Новый метод решения кубического уравнения

Автор: Фильчев Э.Г.

Решение кубического уравнения в системе mn параметров

Решение кубического уравнения на основе современных методов не представляется тривиальным. В любом справочнике по математике предлагаются следующие методы

- разложение левой части на линейные множители ( если возможно )

- с помощью формулы Кардана

- применение специальных таблиц

(см. например, И.Н.Бронштейн. К.А.Семендяев. Справочник по математике …М. Наука 1980. стр.219).

В данной статье рассматривается метод решения любых кубических уравнений включая неприводимый случай формулы Кардана!

Задача
"Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0.

Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ". Пусть а = 1.

Решение

На сайте fgg-fil1.narod.ru/fmat16.doc приведена, полученная автором, формула mn
преобразования степенной функции. Для кубического уравнения эта формула имеет вид

(2
mn
)2
+ ( 3
x
+
b
)(2
mn
) + 3
x
2

+ 2
bx
+с = 0 ( 1 )

где

x- любой из нулей ( корней) исходного уравнения

2mn - разность любой пары из трех нулей исходного уравнения

Решив уравнение (1) относительно х и подставив это значение в исходное уравнение, в результате, после простых, но громоздких преобразований, получим

(2mn)6
+2( 3c – b2
)(2mn)4
+(3c – b2
)2
(2mn)2
+ [ 4( 3c – b2
)3
+ ( 2b3
– 9bc + 27d )2
]/27 = 0 ( 2 )

Это уравнение устанавливает связь коэффициентов исходного уравнения с параметром (2mn) и является кубическим относительно (2mn)2. На основании формул Виета и уравнения (2) можно сделать следующее утверждение

Утверждение1 "Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 справедливы уравнения

3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)2

2(3c-b2) = - [(2mn)12+( 2mn)22+( 2mn)32 ]

[4(3c-b2)3+(2b3 - 9bc+27d)2]/27 = - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

где (2mn)j
- разность любой пары корней исходного уравнения.

x - один ( любой ) из корней исходного уравнения. "

1. Для любого кубического уравнения вида x3 + bx2+ cx + d = 0 определяем значение

D1

= -
= - (2mn)1
2
∙( 2mn)2
2
∙ ( 2mn)3
2

2. Определяем значение

D
2

= - 2( 3c –
b
2

) = - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32]

Из этих уравнений следует, что

- если выражение - 2(3c - ) - целое число, то оно разложимо на сумму трех квадратов

-
и если при этом выполняется равенство
D
1

= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32
, то в результате получим решение для (2mn)1,( 2mn)2,( 2mn)3.

3
. Определяем значение корней исходного уравнения

3
x
2
+ 2
bx
+
c
= - (2
mn
)1( 2
mn
)2

3x2 + 2bx + c
= (2mn)1( 2mn)2

3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c
= (2mn)1( 2mn)3

3x2 + 2bx + c
= - (2mn)2( 2mn)3

3
x
2
+ 2
bx
+
c
= (2
mn
)2( 2
mn
)3

Задача решена !

Пример 1
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2+ 23x - 15 = 0

где
a =1, b = - 9, c = 23, d = -15

Решение

1. Определяем значение
D1
= = -

-→ D1
= - [4(69-81)3+( - 1458 + 1863 - 405)2]/27= - [4(69-81)3+0]/27= 256 = 162

Обратим внимание, что в этом примере (2b3-9bc+27d) = 0

2.
Определяем значение
D2
= - 2(3c - )

-→ D2
= - 2( 3∙23 - 81 ) = 24 = 4 + 16 + 4

Это единственное разложение числа 24 на три квадрата. Следовательно

имеем (2mn)1
= 2, (2mn)2
= 4, (2mn)3
= 2.

3
. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1
3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 31 = 0. Нет действительных решений.

3.2
3
x
2
+ 2
bx
+
c
= (2
mn
)1( 2
mn
)2

-→ 3x2 - 18x + 23 = -> 3x2 - 18x + 15 = 0 -→ x2 - 6x + 5 = 0

-→ X
1

= 3 + 2 = 5
, X
2

= 3 - 2 = 1

Здесь
X
1

= 5
- одно из решений исходного уравнения.

Здесь
X
2

= 1 второе решение исходного уравнения.

3.3 3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = - -> 3x2 - 18x + 27 = 0 -→ x2 - 6x + 9 = 0

-→ X2
= 3

Здесь
X
= 3
- последнее из решений исходного уравнения.

3.4 3
x
2
+ 2
bx
+
c
= (2
mn
)1( 2
mn
)3

-→ 3x2 - 18x + 23 = 2∙2-→ 3x2 - 18x + 19 = 0. Нет решений исходного уравнения.

Задача решена!

Пример 2
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -20x2+ 113x - 154 = 0

где
a =1, b = - 20, c =113, d = -154

Решение

1. Определяем значение
D1
= -

-→D1
= - [4(339-400)3+( - 16000 + 20340 - 4158)2]/27= - [- 907924+33124]/27=32400

2.
Определяем значение
D2
= - 2(3c - )

-→ D2
= - 2( - 400 ) = 122 = 32
+ 72
+ 82
= 42
+ 52
+ 92

Здесь имеет место два представления числа 122 в виде суммы трех квадратов.

Поэтому, проверяем на соответствие с числом D1
= 32400.

2.1
32
∙ 72
∙ 82
= 28224 ≠ 32400

2.2
42
∙ 52
∙ 92
= 32400 . Этот вариант подходит!

-→ (2mn)11
= 4, (2mn)12
= - 4,

(2mn)21
= 5, (2mn)22
= - 5,

(2mn)31
= 9, (2mn)32
= - 9.

3
. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1
3x2 + 2bx + c
= - (2mn)1( 2mn)2

-→ 3x2 - 40x + 113 = - 4∙5-> 3x2 - 40x + 133 = 0.

-→ X
1

= 7,
X2
=

4.
Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1
= 7,
и кроме того, известны значения (2mn)11
÷ (2mn)32
. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1
Пусть (2mn)11
= 4 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

– 4 = 7 – 4 = 3. Нет решения(это не корень).

4.2
Пусть (2mn)12
= - 4 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

+ 4 = 7 + 4 = 11
. Это второй корень.

4.3
Пусть (2mn)21
= 5 = (X
2

-
X
3

) -→ X
3

= X
2

- 5 = 7 - 5 = 2
. Это третий корень.

Решением исходного уравнения будет X1
= 7
, X2
= 2,
X3
= 11.

Расчет закончен !

Пример 3
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -10x2 - 49x + 130 = 0

где
a =1, b = - 10, c = - 49, d = 130

Решение

1. Определяем значение
D1
= -

-→D1
= - [4( -147 - 100)3+( 2000 + 4410 - 3510)2]/27= - [- 60276892+8410000]/27= 1920996

2.
Определяем значение
D2
= - 2( 3c - )

-→ D2
= - 2( - 147 - 100 ) = 494 = 12
+ 32
+ 222
= 22
+ 72
+ 212
= 72
+ 112
+ 182

Из этих трех вариантов представления числа 494 в виде суммы трех квадратов подходит последний вариант , т.к. 72
∙ 112

182
= 1920996

-→ (2mn)11
= 7, (2mn)12
= - 7,

(2mn)21
= 11, (2mn)22
= - 11,

(2mn)31
= 18, (2mn)32
= - 18.

3
. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

3.1
3x2 + 2bx + c
= - (2mn)11( 2mn)21

-→ 3x2 - 20x - 49 = 7∙11-> 3x2 - 20x - 126 = 0. Эти значения X не подходят!

3.2

3x2 + 2bx + c
= (2mn)11( 2mn)22

-→ 3x2 - 20x - 49 =- 77 -→ 3x2 - 20x + 28 = 0.

-→ X1
= ,
X2
= 2 – это один из корней исходного уравнения!

4.
Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1
= 2,
и кроме того, известны значения (2mn)11
÷ (2mn)32
. Этих данных достаточно для определения двух остальных корней.

4.1
Пусть (2mn)11
= 7 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

– 7 = 2 – 7 = - 5
. Это второй корень!

4.2
Пусть (2mn)12
= - 7 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

+7 = 2 + 7 = 9. Это не корень.

4.3
Пусть (2mn)21
= 11 = (X
1

-
X
3

) -→ X
3

= X
1

- 11= 2 - 11 = - 9. Это не корень.

4.4
Пусть (2mn)21
= -11 = (X
1

-
X
3

) -→ X
3

= X
1

+ 11= 2 + 11 = 13. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1
= 2
, X2
= - 5,
X3
= 13.

Расчет закончен !

Пример 4
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -6.85x2 + 13.425x – 8.1 = 0

где
a =1, b = - 6.85, c = 13.425, d = - 8.1

В этом уравнении имеют место нецелые значения коэффициентов. Это указывает на то, что и корни также могут иметь нецелые значения.

Решение

1. Определяем значение
D1
= -

-→D1
= - [4( 40.275 – 46.9225)3+(- 642.83825 + 827.65125 – 218.7)2]/27

-→D1
= - [- 1174.9923236875+1148.328769]/27= 0.987539062500

2.
Определяем значение
D2
= - 2( 3c - )

-→ D2
= - 2(40.275 – 46.9225 ) = 13.2950

В этом случае имеют место дробные значения для D1
и D2
. Предлагаемый метод решения куб.уравнения оперирует только с целыми числами, поэтому необходимо умножить на 10k
.

При этом значение степени k должно определяться

- для D2
числом знаков в мантиссе ( для данного примера k2
= 4 )

- для D1
=3∙ (число знаков в мантиссе для D2
). -→ k1
= 3∙ k2
( для данного примера k1
= 12 ).

Для дальнейшего рассмотрения используем два числа

- D11
= 987539062500

- D21
= 132950.

3.
Далее задача заключается в том, чтобы определить три значения таких целых чисел ( А,Б,Д), при которых выполняются равенства D
21

= А2
+ Б2
+ Д2

и D
11

= А2
∙ Б2
∙ Д2

.

Для нахождения значений чисел А,Б,Д можно использовать две методики

- найти все варианты представления числа D21
в виде суммы трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D
21

= А2
+ Б2
+ Д2

и D
11

= А2
∙ Б2
∙ Д2

.

- найти все варианты представления числа D11
в виде произведения трех квадратов. При этом один из этих вариантов будет соответствовать условию D
21

= А2
+ Б2
+ Д2

и D
11

= А2
∙ Б2
∙ Д2

.

Вариант D
11

= А2
∙ Б2
∙ Д2

следует считать более удобным.

Для рассматриваемого примера

D11
= 987539062500 = 2502
∙ 2652
∙ 152

D21
= 132950 = 2502
+ 2652
+ 152
.

4.
В расчетах п.2 была произведена операция перехода к целым числам путем умножения соответствующих чисел на множители k1
и k2
. Совершая обратную операцию, получим

(2mn)11
= 2.5, (2mn)12
= - 2.5,

(2mn)21
= 2.65, (2mn)22
= - 2.65,

(2mn)31
= 0.15, (2mn)32
= - 0.15.

5
. Определяем значение нулей ( корней ) исходного уравнения

5.1
3
x
2
+ 2
bx
+
c
= - (2
mn
)11( 2
mn
)21

-→ 3x2 - 2∙(6.85)∙ x + 13.425 = (2.5)∙(2.65)-> 3x2 – 13.7x + 6.8 = 0.

-→ X1
= 4 – это один из корней исходного уравнения!

6.
Таким образом, определен один из корней исходного кубического уравнения X1
= 4,
и

кроме того, известны значения (2mn)11
÷ (2mn)32
. Этих данных достаточно для

определения двух остальных корней.

6.1
Пусть (2mn)11
= 2.5 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

– 2.5 = 4 – 2.5 = 1.5
. Это второй корень!

6.2
Пусть (2mn)12
= - 2.5 = (X
1

-
X
2

) -→ X
2

= X
1

+2.5 = 4 + 2.5 = 6.5. Это не корень.

6.3
Пусть (2mn)21
= 2.65 = (X
1

-
X
3

) -→ X
3

= X
1

– 2.65= 4 – 2.65 = 1.35
. Это третий корень!

Решением исходного уравнения будет X1
= 4
, X2
= 1.5,
X3
= 1.35.

Расчет закончен !

Неприводимый случай формулы Кардана

Если для кубического уравнения имеет место случай одного действительного и двух мнимых сопряженных корней, то такой вариант называют неприводимым случаем формулы Кардана.

Рассмотрим неприводимый случай формулы Кардана с позиций системы mn параметров.

Задача
"Задано кубическое уравнение вида ax3 + bx2+ cx + d = 0. Известно, что нули этого уравнения имеют один действительный и два мнимых сопряженных корня . Используя формулы системы mn параметров предложить метод определения нулей исходного уравнения ".

Пусть а = 1.

Решение

Ранее было показано, что для любого кубического уравнения имеют место формулы

D1
= - (2mn)12( 2mn)22( 2mn)32

D2
= - [(2mn)12 + ( 2mn)22 + ( 2mn)32
],

где

- (2mn)
j
- разность любой пары корней исходного уравнения

-
D1
= -

- D2
= - 2( 3c –
b
2

)

- ( b,c,d) – коэффициенты исходного уравнения.

По условиям задачи имеем один действительный корень ( обозначим его X
1

=
g
1

) и два сопряженных мнимых корня X
2

=
(
g
2

-
hi
),
X
3

= (
g
2

+
hi
).
Тогда

(2
mn
)1
= (
X
1

-
X
2

) = (g
1

-
g
2

) +
hi

(2
mn
)2
= (
X
1

-
X
3

) = (g
1

-
g
2

) –
hi

(2mn)3
= ( X2
- X3

) = g2
- hi - g2
– hi = - 2hi

-→ D1
= - ( 2mn)1
2
∙ ( 2mn)2
2
∙ ( 2mn)3
2
= - [(g1
- g2
) + hi]2
∙ [(g1
- g2
) - hi]2
∙ [2 hi]2

-→ D
1

= [(
g
1

-
g
2

)2
+
h
2

]2
∙ 4
h
2

Обратим внимание на то, что в этой формуле в квадратных скобках имеют место

- знак “ + “

- только действительные числа.

Таким образом, метод решения поставленной задачи заключается в следующем

1
. На основании значений коэффициентов исходного уравнения по формулам

D
1

= -

D
2

= - 2( 3c -
b
2

)

определяются значения D
1

и D
2

.

2.
Определяются D
1

- как произведение двух квадратов

D
2

- как удвоенная сумма
двух квадратов.

3.
Определяются значения g
1

,
g
2

,
h
.

4.
Определяются значения (2mn)11
, (2mn)21
, (2mn)31

5.
Определяются значения корней исходного уравнения.

Пример 5
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -9x2 + 73x – 265 = 0

где
a =1, b = - 9, c = 73, d = - 265

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение
D1
= -

-→D1
= - [4(219 – 81)3+(- 1458 + 5913 – 7155)2]/27 = - [ 10512288 + 7290000]/27= - 659344

2.
Для дальнейших расчетов общий знак “ -
“ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1
как положительную величину.

-→D1
= [(
g
1

-
g
2

)2
+
h
2

]2
∙ 4
h
2

= 659344 = 2∙2∙2∙2∙7∙7∙29∙29 = 4∙2∙2∙7∙7∙29∙29= 4∙72
∙ 582

Здесь число 659344 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(
g
1

-
g
2

)2
+
h
2

]2
∙ 4
h
2

. Тогда можно записать

h
= 7
, (g1
- g2
)2
+ h2
= 58 -→ (g1
- g2
)2
= 58 – 49 = 9 -→( g1
- g2
) = ± 3

3.
Для определения g1
и g2
воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1
+X2
+X3
-→ - ( - 9) = g1
+ g2
+ hi + g2
– hi = g1
+ 2 g2
-→ 9 = g1
+ 2g2.

4.
Теперь, имея два уравнения ( g1
- g2
)= ± 3 и (g1
+ 2 g2
) = 9, можно определить значения g1
и g2

Пусть ( g1
- g2
)= 3 -→ g2
= g1
– 3 -→ g1
+ 2(g1
– 3) = 9 -→ 3g1
= 15 -→ g
1

= 5
-→g
2

= 2.

-→ X
1

= 5,
X
2

= 2 + 7
i
,
X
3

= 2 – 7
i

Расчет закончен !

Пример 6
Решить уравнение с помощью формул системы mn параметров

x3 -30x2 + 322x – 1168 = 0

где
a =1, b = - 30, c = 322, d = - 1168

В этом уравнении имеет место неприводимый случай формулы Кардана.

Решение

1. Определяем значение
D1
= -

-→D1
= - [4(966 – 900)3+(- 54000 + 86940 – 31536)2]/27 = - [ 1149984 + 1971216]/27= - 115600

2.
Для дальнейших расчетов общий знак “ -
“ не имеет значения, поэтому будем рассматривать D1
как положительную величину.

-→D1
= [(
g
1

-
g
2

)2
+
h
2

]2
∙ 4
h
2

= 115600 = 2∙2∙2∙2∙5∙5∙17∙17 = 4∙2∙2∙5∙5∙17∙17= 4∙ 52
∙342

Здесь число 115600 представлено в виде всех сомножителей с целью наглядности формирования множителей в соответствии с формулой [(
g
1

-
g
2

)2
+
h
2

]2
∙ 4
h
2

. Тогда можно записать

h
= 5
, (g1
- g2
)2
+ h2
= 34 -→ (g1
- g2
)2
= 34 – 25 = 9 -→( g1
- g2
) = ± 3

3.
Для определения g1
и g2
воспользуемся свойством корней исходного уравнения

- b = X1
+X2
+X3
-→ - ( - 30) = g1
+ g2
+ hi + g2
– hi = g1
+ 2 g2
-→ 30 = g1
+ 2g2.

4.
Теперь, имея два уравнения ( g1
- g2
)= ± 3 и (g1
+ 2 g2
) = 30, можно определить значения g1
и g2

Пусть ( g1
- g2
)= - 3 -→ g2
= g1
– 3 -→ g1
+ 2(g1
– 3) = 30 -→ 3g1
= 24 -→ g
1

= 8
-→g
2

= 11.

-→ X
1

= 8,
X
2

= 11 + 5
i
,
X
3

= 2 – 5
i

Расчет закончен !

Новый метод решения кубических уравнений

Из анализа результатов вышеприведенных примеров можно предложить новый метод решения кубических уравнений..Для корней кубического уравнения могут

иметь место следующие случаи

- три корня имеют одинаковые действительные значения

- три корня имеют действительные значения, при этом два из них являются сопряженными, т.е. если X1
= g + h, то X2
= g – hили X1
= (g + h), то X2
= (g – h), Наличие множителя обусловлено численным значением коэффициента b
при X для X3
+ bX2
+ cX + d = ( X – X1
)∙( X2
+ b
X + c
) = 0.

- один корень имеет действительное значение, два других- комплексные и сопряженные, т.е. если X1
= g + ih, то X2
= g – ih.

Первый случай – тривиальный . (x – a )3
= x3
– 3ax2
+3a2
x – a3
= 0. Определение корней для остальных случаев является непростой задачей.

Три разных действительных корня

Пусть имеем один действительный корень ( обозначим его X
1

=
g
1

) и два сопряженных действительных корня. Если исходное уравнение разделить на разность ( X – g1
), то получим квадратное уравнение вида

[ X – (g2
+ h)]∙[ X – (g2
- h)] = 0

-→ X2
– 2g2
X + (g2
2
– h2
) = 0

-→ X1
= g1
, X2,3
= g2
± h
-→ X2
=
( g2
- h), X3
= ( g2
+ h)

-→ (2mn)1
= ( X1
- X2

) = (g1
- g2
) + h

(2mn)2
= ( X1
- X3

) = (g1
- g2
) – h

(2mn)3
= ( X2
- X3

) = g2
- h - g2
– h = - 2h

-→ D1
= - ( 2mn)1
2
∙ ( 2mn)2
2
∙ ( 2mn)3
2
= - [(g1
- g2
) + h]2
∙ [(g1
- g2
) - h]2
∙ [2h]2

-→ D1

= [(g1
- g2
)2
- h2
]2
∙ 4h2

(3)

-→ D2
= - [ (2mn)1
2
+ (2mn)2
2
+ (2mn)3
2
] = - [(g1
- g2
) + h]2
+ [(g1
- g2
) - h]2
+ 4h2

→ D2
= - [(g1
- g2
)2
+ 2(g1
- g2
)∙ h + h2
+ (g1
- g2
)2
- 2(g1
- g2
)∙ h + h2
+ 4h2
]

→ D
2

= - [ 2(
g
1

-
g
2

)2
+ 6
h
2

]
= - 2
[(
g
1

-
g
2

)2
+3
h
2

] (8)

На основании формул системы mn параметров имеем

D
1

= -
(4)

D
2

= - 2( 3c -
b
2

), (5)

где
b