второй урны извлечен один шар. Определить вероятность того, что выбранный из второй урны шар – белый.
Дано: N1
= 20, M1
= 1, N2
= 40, M2
= 7, К = 15.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из второй урны шар после перекладывания из первой урны во вторую 15 шаров.
Пусть событие А - выбранный шар – белый.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1
– из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 15 белых и ни одного чёрного;
Событие Н2
– из первой урны во вторую переложили 15 шаров, среди которых 14 белых и 1 чёрный; Так как события Н1
, Н2
образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1
, Н2
с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi
– число исходов, благоприятствующих появлению события Hi
, n – общее число равновозможных исходов испытания.
В первой урне находится (N1
+ M1
) = 20+1 =21 шар, тогда общее число равновозможных исходов испытания равняется числу способов, которыми можно вынуть 15 шаров из 21, то есть
n =
Находим вероятность гипотезы Н1
. 15 белых шаров из 20 можно выбрать способами, а 0 чёрных из 1 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1
, используя теорему умножения, будет равно:
m = ×=
Отсюда, вероятность события Н1
равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2
.
Для события Н2
имеем:
m2
=×=
Отсюда, вероятность события Н2
равна:
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1
, Н2
соответственно наступили, то есть вероятности , с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi
– число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi
соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1
во второй урне станет (40+15)=55 белых и 7 чёрных шаров, всего в урне 62 шара, тогда для события A | Н1
имеем:
m1
= 55, a n = 62, отсюда
При наступлении события Н2
во второй урне станет (40+14)=54 белых и (7+1)=8 чёрных шаров, всего в урне 62 шаров, тогда для события A | Н2
имеем:
m2
= 54, a n = 62, отсюда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=0,2857×0,8871 + 0,7143×0,871 = 0,8756
Ответ: Р(А) = 0,8756.
9. В альбоме k чистых и l гашеных марок. Из них наудачу извлекаются m марок (среди которых могут быть и чистые, и гашенные), подвергаются спецгашению и возвращаются в альбом. После этого вновь наудачу извлекаются n марок. Определить вероятность того, что все n марки - чистые.
Дано: k = 7, l = 5, m = 2, n = 2.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу выбирают из альбома после гашения 2 марки.
Пусть событие А - все 2 марки - чистые.
Рассмотрим гипотезы:
Событие Н1
– из альбома извлекли и подвергли спецгашению 2 чистые и ни одной гашеной марки;
Событие Н2
– из альбома извлекли и подвергли спецгашению 1 чистую и 1 гашеную марки;
Событие Н3
– из альбома извлекли и подвергли спецгашению ни одной чистой и 2 гашеные марки.
Так как события Н1
, Н2
, Н3
образуют полную группу событий, и событие А может произойти с одним из этих событий, вероятность события А находим по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1
, Н2
, Н3
с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi
– число исходов, благоприятствующих появлению события Hi
, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Из альбома можно вынуть 2 марки из (k + l) = (7 + 5) = 12 марок - способами, тогда общее число равновозможных исходов испытания равно:
n =
Находим вероятность гипотезы Н1
2 чистые марки из 7 можно выбрать способами, а 0 гашенных из 5 - способами, тогда число исходов, благоприятствующих появлению события Н1
, используя теорему умножения, будет равно:
m = ×=
Отсюда, вероятность события Н1
равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2
и Н3
:
Для события Н2
имеем:
m2
=×=
Отсюда, вероятность события Н2
равна:
Для события Н3
имеем:
m3
=×=
Отсюда, вероятность события Н3
равна:
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1
, Н2
, Н3
соответственно наступили, то есть вероятности , и с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi
– число исходов, благоприятствующих появлению события А при условии, что событие Нi
соответственно наступило; n – общее число равновозможных исходов испытания.
При наступлении события Н1
в альбоме станет (7-2)=5 чистых и (5+2)=7 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н1
имеем: m1
= - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 5. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
При наступлении события Н2
в альбоме станет (7-1)=6 чистых и (5+1)=6 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н2
имеем: m2
= - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 6. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
При наступлении события Н3
в альбоме станет (7-0)=7 чистых и (5+0)=5 гашеных марок, всего в альбоме 12 марок, тогда для события A | Н3
имеем: m3
= - число способов, которыми можно выбрать 2 чистых марки из 7. n = - число способов,которыми можно выбрать 2 марки из 12.
Отсюда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
= 0,3182 · 0,1515 + 0,5303 · 0,2273 + 0,1515 · 0,3182 = 0,217.
Ответ: Р(А) = 0,217.
10. В магазин поступают однотипные изделия с 3-х заводов, причем i–й завод поставляет mi
% изделий. Среди изделий i–го завода ni
% - первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Найти вероятность того, что купленное изделие выпущено j-м заводом?
Дано: m1
= 60%, m2
= 10%, m3
= 30%, n1
= 80%, n2
= 90%, n3
= 80%, j = 3.
Решение.
Испытание состоит в том, что наудачу покупают одно изделие.
Рассмотрим событие А – изделие оказалось первосортным.
Рассмотрим гипотезы:
Событие H1
– наудачу купленное изделие изготовлено на 1-ом заводе.
Событие H2
– наудачу купленное изделие изготовлено на 2-ом заводе.
Событие H3
– наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе.
По условию задачи необходимо найти вероятность события Н3
|А, то есть события состоящего в том, что наудачу купленное изделие изготовлено на 3-ем заводе, если известно, что она первосортное.
Так как события H1
, H2
и H3
образуют полную группу событий, и событие А может наступить с одним из этих событий, то для нахождения вероятности события воспользуемся формулой Байеса:
,
где полная вероятность события А, которая может быть определена по формуле полной вероятности:
Определяемвероятности гипотез Н1
, Н2
, Н3
с помощью классического определения вероятности:
,
где: mi
– число исходов, благоприятствующих появлению события Hi
, n – общее число равновозможных исходов испытания.
Для события Н1
имеем: m1
= 60% (количество изделий, изготовленных на 1-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н1
равна:
Аналогично находим вероятности гипотез Н2
и Н3
.
Для события Н2
имеем: m2
= 10% (количество изделий, изготовленных на 2-ом заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н2
равна:
Для события Н3
имеем: m3
= 30% (количество изделий, изготовленных на 3-ем заводе), n = 100% (общее количество изделий); тогда вероятность события Н3
равна:
Контроль:
Находим условные вероятности события А при условии, что события Н1
, Н2
, Н3
соответственно наступили, то есть вероятности , и , по формуле:
где: ki
–число стандартных изделий, изготовленных на i – заводе, mi
– общее число изделий, изготовленных на i – заводе. Тогда
Таким образом, подставляя найденные вероятности в формулу полной вероятности, находим вероятность события А:
=
= 0,6 × 0,8 + 0,1 × 0,9 + 0,3 × 0,8 = 0,81.
Отсюда, по формуле Байеса получим: .
Ответ: .
11. Монета бросается до тех пор, пока герб не выпадет n раз. Определить вероятность того, что решка выпадает m раз.
Дано: n = 5, m = 3.
Решение.
Испытание состоит в бросании монеты.
Вероятность выпадения решки в каждом испытании постоянна: р = 0,5 , а выпадения герба – q = 1 – p = 1 -0,5 = 0,5. Всего монета бросается (n + m) = 5 + 3= 8 раз. Следовательно, указанный эксперимент удовлетворяет схеме Бернулли. Тогда искомую вероятность находим по формуле:
Отсюда, искомая вероятность равна:
Ответ: 0,2187.
12. На каждый лотерейный билет с вероятностью р1
может выпасть крупный выигрыш, с вероятностью р2
– мелкий выигрыш, и с вероятностью р3
билет может оказаться без выигрыша . Куплено n билетов.
Определить вероятность получения n1
крупных выигрышей и n2
мелких.
Дано: n = 14, n1
= 2, n2
= 4, р1
= 0,2, р2
= 0,2.
Решение.
Событие А – среди 14 билетов получено 2 крупных выигрыша и 4 мелких.
Рассмотрим события:
Событие А1
– выпал крупный выигрыш.
Событие А2
– выпал мелкий выигрыш.
Событие А3
– билет оказался без выигрыша.
Вероятности этих событий соответственно равны: р1
= 0,2, р2
= 0,2, р3
= 1 - 0,2 – 0,2 = 0,6.
Вероятность события А находим по формуле полиномиального распределения вероятностей:
Отсюда:
Ответ: .
13. Вероятность наступления некоторого события в каждом из n независимых испытаний равна р .
Определить вероятность того, что число m наступлений событий удовлетворяет следующему неравенству: k1
≤ m.
Дано:n = 100, p = 0,8, k1
= 70.
Решение.
Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа:
,
где: Ф(х) – функция Лапласа,
,
По условию, n=100, p= 0,8, q = 1- p = 1- 0,8 = 0,2 , k1
= 70, k2
= 100. Вычислим х` и x``:
,
Учитывая, что функция Лапласа нечетна, то есть Ф(-х) = - Ф(х), получим
По таблице приложения 2 найдем: Ф(5) = 0,5; Ф(2,5)= 0,4938.
Искомая вероятность равна:
Р100
() = 0,5 + 0,4938 = 0,9938.
Ответ: 0,9938.
14. Дана плотность распределения
случайной величины Х.
Найти параметр γ, функцию распределения случайной величины Х. математическое ожидание М(х), дисперсию D(x), вероятность выполнения неравенства -2< x < 0.
Решение.
Воспользуемся свойством плотности распределения:
.
В данном случае:
, так как при . Тогда:
То есть:
Тогда получим две функции плотности распределения:
Контроль:
Функцию распределения случайной непрерывной величины Х найдём по формуле:
где: - функция плотности распределения вероятностей на трёх интервалах.
1) При имеем:
2) При исходный интеграл разобьем на два интеграла:
3) При исходный интеграл разобьем на три интеграла:
Таким образом, функция распределения примет вид:
б) Математическое ожидание находим по формуле:
Применяя формулу, получим:
в) Найдём дисперсию случайной величины Х :
Найдём математическое ожидание квадрата случайной величины Х по формуле:
Тогда дисперсия
Определяем вероятность выполнения неравенства -2 < x < 0:
Ответ:
,
М(х) = -2, D(x) = 0,3333, .