Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Курсовая работа
О МИНИМАЛЬНЫХ -ЗАМКНУТЫХ ТОТАЛЬНО НАСЫЩЕННЫХ НЕ -ФОРМАЦИЯХ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
Исполнитель:
Студентка группы М-32 Макаренко Л.А.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Сафонов В.Г.
Гомель 2006
Содержание
Введение
1. Определения и обозначения
2. Используемые результаты
3. Основные результаты
Заключение
Литература
Введение
Все рассматриваемые в работе группы предполагаются конечными. Используемую терминологию можно найти в [1, 2].
При изучении внутреннего строения, а также классификации насыщенных формаций важную роль играют так называемые минимальные насыщенные не -формации [3] или -критические формации [4]. Напомним, что насыщенная формация , называется минимальной насыщенной не -формацией, если все собственные насыщенные подформации содержатся в классе групп . Задача изучения формаций такого рода впервые была поставлена Л.А. Шеметковым на VI симпозиуме по теории групп [3]. Ее решение, в классе насыщенных формаций, получено А.Н. Скибой [5].
В теории тотально насыщенных формаций изучение минимальных тотально насыщенных не -формаций было начато А.Н.Скибой в книге [2], где было дано описание разрешимых минимальных тотально насыщенных не -формаций ( – формация всех разрешимых групп нильпотентной длины ). В работах автора [6-10] теория минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций получила свое дальнейшее развитие. Основными результатами в этом направлении являются следующие теоремы.
Теорема 1 [10].
Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда
– минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
, где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Теорема 2 [10].
Пусть и – -замкнутые тотально насыщенные формации, . Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация когда удовлетворяет одному из следующих условий:
1) , где – такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что справедливо включение
, где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
2) ,
где и ;
3) ,
где , а – такая монолитическая группа с неабелевой минимальной нормальной подгруппой , что совпадает с -корадикалом группы , и
.
В настоящей работе, основываясь на результатах работы [10], мы даем описание -критических формаций для некоторых наиболее известных формаций .
1. Определения и обозначения
Напомним, что всякую формацию групп называют 0-кратно насыщенной
. При формацию называют -кратно насыщенной
, если она имеет такой локальный экран, все непустые значения которого – -кратно насыщенные формации. Формацию -кратно насыщенную для любого целого неотрицательного называют тотально насыщенной
.
Подгрупповым функтором
[2] называют отображение сопоставляющее каждой группе такую систему ее подгрупп , что: 1) ; 2) для любых групп и и любого эпиморфизма имеет место и
Тотально насыщенную формацию называют -замкнутой
, если для любой группы . -Замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией
(или, иначе, -критической
), если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп .
Пусть – -замкнутая формация. Группа называется -минимальной не -группой
, если , но для любой собственной подгруппы из .
Для всякой совокупности групп через обозначают -замкнутую тотально насыщенную формацию, порожденную классом групп
, т.е. пересечение всех -замкнутых тотально насыщенных формаций, содержащих . Если , то называют однопорожденной
-замкнутой тотально насыщенной формацией. Для любых -замкнутых тотально насыщенных формаций и полагают . Частично упорядоченное по включению множество всех -замкнутых тотально насыщенных формаций с операциями и образует полную решетку. Формации из называют -формациями.
Экран, все непустые значения которого -формации, называют -значным
. Если – -формация, то через обозначают её минимальный -значный локальный экран
.
Для произвольной последовательности простых чисел и всякой совокупности групп класс групп определяют следующим образом:
1) ; 2) .
Последовательность простых чисел называют подходящей
для , если и для любого число . Множество всех подходящих для последовательностей обозначают через . Символом обозначают совокупность всех таких последовательностей из , у которых при всех .
Пусть – некоторая подходящая для последовательность. Тогда -значный локальный экран определяют следующим образом:
1) ; 2) .
В дальнейшем через будем обозначать некоторое непустое множество простых чисел.
2. Используемые результаты
Лемма 2.1 [9].
Пусть – монолитическая группа,
– неабелева группа. Тогда
имеет единственную максимальную -подформацию
, где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . В частности,
.
Лемма 2.2 [2,
c
. 33].
Пусть
, где – непустой класс групп. Тогда если – минимальный -значный экран формации , то справедливы следующие утверждения:
1) ;
2)
при всех простых числах ;
3) если – произвольный -значный экран формации , то при любом имеет место
Следующая лемма является частным случаем теоремы 2.5.5 [2, c. 94].
Лемма 2.3.
Пусть , – -замкнутые тотально насыщенные формации, , – канонический экран формации . Тогда является -критической формацией в том и только в том случае, когда
, где – такая монолитическая -минимальная не -группа с монолитом , что для всех формация -критична.
3. Основные результаты
Теоремы 1 и 2 могут быть использованы для нахождения описания минимальных -замкнутых тотально насыщенных не -формаций для большинства «классических», наиболее часто используемых в приложениях классов групп , поскольку большинство из них являются наследственными тотально насыщенными формациями. Приведем описание -критических формаций для некоторых конкретных классов групп.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разрешимые формации.
Напомним, что группу называют -разрешимой, если для каждого ее главного -фактора . Пусть – формация всех -разрешимых групп. Тогда, очевидно, . Класс всех -разрешимых групп является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима
.
Доказательство.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то – неабелева группа и . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность.
Пусть , где – группа из условия теоремы. Ввиду леммы 2.1 формация имеет единственную максимальную -замкнутая тотально насыщенную подформацию , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы . Поскольку и , то . Следовательно, – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.1.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая -минимальная не -разрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима.
Следствие 3.1.2 [9].
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где – монолитическая -минимальная неразрешимая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима.
Если
– тривиальный подгрупповой функтор, т.е. из теоремы 3.1 вытекает
Следствие 3.1.3.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что и группа -разрешима
.
Следствие 3.1.4 [7].
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где – монолитическая группа с таким неабелевым монолитом , что группа разрешима
.
В случае, когда – совокупность всех подгрупп группы из теоремы 3.1 получаем
Следствие 3.1.5.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.6.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – простая неабелева минимальная не -разрешимая группа.
Следствие 3.1.7.
Тогда и только тогда – минимальная наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где – простая неабелева минимальная неразрешимая группа.
Если – совокупность всех нормальных подгрупп группы имеем
Следствие 3.1.8.
Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – простая неабелева -группа.
Следствие 3.1.9.
Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная не -разрешимая формация, когда
, где – простая неабелева -группа.
Следствие 3.1.10.
Тогда и только тогда – минимальная нормально наследственная тотально насыщенная неразрешимая формация, когда
, где – простая неабелева группа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -нильпотентные формации.
Группа называется -нильпотентной, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу для каждого . Класс всех -нильпотентных групп совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть формацию всех -нильпотентных групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. В силу теоремы 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -нильпотентная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то первые два случая невозможны. Поэтому – абелева -группа, где . По лемме 2.2 имеем . Поэтому , где – группа простого порядка. Таким образом, – не -нильпотентная группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -нильпотентная группа Шмидта. Поскольку насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа группы , а – группа простого порядка . Так как группа и все собственные подгруппы из нильпотентны, а следовательно, и -нильпотентны, то – -минимальная не -нильпотентная группа и – -нильпотентный корадикал группы . Используя теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация. Теорема доказана.
Используя теорему 2, получим
Следствие 3.2.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где и – различные простые числа, .
В случае, когда из теорем 3.2 и 2 вытекают
Следствие 3.2.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где – не -нильпотентная группа Шмидта.
Следствие 3.2.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -нильпотентная формация, когда
, где – отличное
простое число.
Если теперь – множество всех простых чисел из теоремы 3.2 получаем
С
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.2.5.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где и – различные простые числа.
Следствие 3.2.6 [7].
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная ненильпотентная формация, когда
, где и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -замкнутые формации.
Напомним, что группа называется -замкнутой, если она имеет нормальную -холловскую подгруппу. Формация всех -замкнутых групп, очевидно, совпадает с произведением и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через формацию всех -замкнутых групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. По теореме 1 имеем , где – такая монолитическая -минимальная не -замкнутая группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Так как , то . Если – неабелева группа, то по лемме 2.2 имеем . Значит, Противоречие. Поэтому – абелева -группа, где . Значит, для некоторой максимальной подгруппы группы . В силу леммы 2.3 получаем, что – -критическая формация. Согласно лемме 2.2 имеем . Так как , то – группа простого порядка . Таким образом, – не -замкнутая группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -замкнутая группа Шмидта. Так как – насыщенная формация, то не ограничивая общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , , – группа простого порядка . Так как группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -замкнуты, то – -минимальная не -замкнутая группа и её -замкнутый корадикал. Теперь, в силу теоремы 1, мы можем заключить, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.3.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где и
.
В случае, когда из теоремы 3.3 вытекает
Следствие 3.3.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где – не -замкнутая группа Шмидта.
Следствие 3.3.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -замкнутая формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -специальные формации.
Группа называется -специальной, если она обладает нильпотентной нормальной -холловской подгруппой. Понятно, что совокупность всех -специальных групп совпадает с классом и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.4.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.
Доказательство.
Пусть обозначает формацию всех -специальных групп.
Необходимость.
Если – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, то по теореме 1 имеет место , где – такая монолитическая -минимальная не -специальная группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку , то случай 1) не имеет место и . Если – неабелева группа, то в силу леммы 2.1 имеем . Поэтому и . Пусть и . Тогда в силу леммы 2.1 имеет место включение. Противоречие. Поэтому невозможен и случай 2). Следовательно, – абелева -группа. Так как имеют место равенства , то , где – группа порядка . Таким образом, – не -специальная группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -специальная группа Шмидта. Тогда . Поскольку – насыщенная формация, то без ограничения общности можно считать, что . Поэтому , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка . Ввиду того, что группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а следовательно, и -специальны, то – -минимальная не -специальная группа и её -специальный корадикал. Привлекая теперь теорему 1 заключаем, что – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация. Теорема доказана.
Следствие 3.4.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где и – различные простые числа, .
В случае, когда из теоремы 3.4 вытекает
Следствие 3.4.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – не -специальная группа Шмидта.
Следствие 3.4.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -специальная формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -разложимые формации.
Группа называется -разложимой, если она одновременно -специальна и -замкнута.
Класс всех -разложимых групп совпадает с пересечением и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.5.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.
Доказательство.
Обозначим через формацию всех -разложимых групп.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не - разложимая формация. В силу теорем 3.3 и 3.4 имеем , где – такая группа Шмидта, что . Таким образом, – не - разложимая группа Шмидта.
Достаточность.
Пусть , где – не -разложимая группа Шмидта. Поэтому . Ввиду насыщенности формации можно считать, что . Значит, , где – минимальная нормальная -подгруппа , а – группа простого порядка. Поскольку группа и любая собственная подгруппа из нильпотентны, а значит, и -разложимы, то – -минимальная не -разложимая группа и её -разложимый корадикал. В силу теоремы 1 имеем – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация. Теорема доказана.
Следствие 3.5.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где
.
В случае, когда из теоремы 3.24 вытекает
Следствие 3.5.2.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – не -разложимая группа Шмидта.
Следствие 3.5.3.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -разложимая формация, когда
, где – отличное от простое число.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.
Класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной не превосходящей совпадает с произведением (число сомножителей равно ) и является наследственной тотально насыщенной формацией.
Теорема 3.6.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда
, где – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и – группа простого порядка.
Доказательство.
Обозначим через формацию
.
Необходимость.
Пусть – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не
-формация. По теореме 1 , где – такая монолитическая -минимальная не -
группа с монолитом , что выполняется одно из следующих условий:
1) – группа простого порядка ;
2) – неабелева группа и , где – совокупность всех собственных -подгрупп группы ;
3) ,
где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а либо группа простого порядка , либо такая монолитическая -минимальная не -группа с неабелевым монолитом , что , совпадает с -корадикалом группы и
где – совокупность всех собственных -подгрупп группы .
Поскольку
, то случай 1) невозможен. Если группа неабелева, то по лемме 2.1 , что невозможно. Следовательно, имеет место случай 3). Поскольку группа разрешима, то , где – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех , а группа простого порядка . Таким образом, группа удовлетворяет условию теоремы.
Достаточность
вытекает из теоремы 1. Теорема доказана.
Следствие 3.6.1 [2, с. 94].
Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда
, где – минимальная не -группа, – самоцентрализуемая минимальная нормальная подгруппа в при всех и – группа простого порядка.
Следствие 3.6.2.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .
Следствие 3.6.3 [2, с. 94].
Пусть – разрешимая формация.
Тогда и только тогда – минимальная тотально насыщенная не -формация, когда для некоторой последовательности из .
Отметим, что полученные результаты могут быть использованы для описания -критических формаций и в случаях, когда формация не является тотально насыщенной.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации.
Класс всех групп с нильпотентным коммутантом, очевидно, совпадает с произведением , где – класс всех нильпотентных, а – класс всех абелевых групп. Формация не является тотально насыщенной, но содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Следовательно, любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией. Таким образом, привлекая следствия 3.2.4 и 3.2.5, получим
Теорема 3.7.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
, где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.7.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная не -формация, когда
, где и – различные простые числа.
Минимальные -замкнутые тотально насыщенные несверхразрешимые формации.
Пусть формация всех сверхразрешимых групп. Как известно (см., например, [2, с. 28]), формация не является тотально насыщенной. Однако содержит единственную максимальную наследственную тотально насыщенную подформацию . Поэтому любая минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация является минимальной -замкнутой тотально насыщенной ненильпотентной формацией. Значит, в силу следствий 3.2.4 и 3.2.5, имеют место
Теорема 3.8.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
, где – некоторая группа Шмидта.
Следствие 3.8.1.
Тогда и только тогда – минимальная -замкнутая тотально насыщенная несверхразрешимая формация, когда
, где и – различные простые числа.
Заключение
В работе изучаются минимальные -замкнутые тотально насыщенные не -формации конечных групп. При этом -замкнутую тотально насыщенную формацию называют минимальной -замкнутой тотально насыщенной не -формацией или -критической, если , но все собственные -замкнутые тотально насыщенные подформации из содержатся в классе групп . Получено описание -критических формаций для таких классов групп , как классы всех -разрешимых, -нильпотентных, -замкнутых, -специальных, -разложимых групп ( – некоторое непустое подмножество множества всех простых чисел), класс разрешимых групп нильпотентной длины не превосходящей ( – некоторое натуральное число), класс всех групп с нильпотентным коммутантом, класс всех сверхразрешимых групп.
Литература
1. Шеметков, Л.А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба // М.: Наука, 1989.
2. Скиба, А.Н. Алгебра формаций / А. Н. Скиба // Мн.: Беларуская навука, 1997.
3. Шеметков, Л.А. Экраны ступенчатых формаций / Л. А. Шеметков // Тр. VI Всесоюзн. симпозиум по теории групп. – Киев: Наукова думка, 1980. – С. 37-50.
4. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. 1980. – № 4. – С. 27-33.
5. Скиба, А.Н. О критических формациях / А. Н. Скиба // В кн.: Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. Киев: Ин-т математики АН Украины, 1993. – С. 258-268.
6. Сафонов, В.Г. О тотально насыщенных формациях конечной длины / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2004. – № 6. – С. 150-155.
7. Сафонов, В.Г. О двух задачах теории тотально насыщенных формаций / В. Г. Сафонов // Докл. НАН Беларуси, 2005. – Т. 49, № 5, – C. 16-20.
8. Сафонов, В.Г. О приводимых тотально насыщенных формациях нильпотентного дефекта 3 / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2005. № 4 (31). – С. 157-162.
9. Сафонов, В.Г. Характеризация разрешимых однопорожденных тотально насыщенных формаций конечных групп / В.Г. Сафонов // Сибирский матем. журнал, 2007 – Т. 48, № 1. – С. 185-191.
10. Сафонов, В.Г. -критические формации / В. Г. Сафонов // Известия Гомельского госуниверситета, 2008. № 2 (47). – С. 169-176.