Контрольная работа
По дисциплине «Математические методы и модели»
1.
Математическое моделирование задач коммерческой деятельности
Провести моделирование процесса выбора товара на основе следующих данных. Рассмотрим задачу выбора автомобиля. Составим таблицу множества показателей, по которым можно провести сравнение автомашин.
Таблица 1
| Модель автомобиля |
Снаряженная масса, кг |
Длина, мм |
Мощность двигателя, л.с. |
Максимальная скорость, км/ч |
Рабочий объем двигателя,см3
|
Расход топлива по смешанному циклу,л/100 км |
Емкость топливного бака, л. |
Цена, $. |
| HYUNDAI Accent |
1 080 |
4 260 |
102 |
181 |
1 495 |
7,5 |
45 |
12 920 |
| HYUNDAI Getz |
1 108 |
3 825 |
106 |
180 |
1 599 |
6,0 |
45 |
15 990 |
| HYUNDAI Elantra |
1 340 |
4 520 |
105 |
182 |
1 599 |
7,4 |
55 |
18 690 |
| HYUNDAI Sonata |
1 590 |
4 747 |
133 |
200 |
1 997 |
9,0 |
65 |
26 650 |
| HYUNDAI Matrix |
1 223 |
4 025 |
103 |
170 |
1 599 |
8,0 |
55 |
19 190 |
| HYUNDAI Trajet |
1 731 |
4 695 |
140 |
179 |
1 975 |
9,1 |
65 |
25 690 |
Теперь необходимо сформулировать множество показателей, по которым можно провести сравнение автомобилей. Выпишем из руководства по эксплуатации автомобилей наиболее существенные показатели ( табл. 2)
Таблица 2
| Показатели |
Обозначение |
Ед.измерения |
| Снаряженная масса |
М |
кг |
| Длина |
Дл |
мм |
| Мощность двигателя |
МД |
л.с |
| Максимальная скорость |
Vmax |
км/ч |
| Раб.объем двигателя |
Ро |
см3
|
| Расход топлива по смеш. циклу на 100 км |
РТ |
л |
| Емкость топливного бака |
Еб |
л |
| Цена |
Ц |
$ |
Сопоставим эти показатели с помощью метода парных сравнений, а результаты запишем в табл. 3, элемент которой определяется таким образом:
После заполнения матрицы элементами сравнения найдем по строкам суммы балов по каждому показателю:
где n – количество показателей, n=8
Правильность заполнения матрицы определяется равенством
Затем определяем коэффициенты весомости по формуле
Следует заметить, что
Таблица 3
| Показатель |
М |
Дл |
МД |
Vmax |
Pо |
РТ |
Еб |
Ц |
Сумма |
Мi
|
Ri
|
| М |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
2 |
0 |
6 |
0,094 |
6 |
| Дл |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
0,031 |
8 |
| МД |
2 |
2 |
1 |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
9 |
0,141 |
3 |
| Vmax |
1 |
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
6 |
0,094 |
5 |
| Ро |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
0 |
8 |
0,125 |
4 |
| РТ |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
0 |
13 |
0,203 |
2 |
| Еб |
0 |
2 |
2 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
5 |
0,078 |
7 |
| Ц |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
1 |
15 |
0,234 |
1 |
| 64 |
1 |
Распределим коэффициент показателей по рангу Ri
. На этом основании перечень потребительских характеристик будет иметь вид:
1) Ц – цена, $;
2) Рт – расход топлива на 100 км
3) МД – мощность двигателя, л.с.;
4) Ро – рабочий объем двигателя, л.;
5) V мах – максимальная скорость, км/ч.;
6) М – снаряженная масса, кг
7) Еб – емкость топливного бака, л.;
8) Дл – длина, мм
На основании полученных результатов составим таблицу бальных оценок первых четырех показателей.
Таблица 4
| Показатель |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
Mi
|
||||||||||||||
| Ц |
26 650 |
25 690 |
19 190 |
18 690 |
15 990 |
0,234 |
||||||||||||||
| Рт |
9,1 |
9,0 |
8,0 |
7,4 |
6,0 |
0,203 |
||||||||||||||
| МД |
103 |
105 |
106 |
133 |
140 |
0,141 |
||||||||||||||
| Ро |
1 599 |
1 599 |
1 599 |
1 975 |
1 997 |
0,125 |
На основании данных табл. 4 определим значения интегральных оценок для выбранных двух более нам подходящих автомобилей:
HYUNDAI Sonata и HYUNDAI Trajet
F (HYUNDAI Sonata) = 0,234·1+0,203·2+0,141·4+0,125·5=1,83
F (HYUNDAI Trajet) =0,234·2+0,203·1+0,141·5+0,125·4=1,88
Поскольку F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
Вывод: Сравнив множество показателей по которым мы сравнивали автомашины, получили, что F (HYUNDAI Trajet)> F (HYUNDAI Sonata), следует покупать автомобиль HYUNDAI Trajet.
2.
Методы и модели линейного программирования.
Фирма производит два безалкогольных широко популярных напитка " Колокольчик" и "Буратино". Для производства 1 л. " Колокольчика требуется 0, 002 ч работы оборудования, а для " Буратино" – 0,04 ч, а расход специального ингредиента на них составляет 0,01 кг и 0, 04 кг на 1 л соответственно. Ежедневно в распоряжении фирмы 16 кг специального ингредиента и 24 ч работы оборудования. Доход от продажи 1 л
" Колокольчика" составляет 0,25 руб., а " Буратино" – 0,35 руб.
Определите ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи.
Решение:
1) Составим математическую модель данной задачи:
Пусть X1
– количество " Колокольчиков";
Х2
– количество " Буратино", тогда как необходимо определить ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от их продажи, то целевая функция:
F(Х1
,Х2
) = 0,25Х1
+ 0,35Х2
мах
Система ограничений:
xj
2) Графическое решение задачи:
Представим каждое неравенство в виде равенства, т.е имеем уравнения прямых. Построим их, тогда система ограничений запишется в виде:
1) 0,02х1
+0,04х2
=24
2) 0,01х1
+0,04х2
=16
3) х1
=0
4) х2
=0
Преобразуем систему неравенств ( выразим Х2
через Х1
)
Построим на плоскости ( х1
,х2
) область допустимых значений согласно системе неравенств
x2
=24-0,5x1
| х1
|
0 |
20 |
| х2
|
24 |
14 |
х2
=16-4х1
| х1
|
0 |
4 |
| х2
|
16 |
0 |
Многоугольником допустимых решений является треугольник АВС. Построим вектор N =
Перемещаем линию уровня перпендикулярно вектору N в направлении вектора N до опорного положения.
Вершина в которой целевая функция принимает максимальное значение это вершина
С (20;13). Следовательно, ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет:
f(х1
;х2
)= 0,25*20+0,35*13=9,55
3) Классификация математической модели:
· По общему целевому назначению: прикладная модель;
· По степени агрегирования объектов: микроэкономическая модель;
· По конкретному предназначению: оптимизированная модель;
· По типу информации: идентифицированная модель;
· По учету фактора времени: статистическая модель;
· По учету фактора неопределенности: детерминированная модель;
· По типам математического аппарата: линейная модель;
· По типу подхода к изучаемым социально- экономическим системам: нормативная модель.
Вывод: Ежедневный план производства напитков каждого вида, обеспечивающий максимальный доход от продажи составляет 9,55 л.
3. Методы и модели теории игр
Определите максимальные стратегии игроков и седловую точку игры
| Игрок |
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
| А1
|
5 |
8 |
7 |
6 |
3 |
| А2
|
10 |
12 |
4 |
7 |
2 |
| А3
|
15 |
10 |
8 |
7 |
4 |
| А4
|
10 |
7 |
8 |
12 |
6 |
| А5
|
7 |
10 |
11 |
3 |
5 |
| А6
|
7 |
2 |
3 |
12 |
4 |
Решение: Строки матрицы соответствуют стратегиям Аi
(i=1,2,…,m), то есть стратегиям, которые выбирает игрок А. Столбцы – стратегии Вi
,то есть стратегии, которые выбирает игрок В.
· Игрок А выбирает такую стратегию, чтобы максимизировать свой минимальный выигрыш :
,
где а
– нижняя цена игры (гарантированный выигрыш игрока А)
· Игрок В выбирает такую стратегию, при которой его максимальный проигрыш
- минимизируется:
,
где - верхняя цена игры.
Составим расчетную таблицу.
коммерческий математический моделирование линейный программирование
| 1 2 |
В1
|
В2
|
В3
|
В4
|
В5
|
|
|
| А1
|
5 |
8 |
7 |
6 |
3 |
3 |
|
| А2
|
10 |
12 |
4 |
7 |
2 |
2 |
|
| А3
|
15 |
10 |
8 |
7 |
4 |
4 |
|
| А4
|
10 |
7 |
8 |
12 |
6
|
6 |
|
| А5
|
7 |
10 |
11 |
3 |
5 |
3 |
|
| А6
|
7 |
2 |
3 |
12 |
4 |
2 |
|
|
|
|
12 |
11 |
12 |
6 |
6 6 |
|
Этот выигрыш гарантирован игроку 1, как бы ни играл второй игрок.
Нижняя цена игры составляет 6
Минимальный проигрыш второго игрока
Получили, что первый игрок (А) должен выбрать пятую (А4
) стратегию, а второй игрок (В) должен выбрать четвертую (В5
) стратегию.
Итак, нижняя цена игры, или максимальный выигрыш: , верхняя цена игры, или минимальный выигрыш:
Нижняя и верхняя цена игры равны и достигаются на одной и той же паре стратегий
(А4
;В5
). Следовательно, игра имеет седловую точку (А4
;В5
).
Вывод: Игрок А должен выбрать четвертую стратегию, а игрок В пятую стратегию при этом выигрыш первого игрока будет максимальным из максимальных как бы ни играл второй игрок, а второй игрок минимально проиграет. Игра имеет седловую точку (А4
;В5
).