Дисциплина: Высшая математика
Тема: Определитель матрицы
1. Понятие определителя
Матрица - это прямоугольная таблица, составленная из чисел. Особое место среди матриц занимают квадратные матрицы. Рассмотрим произвольную квадратную матрицу порядка или просто :
.
Оказывается, что с такой матрицей всегда можно связать вполне определенную числовую характеристику.
Определение 1. Численная характеристика квадратной матрицы называется ее определителем
.
Рассмотрим матрицу первого порядка .
Определение 2. Численной характеристикой матрицы первого порядка, то есть определителем первого порядка, называется величина ее элемента
.
Обозначается определитель одним из символов .
Определение 3. Определителем второго порядка, соответствующим матрице второго порядка, называется число, равное
.
Обозначается определитель одним из символов
.
Очевидно, что для составления определителя второго порядка, необходимо найти разность произведения элементов, стоящих на главной диагонали матрицы, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали этой матрицы.
Поскольку одна из форм обозначения определителя и обозначения матрицы имеют много общего (записывается таблица из чисел), то так же, как и у матрицы, говорят о столбцах, строках и элементах определителя.
После того как рассмотрены определители 1-го и 2-го порядков, можно перейти к понятию определителя любого порядка. Но перед этим введем понятие минора.
Определение 4. Минором любого элемента квадратной матрицы порядка называется определитель порядка , соответствующий той матрице, которая получается из первоначальной матрицы в результате вычеркивания -ой строки и -го столбца, на пересечении которых стоит элемент
.
Обычно минор элемента
обозначается .
Определение 5. Определителем порядка , соответствующим матрице порядка , называется число, равное
.
Обозначается определитель одним из символов
.
Приведенное выражение представляет собой правило вычисления определителя -го порядка по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов этой строки, которые являются определителями порядка . Для это правило дает:
.
В приведенном правиле вычисления определителя фигурирует лишь первая строка. Возникает вопрос, а нельзя ли вычислить определитель, используя элементы других строк?
Теорема 1. Каков бы ни был номер строки (), для определителя -го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -ой строке
.
Нетрудно заметить, что в этой формулировке степень при (-1) равна сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент .
Докажем сначала эту теорему для . В этом случае может быть равно только 2, так как входит в основное определение величины определителя. Итак:
.
Полученное выражение совпадает с тем, которое было дано в определении, следовательно, для определителя 2-го порядка теорема доказана.
Для произвольного данная теорема доказывается методом математической индукции.
Итак, показано, что определитель может быть разложен по любой строке. Возникает вопрос, а нельзя ли сделать то же самое, использовав произвольный столбец.
Теорема 2. Каков бы ни был номер столбца (), для определителя -го порядка справедлива формула
,
называемая разложением этого определителя по -му столбцу
.
Докажем теорему для :
.
Данное выражение равно величине определителя, введенной по определению.
Итак, на основании теорем можно сказать, что для вычисления определителя -го порядка необходимо его разложить по произвольной строке или столбцу.
2. Свойства определителей
Рассмотрим ряд свойств, которыми обладают определители.
1. Равноправность строк и столбцов.
Определение 1. Транспонированием определителя называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы с сохранением порядка их следования
.
Определитель, полученный в результате транспонирования, называется транспонированным по отношению к исходному и обозначается .
Свойство 1. При транспонировании величина определителя сохраняется, то есть
.
Доказательство этого свойства вытекает из того, что разложение определителя по первой строке тождественно совпадает с разложением по первому столбцу
2. Антисимметрия при перестановке двух строк.
Свойство При перестановке местами двух строк определитель сохраняет свою абсолютную величину, но меняет знак на противоположный
.
Докажем для определителя второго порядка. Действительно,
; .
Для определителя -го порядка докажем это свойство по индукции. Пусть свойство справедливо для определителя -го порядка. Разложим определитель -го порядка по любой строке, отличной от переставленных. Тогда переставленные строки входят во все миноры, на которые умножаются элементы , но эти миноры являются определителями -го порядка и меняют свой знак при перестановке строк. Следовательно, и определитель -го порядка также меняет свой знак.
3. Линейное свойство определителя.
Определение Некоторая строка () является линейной комбинацией строк () и () с коэффициентами и , если
.
Пользуясь этим определением, перейдем к самому свойству.
Свойство 3. Если в определителе -го порядка некоторая строка () является линейной комбинацией двух строк () и () с коэффициентами и , то , где - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у , а - определитель, у которого -ая строка равна (), а все остальные - те же, что и у
.
Для доказательства разложим каждый из определителей по -ой строке. Очевидно, что у всех разложений миноры соответствующих элементов будут одинаковы. Вычислим :
Итак, свойство доказано. Очевидно, оно справедливо и для столбцов.
Приведенные три свойства называются основными. Остальные являются их следствиями.
Свойство 4. Умножение всех элементов некоторой строки или столбца определителя на число равносильно умножению определителя на число
.
Для доказательства положим в свойстве 3 , тогда получим . Значит, общий множитель всех элементов некоторого ряда можно выносить за определитель.
Свойство 5. Если все элементы некоторой строки или столбца определителя равны 0, то и сам определитель равен 0
.
Для доказательства разложим определитель по нулевому ряду.
Свойство 6. Определитель с двумя равными строками или столбцами равен 0
.
Действительно, переставив местами равные строки или столбцы, получим тот же определитель, но по свойству 2 его знак изменится на противоположный. Итак, с одной стороны , а с другой . Следовательно, .
Свойство 7. Если соответствующие элементы двух строк или столбцов определителя пропорциональны, то определитель равен нулю
.
Действительно, согласно свойству 4 общий множитель можно выносить за определитель, и мы получим определитель с двумя равными строками, который по свойству 6 равен нулю.
Свойство 8. Если к элементам некоторой строки или столбца определителя прибавить соответствующие элементы другой строки или столбца, умноженные на произвольный множитель , то величина определителя не изменится
.
Доказательство. Рассмотрим определитель . Прибавим к элементам второй строки элементы первой с коэффициентом :
.
Тогда, по свойству 3 получим:
.
После перечисления всех свойств определителей введем еще одно определение.
Определение 3. Алгебраическим дополнением данного элемента определителя -го порядка называется число, равное , которое обозначается
.
Значит, алгебраическое дополнение отличается от соответствующего минора только лишь знаком. Теперь величину определителя можно вычислить с помощью формул:
.
Пользуясь свойствами, любой определитель можно вычислить не на основании основного правила, а предварительно упростив его (приводя, например, к треугольному виду).
Литература
1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
2. Бугров Я.С., Никольский С.М. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА В 3-х томах Том 1 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии 8-е издание. Издательство: ДРОФА, 2006. - 284с.
3. Рябушко А.П., Бархатов В.В., Державец В.В., Юруть И.Е. Индивидуальные задания по высшей математике. В 4 частях. Часть 1. Линейная и векторная алгебра. Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Минск: Высшая школа, 2007.
4. Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах. В трех томах. ПОЛИТЕХНИКА, 2003.
5. Шипачев В.С. Высшая математика изд.7 Изд-во: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 2005. - 479с.