Сліди і базиси розширеного поля

Довільний елемент поля в нормальному базисі подається як

.

Піднесення до квадрата елемента в нормальному базисі дає

Таким чином, операція піднесення до квадрата (або витягу кореня квадратного) зводиться до циклічного зсуву вправо (або вліво) векторного подання елемента. Це одне з важливих технологічних переваг нормального базису перед поліноміальним. Іншою його перевагою є простота визначення сліду елемента. Дійсно:

.

Отже, слід елемента дорівнює 0 при парній вазі його векторного подання в НБ і 1 – при непарній вазі. Ця властивість радикально спрощує визначення сліду елемента у НБ.

Наприклад: елемент у нормальному базисі має парну вагу векторного подання. Слід цього елемента дорівнює 0 Дійсно

На наступній лекції ми розглядатимемо окремо т.з. оптимальний нормальний базис, який має значні переваги у швидкості та технологічності обчислень.

Під час обчислення точок з багаторазовими операціями додавання (віднімання) і подвоєння більш продуктивними є групові операції не в афінних координатах, а різного роду проективних координатах. Це дозволяє уникнути обчислення оберненого елемента в полі як самої трудомісткої операції й заощадити тимчасові обчислювальні ресурси.

У стандартних проективних координатах проективна точка , , відповідає афінній точці Однорідне рівняння кривої після заміни змінних і множення на куб перемінної приймає вигляд

(в афінних координатах рівняння кривої має вигляд

).

Точка на нескінченності є вже одним з розв’язків даного рівняння. Зворотна точка тут, як і раніше, визначається інверсією знака координати

Подібно тому, як в афінних координатах, сумою точок і при називається точка , координати якої (позначення надалі опускається для скорочення запису) рівні:

де

Операцію підсумовування однакових точок називають подвоєнням, а координати точки дорівнюють:

де

Час виконання операції додавання і подвоєння , де позначає проективне подання точки.

Наступний вид проективних координат - якобіанові координати.

До них можна перейти ізоморфним перетворенням координат, помноживши рівняння на , при цьому отримаємо:

або

де

Сумою точок і при є точка , координати якої визначаються як:

де

При подвоєнні точки кривої отримаємо :

де .

У даному випадку час виконання складає і , де позначає якобіаново подання точки.

Замість трьох якобіанових координат точки Чудновський запропонував використовувати п'ять: Рівняння кривої описується формулою , а сума точок

і

при визначається як точка , координати Чудновського якої рівні:

Де

При подвоєнні точки кривої одержимо

:

де .

Час виконання складе і , де означає подання точки в координатах Чудновського.

Модифіковані якобіанові координати для рівняння

кривої містять чотири координати

Сума точок і при визначається як точка , модифіковані якобіанові координати якої дорівнюють:

,

де

При подвоєнні точки кривої отримаємо

де

Нарешті, можна зробити наступні оцінки. Час виконання дорівнює і , де означає подання точки в модифікованих якобіанових координатах.

Формули, що визначають сумарне число інверсій ( ), множень і піднесень до квадрата при додаванні і подвоєнні точок відповідно в афінних , проективних , якобіанових координатах, координатах Чудновського і модифікованих якобіанових координатах наведені в таблиці 1 (узагальнення).

За деякими оцінками, одна інверсія , а піднесення до квадрата (при операціях у простому полі Галуа). Звідси стає зрозумілою доцільність переходу до проективних або до якобіанових координат, у яких операції інверсії відсутні.

Мінімальна обчислювальна складність додавання досягається за допомогою координат чудновського, а подвоєння – у модифікованих якобіанових координатах. Тому, звичайно, користуються змішаними координатами з метою оптимізації обчислень при багаторазовому додаванні точки.

Таблиця 3 - Число операцій множення , піднесення до квадрата й інверсій елементів простого поля при додаванні і подвоєнні точок у різних координатних системах