Зміст
Введення
Рішення рівнянь із параметрами
Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями
Висновок
Література
Введення
Актуальність
даної теми визначається необхідністю вміти вирішувати такі рівняння з параметрами при складанні незалежного оцінювання знань.
Ціль
даної роботи розповісти про рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі
:
дати визначення поняттям рівняння з параметрами;
показати принцип рішення даних рівнянь на загальних випадках;
показати рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями.
Для виконання поставленої мети були використані наступні методи
: використання літератури різного типу, робота в групах на уроках алгебри й заняттях елективного курсу по математиці, участь проектної групи в міській конференції по даній темі в 2008 році.
Об'єктом дослідницької роботи
було рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями вище представлених функцій.
Структура даної роботи
містить у собі теорію, практичну частину, висновок, бібліографічний список.
Рішення рівнянь із параметрами
рівняння параметр функція логарифмічна
Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи.
Більшість посібників адресована абітурієнтам, однак починати знайомитися з подібними задачами потрібно набагато раніше - паралельно з відповідними розділами шкільної програми по математиці.
Якщо в рівнянні деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння параметричним.
Природно, такий невеликий клас задач багатьом не дозволяє засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має як би двоїсту природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, - ступінь волі спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираження, що містить параметр, добування кореня парного ступеня з подібних виражень вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на рішення, і на відповідь.
Основне, що потрібно засвоїти при першому знайомстві з параметром, - це необхідність обережного, навіть, якщо хочете, делікатного обігу з фіксованим, але невідомим числом. Цьому, на нашу думку, багато в чому будуть сприяти наші приклади.
Необхідність акуратного обігу з параметром добре видна на тих прикладах, де заміна параметра числом робить задачу банальної. До таких задач, наприклад, ставляться: зрівняти два числа, вирішити лінійне або квадратне рівняння, нерівність і т.д.
Звичайно в рівняння буквами позначають невідомі.
Вирішити рівняння - значить:
знайти множину значень невідомому, задовольняючому цьому рівнянню. Іноді рівняння, крім букв, що позначають невідоме (X, Y,Z), містять інші букви, називані параметрами(a, b, c). Тоді ми маємо справу не з одним, а з нескінченною множиною рівнянь.
При одних значеннях параметрів рівняння не має корінь, при інших - має тільки один корінь, при третіх - два корені.
При рішенні таких рівнянь треба:
1) знайти множину всіх доступних значень параметрів;
2) перенести всі члени, що містять невідоме, у ліву частину рівняння, а всі члени, що не містять невідомого в праву;
3) привести подібні доданки;
4) вирішувати рівняння ax = b.
Можливо три випадки.
1. а 0, b – будь-яке дійсне число. Рівняння має єдине рішення х = .
2. а = 0, b = 0. Рівняння приймає вид: 0х = 0, рішеннями є всі х R.
3. а = 0, b 0. Рівняння 0х = b
рішень не має.
Зробимо одне зауваження. Істотним етапом рішення рівнянь із параметрами є запис відповіді. Особливо це ставиться до тих прикладам, де рішення як би «гілкується» залежно від значень параметра. У подібних випадках складання відповіді - це збір раніше отриманих результатів. І тут дуже важливо не забути відбити у відповіді всі етапи рішення.
У тільки що розібраному прикладі запис відповіді практично повторює рішення. Проте, я вважаю за доцільне привести відповідь.
Відповідь:
х = при а 0, b – будь-яке дійсне число;
х - будь-яке число при а = 0, b = 0;
рішень немає при а = 0, b ? 0.
Рішення рівнянь із параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, тригонометричною й логарифмічною функціями
1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
не має коренів?
Рішення
: перетворимо задане рівняння: 15·10 х
– 20 = n – n · 10х + 1
; 15·10 х
+ n· 10х + 1
= n + 20; 10 х
·(15 + 10n) = n + 20; 10 х
= .
Рівняння не буде мати рішень при ≤ 0, оскільки 10 х
завжди позитивно.
Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо: ≤ 0; (n + 20)·(15 + 10n) ≤ 0; - 20 ≤ n ≤ - 1,5.
Відповідь
: .
2. Знайдемо всі значення параметра а
, при яких рівняння lg2
(1 + х2
) + (3а – 2)· lg(1 + х2
) + а2
= 0 не має рішень.
Рішення
: позначимо lg(1 + х2
) = z, z > 0, тоді вихідне рівняння прийме вид: z2
+ (3а – 2) · z + а2
= 0 Це рівняння – квадратне з дискримінантом, рівним (3а – 2)2
– 4а2
= 5а2
– 12а + 4. При дискримінанті менше 0, тобто при 5а2
– 12а + 4 < 0 виконується при 0,4 < а <2.
Відповідь: (0,4; 2).
3. Знайдемо найбільше ціле значення параметра а
, при якому рівняння cos2x + asinx = 2a
– 7 має рішення.
Рішення
: перетворимо задане рівняння:
cos2x + a
sinx = 2a
– 7; 1 – 2sin2
х – asinx = 2a
– 7; sin2
х - a
sinx + a – 4 = 0;
(sinх – 2) · = 0.
Рішення рівняння (sinх – 2) · = 0 дає:
(sinх - 2) = 0; х належить по
sinх - = 0; х = (-1)n
arcsin + πn, n Z при ≤ 1. Нерівність ≤ 1 має рішення 2 ≤ а
≤ 6, звідки треба, що найбільше ціле значення параметра а дорівнює 6.
Відповідь
: 6.
4. Указати найбільше ціле значення параметра а
, при якому корінь рівняння 4х2
- 2х + а
= 0 належить інтервалу (- 1; 1).
Рішення
: корінь заданого рівняння рівні: х1
=(1+ )
х2
=, при цьому а
≤ .
За умовою -1 < (1+ ) < 1 < < 3,
- 1 < < 1 > > - 3.
Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.
Нерівність - 3 < виконується при всіх а ≤ , нерівність < 3 – при - 2 < а
≤ . Таким чином, припустимі значення параметра а
лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і інтервалу (-1; 1), дорівнює 0.
Відповідь
: 0.
5. При яких значеннях параметра а
число корінь рівняння
2
- х = 0 дорівнює а?
Рішення
: побудуємо ескіз графіка функції, в = 2
- х при цьому врахуємо, що функція в – парна і її графік – симетричний щодо осі ординат, у силу чого можна обмежитися побудовою тільки його правої частини ( х ≥ 0). Також урахуємо, що тричлен х2
- 8х + 7 має коріння х = 1 і х = 7, при х = 0 в = 7, а при х = 4 – мінімум, рівний – 9. На малюнку: пунктирними прямими зображена парабола
в = х2
- 8х + 7 з мінімумом умін
рівним - 9 при х хв
= 4, і коріннями х1
= 1 і х2
= 7;
суцільними лініями зображена частина параболи в = 2
– 8х + (1 < х < 7), отримана дзеркальним відбиттям щодо осі 0х частини параболи
х2
- 8х + 7 при 1 < х < 7.
(Ескіз лівої частини графіка функції при х < 0 можна одержати, відбивши ескіз правої частини графіка симетрично щодо осі 0у).
Проводячи горизонталі в = а
, а
N, одержуємо k крапок її перетинання з лініями ескізу графіка. Маємо:
а |
0 | [1; 6] | 7 | 8 | 9 | |
| к | 4 | 8 | 7 | 6 | 4 | 2 |
Таким чином, а
= k при а
= 7.
Відповідь
: 7.
6. Указати значення параметра а
, при якому рівняння
х4
+ (1 – 2а)х2
+ а2
– 4 = 0 має три різних корені.
Рішення
: усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінь, причому корінь однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.
Корінь заданого рівняння рівні:
х =
Одна з пар корінь буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а – 1) = (2а – 1)2
= 17 – 4а
4а2
– 4а +1 = 17 – 4а а = 2.
Відповідь
: 2.
Указати ціле значення параметра p
, при якому рівняння
cosx – 2sinx = + має рішення.
Рішення
: р
≥ 0; 2 – р
≥ 0 р
≤ 2; поєднуючи припустимі значення параметра р
, маємо:
0 ≤ р
≤ 2.
При р
= 0 вихідне рівняння приймає вид – 2sinх = 2х належить порожній множині ( у силу обмеженості синуса).
При р
= 1 вихідне рівняння приймає вид:
cosx-2sinx = +1.
Максимальне значення різниці (cosx-2sinx) становить
= (- sinx – 2cosx) = 0 tgx = -2, при цьому sinx =
sin (arctg(-2)) = , cosx – 2sinx = , що менше +1.
Отже, при р
= 1 рівняння рішень не має.
При р
= 2 вихідне рівняння приймає вид
.
Максимальне значення різниці становить при х = arctg(- ) (при цьому sinx = , cosx = ). Оскільки > +1, то рівняння = буде мати рішення.
Відповідь
: 2.
8. Визначити число натуральних n, при яких рівняння не має рішення.
Рішення
: х ≠ 0, n ? 10.
Рівняння х2
– 8х – n(n – 10) = 0 не має рішення, якщо його дискримінант менше 0, тобто 16 + n(n-10) < 0 n2
-10n +16 < 0 (n-2) (n-8) <0 2 < n < 8.
У знайденому інтервалі 5 натуральних чисел: 3, 4, 5, 6 і 7. З огляду на умову n ? 10, знаходимо, що загальне число натуральних n, при яких рівняння не має рішень, дорівнює 6.
Відповідь
: 6.
9. Знайти найменше ціле значення параметра а, при якому рівняння
(0 < х < ) має рішення.
Рішення
: за умовою 1 > sinx > 0 1 < < + ,
1 > cosx > 0 1 < < + ,
Отже, 2 < а < + .
Зводячи обидві частини заданого рівняння у квадрат, маємо:
= а2
= а2
= а2
.
Уведемо змінну z = . Тоді вихідне рівняння прийме вид:
z2
+ 2z – а2
= 0. Воно має рішення при будь-якому а,
оскільки його дискримінант
D = 1 + а2
позитивний при будь-якому а
.
З огляду на, що 2 < а
< + , містимо, що найменше ціле значення параметра а
, при якому задане рівняння має рішення дорівнює 3.
Відповідь: 3.
Висновок
Під час створення даного проекту ми вдосконалили свої старі знання по темі «Рівняння з параметрами, зв'язаних із властивостями показовою, логарифмічною й тригонометричною функціями » і якоюсь мірою одержали нові.
По завершенню роботи ми прийшли до висновку, що ця тема повинна вивчатися не тільки на елективних курсах і додаткових заняттях, але й у шкільній програмі, тому що вона формує логічне мислення й математичну культуру в школярів. Учням (студентам) знання по цій темі допоможуть здати незалежне оцінювання знань.
Література
1. П.І.Горнштейн, В.Б.Полонский, М.С.Якир Задачі з параметрами. – К., 2002.
2. Н.Ю.Глаголєва Задачі по математиці для вступників у вузи. – К., 1994р.
3. В.В.Лікоть Задачі з параметрами, - К., 2003р.
4. В.В.Ткачук Математика – абітурієнтові. – К., 1994р.
5. Г.А.Ястребинецький Рівняння й нерівності, що містять параметри. – К., 2004
6. А.Г.Мордкович Алгебра й початок аналізу. – К., 1997р.