Основи теорії графів. Властивості ойлерових та гамільтонових графів

Зауважимо , що згідно з «лемою про рукостискання» - число вершин непарного степеня є парним.

Спробуємо для довільного графа вказати найменше число ланцюгів та-ких, що жодні два не мають спільних ребер і всі вони повністю накривають ра-зом весь граф. Очевидно, якщо на графі є таке сімейство ланцюгів , то кожна вершина непарного степеня повинна бути або початковою, або кінцевою вер-шиною якогось ланцюга. Загальне число вершин з непарним степенем згідно з лемою про рукостискання є парним, скажімо рівним . Таким чином, кожне сімейство ланцюгів, які накривають граф , повинно містити принаймні лан-цюгів.

Доведемо, що існування вершин з непарним степенем є і достатньою умовою існування ланцюгів, які накривають граф.

Теорема 2.4. На будь-якому зв’язному графі з вершинами непарного степеня існує сімейство ланцюгів, які в сукупності містять всі ребра графа в точності один раз кожне.

Доведення. Позначимо вершини з непарними степенями

Якщо ми додамо до нашого графу ребра

то всі вершини отриманого графа будуть парними і на ньому знайдеться ойле-рів цикл . При відкиданні доданих ребер цикл розпадеться на окремих ланцюгів , які містять всі ребра графа.

Граф , зображений на рисунку 2.8 має чотири вершини з непарним степе-нем і накривається двома ланцюгами і

Рис.2.8. Граф з непарним степенем вершин до теореми 2.4

В розважальній математиці ось уже впродовж декількох століть розгляд-даються задачі, які можна сформулювати як задачу пошуку певних маршрутів в графах, зокрема, пошуку ойлерових циклів.

Так, граф на рисунку 2.9. називається «шаблею Магомета», а ойлерів цикл необхідно побудувати за маршрутом, не відриваючи пера ручки від рисунку за одним разом ( тобто розчерком), викреслити фігуру, подану на рис.2.9.

Рис. 2.9. Ойлерів цикл в графі – «Шабля Магомета»

Більшість збірників математичних задач з розважальної математики містять задачі про лабіринти. Лабіринт складається з коридорів та їх перех-ресть. Отже , він може бути зображений графом, в якому ребра відповідають коридорам, а вершини – перехрестям.

Ойлеровим графом повинен бути і план огляду будь-якої виставки, і вздовж приміщень виставки потрібно розставити покажчики обходу таким шля-хом, щоб кожен експонат був оглянутий рівно один раз.

Рис.2.10. Застосування апарату ойлерових циклів при розв’язанні задач “маршрут виставки» [3]

Припустимо, що експонати розташовані з обох сторін шляху, який про-ходить територією виставки. Виявляється, що тоді, яким би не був відповідний граф ( або лишень він був зв’язний), можна провести відвідувача так, щоб кож-ний шлях був пройдений двічі-по одному разу в кожному напрямі (див.рис.2.10).

Теорема 2.5. В зв’язному графі існує орієнтований цикл, який проходить через ребро по одному разу в кожному з двох напрямів.

Доведення.

Сформулюємо загальне правило побудови ланцюга, який проходить взовж всіх ребер графа в точності по одному разу в кожному напрямі. Розпоч-немо з довільної вершини і пройдемо вздовж , відзначивши це ребро маленькою стрілкою в точці , яка показує вибраний напрям. Потім перехо-димо послідовно до інших вершин. Одній й ті ж вершини можна відвідувати і декілька раз. Кожного разу , потрапивши в якусь вершину, ми будемо ставити на відповідному ребрі стрілку, яка вказує напрям прибуття. Крім того, потрап-ляючи в якусь вершину вперше, ми як-небудь відзначимо вхідне ребро, щоб потім його можна було відрізнити від інших.

Рис.2.11. Граф до теореми 2.5 [3]

Виходячи з вершини , ми завжди будемо обирати ще невикористаний напрям: або ребро, по якому ми зовсім не проходили, або ребро помічене стріл-кою, яка вказує на те, що ми по ньому вже були. Домовимось також, що тільки тоді , коли у нас немає вибору, ми використаємо для виходу ребро, яким впер-ше прийшли в цю вершину.

Будемо продовжувати шлях до тих пір, коли це взагалі можливо .В кож-ній вершині є однакове число можливостей для входу і для виходу. Тому рух може закінчитися лише в точці . Залишається перевірити , що у всіх верши-нах всі ребра будуть пройдені в обох напрямах.

Для точки це ясно-всі ребра, які виходять , будуть використані, оскіль-ки в протилежному випадку ми могли б рухатися далі ; тому і всі ребра , які входять, також будуть використані, бо їх число дорівнює числу ребер, які ви-ходять. Зокрема, ребро буде пройдено в обох напрямках. Але це означає , що всі ребра , які інцидентні , також будуть пройдені в обох напрямах, бо перше ребро, яке входить в , ребро , за умовою, повинно використову-ватися для виходу лише в останню чергу. Теж саме міркування можна застосу-вати до наступного ребра і наступної вершини і так далі.

Отже, в усіх вершинах , які будуть досягнуті, всі ребра виявляться прой-деними в обох напрямах. Оскільки наш граф є зв’язним, це означає, що він буде повністю обійденим.

Зауважимо, що описаний метод обходу графа може бути використаний для розв’язання задач , пов’язаних з пошуками маршрутів виходу з лабіринтів.

2.3 Приклади ойлерових графів

Нехай є кілька різних вакантних посад і група людей, які бажають їх зайняти, причому кожен із претендентів достатньо кваліфікований для кількох, але не для всіх наявних посад.

Чи можна кожному з цих людей надати одну з тих посад, які йому підло-дять?

Ми можемо знову проілюструвати цю задачу за допомогою деякого графа, що в даному випадку виглядає особливо. Як уже сказано, є певна група людей, яку ми позначимо як М і деяка множина посад, Р. Будуємо граф, проводячи ребра (м,р), що з’єднує кожну людину м з тими посадами р, які він може зайняти. На цьому графі не буде ребер, що з’єднують між собою дві вершини М чи Р, тому такий граф має вигляд, наведений на рис.2.12:

Рис.2.12. Граф для рішення задачі про призначення на посаду

Завжди знайти підходяще місце для кожного претендента ми не можемо: для цього необхідно, щоб посад було не менше ніж претендентів. Але цього недостатньо.

Нехай, наприклад, група претендентів складається з двох столярів і людини, яка може працювати і столяром і сантехніком, і для них є чотири посади: одне місце столяра і три місця сантехніка. Тоді, очевидно, один столяр залишиться без роботи, хоча в даному випадку місць більше ніж претендентів, і хоча серед претендентів є люди що можуть працювати на двох посадах.

Припустимо, що загальна кількість претендентів - N. Для виконання задачі повинна виконуватись наступна умова:

Яку б групу із k чоловік, k=1,2,...,N, ми не взяли, повинно бути принаймні k посад, кожну з яких може займати хоча б один із наших претендентів.

Наприклад, якщо один з людей є столяром, а другий - одночасно і столя-ром і сантехніка і якщо є два місця сантехніка, то наша умова виконується при k=2, але не виконується при k=1, тому вказані люди не можуть одночасно влаштуватися на роботу.

Виділену умову ми коротко назвемо умовою різноманітності.

Висновок: вищенаведена задача може використовуватись працівниками служби зайнятості для правильного розміщення працівників на посади.

Приклад 2.2. Інші формулювання

Ця задача, про встановлення на графі деякої відповідності між його вер-шинами, може мати і багато інших формулювань.

Припустимо, наприклад, що у нас є група із k хлопців і k дівчат. Дехто з них уже знайомі між собою, і виникає питання: в якому випадку можна розбити цих молодих людей не пари для танців так, щоб всі хлопці танцювали зі знайо-мими дівчатами?

Можна також змінити цю задачу: в маленькому селі є однакова кількість дорослих хлопців і дівчат; звичаєм не допускається, щоб хлопець одружувався на близькій родичці - сестрі, названій сестрі або двоюрідній сестрі. За якої умо-ви для хлопця знайдеться наречена з цього села? Знову ми можемо розв’язати цю задачу за допомогою дводольного графа - в цьому випадку його вершини будуть з’єднані ребрами лише тоді, коли відповідні люди не є родичами.

А ось іще один варіант цієї задачі. В нашій школі є кілька гуртків: C1,C2,…,CN. Кожен із цих гуртків повинен мати старосту.

Для того щоб виключити перевантаження учнів, була поставлена умова, щоб жоден учень не був старостою більш, ніж одного гуртка. За якої умови це можливо?

Зрозуміло, що це можливо не завжди; якщо кількість гуртків в порівняно невеликій школі дужу велика, то це неможливо.

Щоб розв’язати цю задачу, ми знову звернемось до дводольного графа.

В цьому випадку одна множина вершин графа складатиметься із N гуртків,

А інша множина вершин P - це множина всіх учнів школи. Ми проводимо ребро від гуртка С1 до учня р в тому випадку, якщо р є членом С1. При цьому умова різноманітності перетворюється в наступне: кожна група із k гуртків (при k = 1, 2,..., N) повинна включати щонайменше k різних учнів. Згідно вище вказаному - це та умова за якої гуртки можуть мати різних старост.

Якщо кількість гуртків занадто велика, не завжди легко довести спра-ведливість умови різноманітності. Тому поставимо питання: Чи можна вказати яке-небудь просте правило формування гуртків, що гарантує можливість вибо-ру для них різних старост?

Це дійсно можливо. Для того щоб показати, що ми маємо на увазі, припустимо, що кожен гурток складається принаймні з п’яти учнів. Тоді на відповідному графі із кожної вершини множини С буде виходити принаймні 5 ребер. Для групи із k гуртків буде не менше 5k ребер, що виходять із відповідних вершин С до вершин із Р (додаток 2, де k = 4).

Рис.2.13. Граф для вирішення задачі вибору

Тепер, якщо нам буде потрібно, щоб кожен учень брав участь не більше, ніж в п’яти гуртках, це означатиме, що ребра від k гуртків повинні йти при-наймні до k вершин із Р, і, відповідно, умова різноманітності буде виконана.

Ці думки є повністю загальними, тож ми можемо сформулювати наступний результат.

РОЗДІЛ ІІІ ГАМІЛЬТОНОВІ ГРАФИ

3.1
Сутність гамільтонових графів

Ейлерові цикли характеризуються властивістю проходити по одному разу черезкожне ребро графа, а гамільтонові цикли — через кожну вершину.

Назва гамільтонів граф виникла у зв язку з тим , що в 1859 році відомий ірландський математик сер Вільям Гамільтон випустив до продажу своєрідну іграшкову головоломку . ЇЇ основою частиною був правильний додекаедр, зроблений з дерева (рис.3.1). Це один з так званих правильних багатогранників: його граням є 12 правильних п’ятикутників, в кожній з його вершин сходиться три ребра. Кожна з вершин гамільтонового додекаедра була позначена назвою одного з крупних міст Земної кулі –Брюсель, Кантон, Делі, Лондон і так далі. Задача полягає в знаходженні шляху вздовж ребер додекаедра, який проходить через кожне місто в точності один раз. Гамільтонів цикл на додекаедрі не пок-риває, звичайно, всіх ребер додекаедра, бо в кожній вершині він проходить в точності по двох ребрах.

Рис.3.1. Гамільтонів цикл у додекаедрі [4]

3.2 Основні поняття та означення

Означення 3.1.

Зв’язний граф називається гамільтоновим графом , якщо існує замкнений ланцюг, який проходить через кожну вершину графа рівно один раз.

Означення.3.2 .

Зв’язний граф називається напівгамільтоновим , якщо існує ланцюг , який проходить через кожну його вершину рівно один раз.

Не дивлячись на подібність в означеннях ойлерових та гамільтонових графів, відповідно теорії для цих класів графів сильно відрізняються.

До теорії гамільтонових графів відноситься і задача про бродячого тор-говця, або задача про комівояжера.В задачі про бродячого торговця мова йде про деякий район, та торговця , який повинен відвідати певну кількість міст цього району. Відстані між містами відомі, і треба знайти найкоротший шлях , який проходить через всі міста і закінчується в початковому пункті.

Міста можна зображати вершинами деякого графа, в якому кожній парі вершин приписана відстань . Мова йде про пошук гамільтонового циклу , для якого сума є мінімальною.

Оскільки розглядається скінченне число вершин , то задача розв’язана (при невеликій кількості вершин) шляхом простого перебору. Ефективних алго-ритмів для розв’ язання цієї задачі не створено, хоча цій проблемі присвячено багато досліджень.

Встановлено різні достатні умови гамільтоновості графа . Сформулюємо дві з них.

Теорема 3.1.( О.Оре , 1960).Якщо для будь-якої пари і несуміжних вершин графа з вершинами має місце нерівніть

(3.1)

то граф гамільтонів.

Нагадаємо , що степінь вершини , тобто число ребер , які виходять з вершини .

Доведення.

Будемо доводити від супротивного.Припустимо , що існує негамільтонів граф з вершинами, в якому для будь-якої пари несуміжних вершин і виконується умова (3.1).Додавання до графа нових ребер не порушує умову (3.1).Позначимо через максимальний негамільтонів граф , тобто таrий граф , приєднання до якого нового ребра перетворює граф на гамільтонів. Вочевидь, не може бути повним графом, бо повний граф гамільтонів. Тому в існує пара несуміжних вершин і . Приєднання до ребра перетворює граф на гамільтонів в силу максимальної негамільтоновості . Таким чином , існує гамільтонів ланцюг. який сполучає і , він проходить через всі вершини ( рисунок 3.2)

Рис. 3.2. Гамільтонів ланцюг (1)

Оточимо кожну з , які суміжні з , кружечком, і вершину , яка лежить лівіше, квадратиком так, як зображено на рисунку, поданому нижче:

Рис. 3.3. Гамільтонів ланцюг(2)

з цих вершин оточені кружечком;

з цих вершин оточені квардатиком;

- не оточені квадратиком.

Зазначимо , що в силу умови теореми

Звідси випливає , що вершина суміжна з деякою вершиною, яка оточена квадратиком . Таким чином , виходить , що граф має гамільтонів цикл , зображений на рисунку 3.4

Рис.3.4. Гамільтонів ланцюг(3)

Отже прийшли до суперечності . Теорема доведена.

З теореми 3.1 випливає наступна теорема.

Теорема 3.2 (Г.Дірака, 1952) Якщо для будь-якої вершини графа з вершинами виконується нерівність , то граф гамільтонів.

Доведення. Від супротивного. Нехай — не гамільтонів. Додамо до мінімальну кількість нових вершин , … ,, з'єднуючи їх з усіма вершинами так, щоб := + + … + був гамільтонів.

Нехай , , , … ,— гамільтонів цикл у графі , причому , , . Така пари вершин і у гамільтоновому циклі обов'язково знайдеться, інакше граф був би гамільтонов. Тоді , {,…,},інакше вершина була б не потрібна. Більше того, вершина несуміжна з вершиною , інакше вершина була б не потрібна.

Далі, якщо в циклі , , , … ,,, … , є вершина , суміжна з вершиною w, те вершина v’ несуміжна з вершиною v, тому що інакше можна було б побудувати гамільтонов цикл ,, … ,,, … , без вершини , взявши послідовність вершин , … , у зворотному порядку. Звідси треба, що число вершин графа , не суміжних з , не менш числа вершин, суміжних з . Але для будь-якої вершини графа d() ≥ p/2+n по побудові, у тому числі d() p/2+n. Загальне число вершин (суміжних і не суміжних з ) становить n+ p-1. Таким чином, маємо:

n+ p-1 = d(v)+d(V) ≥ d(w)+d(v) ≥ p/2+n+p/2+n = 2n+p.

Отже, 0 n+1, що суперечить тому, що n > 0. Теорема доведена.

3.3 Приклади гамільтонових графів

Приклад 3.1. Знайти всі гамільтонові цикли для графа, наведеного на рис.3. 5 [10]

Рис.3.5. Пошук всіх гамільтонових циклів для орієнтованого графа

Таблиця 3.1

Результати пошуку гамільтонових циклів

Приклад 3.2. Знайти найкоротший гамільтонов цикл в задачі «комівояжера» для 6 –міст, розташованих згідно графу на рис.3.6 [10]

Рис.3.6. Графи при вирішенні задачі «комівояжера» [ ]

Результати розрахунків довжини «гамільтонових циклів» в задачі «комівояжера» (рис.3.6) наведені в табл.3.2

Таблиця 3.2

Результати розрахунків довжини «гамільтонових циклів»

Приклад 3.3. Покажіть, що граф, зображений на рисунку 3.7, не є гамільтоновим [11].

Рис. 3.7. Приклад не гамільтонового графа

Розв’язання.

Припустимо, що в зв’язному графізнайдеться гамільтонов цикл. Кожна вершина v
включается в гамільтонів цикл С
виборомдвох інцидентних з нею ребер, а значить, степінь кожної вершинив гамільтоновому циклі (післявида-лення зайвих ребер)дорівнює2. Степень вершин даного графа — 2 чи 3. Вер-шини степеня 2входять в цикл разом зобома інцидентними з ними ребрами. Отже,ребра аb, ае, cd, cb, hi, hg
и ij
утім або іншому порядкувходять в гаміль-тонов цикл С (
див. рис. 3.8).

Ребро bf
не можебути частиною циклуС, оскількикожнавершина

Такого циклу повинна мати ступінь 2. Значить, ребра fj
іfg
зобов'язані входити в цикл С, щоб включити в нього вершину f
. Алетоді ребра je
и gd
ніякне мо-жутьналежатициклу С,оскількиу противномувипадку у ньому з'являться вершини степеня три.Це змушує нас включити в цикл ребро ed, що приводить нас до протиріччя: ребра, котрі ми були змушені вибрати, утворюютьдва незв'язних цикла, а не один, існування котрого миприпускали. Висновок: граф, зображений на рисунку 3.8, не є гамільтоновим

Рис.3.8. До доведення негамільтоновості графа

ВИСНОВКИ

Теорія графів — це розділ дискретної математики, особливістю якого є геометричний підхід до вивчення об'єктів. Основне поняття теорії — граф. Поняття графа опирається на основні поняття теорії множин, тому що граф можна розглядати як об'єкт, що складається із двох множин — множини крапок (вершин) X і множини ліній (ребер) W, які з'єднують деякі вершини, кожне ребро являє собою неупорядковану пару вершин із множини X. При цьому зовсім несуттєво, чи з'єднані вершини графа відрізками прямих ліній або криволінійних дуг, яка довжина ліній, як розташовані вершини графа на площини й інші геометричні характеристики графа.

Останнім часом графи і пов’язані з ними методи досліджень використовуються практично в усіх розділах сучасної математики і, зокрема, дискретної математики.

Граф є математичною моделлю найрізноманітніших об’єктів, явищ і процесів, що досліджуються і використовуються в науці, техніці та на практиці. Коротко опишемо найвідоміші застосування теорії графів.

Наприклад, у вигляді графа можуть бути зображені:

- електричні і транспортні мережі;

- інформаційні і комп’ютерні мережі;

- карти автомобільних, залізничних і повітряних шляхів, газо- і нафтопроводів;

- моделі кристалів;

- структури молекул хімічних речовин;

- моделі ігор;

- різні математичні об’єкти (відношення, частково впорядковані множини, решітки, автомати, ланцюги Маркова, алгоритми і програми тощо);

- лабіринти;

- плани діяльності або плани виконання певних робіт (розклади);

- генеалогічні дерева тощо.

Приклади застосування теорії графів:

- пошук зв’язних компонентів у комунікаційних мережах;

- пошук найкоротших, “найдешевших” та “найдорожчих” шляхів у комунікаційних мережах;

- побудова кістякового дерева: зв’язність з найменшою можливою кількістю ребер;

- пошук максимальної течії для транспортної мережі, в якій визначено вхідні та вихідні вершини та пропускні спроможності ребер;

- ізоморфізм графів: ідентичність структур молекул (ізометрія);

- знаходження циклів графів:

- гамільтонів цикл: обійти всі вершини графа, побувавши в кожній з них лише один раз (задача комівояжера);

- ейлерів цикл: обійти всі ребра (контроль дієздатності мережі);

- розфарбування графів: розфарбування географічних карт, укладання розкладів, розміщення ресурсів тощо;

- планарність графів: проектування друкованих електронних та електричних схем, транспортних розв’язок тощо;

- знаходження центрів графа: вершин, максимальна відстань від яких до всіх інших вершин графа є мінімальною (“столиць”).

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Белов В.В. и др. Теория графов:учебное пособие для втузов.- М.: „Высшая школа”,1976. – 392 с.

2. Березина Л.Ю. Графы и их применение. – М.: Просвещение, 1979. – 143 с.

3. Гервер М. Трехзначные числа и орграфы // Журнал «Квант», Москва, МЦНМО, 1987, №2

4. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженеров. / О.П. Кузнецов, Г.М. Адельсон–Вельский – 2–е изд., перераб. и доп. – М.: Энергоатомиздат, 1988 – 400 с.: ил.

5. Мелихов А.Н. применение графов для проектирования дискретных устройств. / А.Н. Мелихов, Л.С. Бернштейн, В.М. Курейчик – М.: Наука, 1974. 304 с.: ил.

6. Уилсон Р. Введение в теорію графов. – М.: Мир, 1777. – 208 с.

7. Оре О. Графы и их применение. – М.: Изд-во „Мир”, 1965.- 174 с.

8. Оре О. Теория графов. –2-е изд.- М.: „Наука”, 1980.- 205 с.

9. Уилсон Р. Введение в теорію графов. – М.: Мир, 1777. – 208 с.

10. Хаггарти Р Дискретная математика для программистов. – М.: «Техносфера», 2003. – 320 с.

11. Ядренко М.Й. Дискретна математика : навчальний посібник. – К.: Вид. – поліграф.центр „Експрес”, 2003. – 244 с.