Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Министерство образования Российской Федерации

Вятский государственный гуманитарный университет

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Выпускная квалификационная работа

Обратимые матрицы над кольцом Zn

Выполнила:

Студентка V курса

Математического факультета

Сычева О. Г.

Научный руководитель:

д.ф.-м.н., профессор

Вечтомов Е. М.

Рецензент:

к.ф.-м.н., доцент

Чермных В. В.

Допущена к защите в ГАК

Зав.кафедрой Вечтомов Е М.


« »


Декан факультета Варанкина В. И.


« »Киров 2003
Содержание:

Введение………………………………………….…………………….2 стр.

§1 Основные понятия………………………………………………….3 стр.

§2 Обратимые матрицы над полем Zp

п.1 формула для подсчета обратимых матриц порядка 2 ……….10 стр.

п.2 формула для подсчета обратимых матриц порядка 3 ……….11 стр.

п.3 общая формула подсчета обратимых матриц над полем Zp

..16 стр.

§3 Обратимые матрицы над Z
n

………………………………………17 стр.

Литература …………………………………………………………….27 стр.

Введение

Теория матриц является одним из основных вопросов линейной алгебры.

Цель данной работы: подсчитать количество обратимых матриц над кольцом вычетов и по возможности получить формулу для их вычисления. Для вычисления количества обратимых матриц воспользовались теорией определителей и полным перебором всех возможных вариантов получения элементов в кольцах вычетов.

Вся работа разбита на два этапа:

В §2 показан метод построения обратимых матриц второго и третьего порядков над полем Zp

. В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц n–го порядка над полем Zp

.

В §3 приведен алгоритм построения обратимых матриц второго порядка над некоторыми кольцами вычетов (приведены конкретные примеры). В конце параграфа построена гипотеза формулы подсчета количества обратимых матриц второго порядка над кольцом классов вычетов Z
n

.

§1. Основные определения.

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P
.

Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m
строк и n
столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность (или - размеров ). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров ) записывается в форме:

.

Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой. Будем обозначать ее 0

.

Матрица, имеющая одно и то же число n
строк и столбцов, называется квадратной. Число n
называется порядком квадратной матрицы.

Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i
=
j
) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.

Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.

:

Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.

Две матрицыA
=(a
ij
) и B
=(b
ij
) одного и того же размера можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C
=(c
i
j
), , т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.

Произведение элемента c
из поля на матрицу A
=(a
ij
) определяется следующим образом: cA
=
(caij
).

Для любой матрицы A
существует противоположная -
A
такая, что A
+
(-
A
)=0
.

Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.

Рассмотрим матрицу A
=(a
ij
) размером и матрицу B
=(b
ij
) размером (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C
=
(cij
) размером , где .

Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:

По сложению:

1. (A
+
B
)+
C
=
A
+
(B
+
C
) – ассоциативность;

2. A
+
B
=
B
+
A
– коммутативность;

3. Существует нейтральный элемент – матрица 0:
A
+ 0 = 0 +
A
=
A
;

4. Для матрицы A
существует обратный элемент -
A
:
A
+
(-
A
)=0
;

По умножению матриц на скаляр:

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

По умножению матриц:

9. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB
ВА
;

10. (AB
)C
=
A
(BC
) – ассоциативность;

11. (cA
)B
=
A
(cB
)=
cAB
;

12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая)(A
1
+
A
2
)B
=
A
1
B
+
A
2
B
, A
(B
1
+
B
2
)=
AB
1
+
AB
2
;

13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A
– квадратная): EA
=
AE
=
A
.
Если же A
размером , то Em
A
=
AEn
=
A
.

14. Произведение матрицы А
на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).

Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.

Определителем n
-го порядка квадратной матрицы А
, называется алгебраическая сумма n
!
членов, которыми являются всевозможные произведения по n
элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.

,

где (a
1
,
a
2
, ...,
a
n
) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n
; множитель равен +1, если (a
1
,
a
2
, ...,
a
n
) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.

Минором элемента aij
называется определитель (n
-1) – порядка, полученный из данного определителя n
-го порядка, путем вычеркивания i
-
й строки и j
-
го столбца.

Минор aij
элемента обозначается М
ij
.

Алгебраическим дополнением элемента aij
называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i
+
j
.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается А
ij
=
(-1)i
+
j
×
М
ij
.

Матрица B
называется обратной для матрицы A
, если AB
=
BA
=
E
, где E
- единичная матрица. Равенство AB
=
BA
показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А
имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е
и СВ,
тогда заметим: С=СЕ=С
(АВ
)=
(СА
)В=ЕВ=В.
Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n
-
го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n
-
го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ
на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n
n
-мерных столбцов)

Тогда =×1=×==

====. Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn

.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. ПустьA
=(a
ij
) –невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А
*
=
, где Аij
– алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i
-й сроки стоят в i
-ом столбце.

Найдем произведение С=АА
*
, где С=
(с
ij
)

и т.д.

Найдя все элементы матрицы С
по описанному выше алгоритму, в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А
*
- обратная к невырожденной матрице А
.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А
() имеет обратную А
*
, тогда верными будут следующие равенства: А
·А
*
=Е
,, , . Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn

называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn

.

§2
. Обратимые матрицы над полем Z
p

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp

, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу есть определитель матрицы порядка 1, т.е. .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц (когда ). При этом

(1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

1) Пусть (р-1 штук), (р-1 штук),

(по р штук) (1.2)
.

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)2
р2
(1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

В условии (1.2)
не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а) (р-1 штук), и . Из (1.1)
получаем равенство . Значит . При заданном (где =1,2…р-1) элемент однозначно выражается через и (количество невырожденных матриц – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3
штук.

б) , и . Значит . Отсюда . Элемент однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3
штук

Значит формула (1.3)
при условии (1.2)
верна.

2) Пусть . Тогда , а из (1.1)
получаем что и (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)2
×р (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3)
и (1.4)
полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp

(р-1)2
×р×(р+1) (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраические дополнения к элементам , и есть определители матриц , и соответственно, порядка 2, при чем , и .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц (). При этом

(2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

1) Пусть (р-1 штук), (их количество по формуле (1.5)
), (по р штук) (2.2)
.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3
р5
(р+1) (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2)
не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) (р-1 штук), и . Из (2.1)
получаем равенство .

а1) Пусть =0. Тогда и. Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2
р(р+1). Т.к то из выражения получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что получаем .Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4
×р2
×(р+1) штук.

а2) Если ¹0, .Тогда и . Значит элементов всего р-1 штук, количество невырожденных матриц - (р-1)2
р(р+1). Т.к , то, из выражения получаем . Пусть . Домножим равенство () на . Заменим на (из того, что ). Получим равенство . Вынесем за скобки и т.к. делаем вывод, что . Значит и (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5
×р×(р+1) штук.

а3) Если ¹0, и получаем (р-1)4
×р2
×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если ¹0, , и получаем (р-1)5
×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если ¹0, , и . Из того, что получаем . Пусть . Равенство () умножим на и заменим на (). Получим равенство . Вынося за скобки (), замечаем, что элемент однозначно выражается через ( - р-1 штук). Но тогда тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6
×р×(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле (р-1)4
×р×(р+1)×(р2
+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б) (р-1 штук), ((р-1)2
×р×(р+1)) штук). Т.к. , значит (2.4)

б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

(2.5)

а из (2.5)
получим . Распишем (2.5)
: . Т.е. однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4
×р2
×(р+1).

б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5)
и из него. Элементов всего р-1 штук. Т.к , то получаем что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая и произведя замену на получим равенство . А т.к. и делаем вывод, что и выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5
×р×(р+1) штук.

б3) Если ¹0, и получаем (р-1)4
×р2
×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б1)

б4) Если ¹0, , и получаем (р-1)5
×р×(р+1) матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждения как в пункте б2)

б5) Пусть ¹0, , и . Из того, что , получаем . Пусть . Тогда преобразовывая (2.4)
получаем, что однозначно выражается через и все остальные элементы.

Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6
×р×(р+1) штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта б) подсчитывается по формуле (р-1)4
×р×(р+1)×(р2
+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах б1-б5).

Значит формула (р-1)3
р5
(р+1) для случая 1) при условии (2.2)
верна.

2) Пусть , (количество их р-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)
) и (по р штук). Тогда из (2.1)
получаем

.

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3
р4
(р+1) (2.6)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , и .

Но при этих условиях не учитываются матрицы вида с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а) , и . Из (2.1)
получаем равенство , , а из того что получаем что, например, элемент однозначно выражается через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4
р2
(р+1).

б) , и . Из (2.1) получаем равенство , . А из можем однозначно выразить, например, элемент через элемент (р штук) и все остальные элементы. А значит количество матриц с данными условиями (р-1)4
р2
(р+1).

3) Пусть , , (количество их p-1), (количество высчитывается по формуле (1.5)) и (по р штук).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)[(р-1)2
р(р+1)]×р×р×р (2.7)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц порядка 3. складывая формулы (2.3), (2.6)
и (2.7),
полученные в этапах 1), 2) и 3) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 3матриц над полем Zp

(р-1)3
р3
(р+1)(р2
+р+1) (2.8)

3. Общая формула для подсчета обратимых матриц над полем Zp
.

Используя алгоритм, описанный в предыдущих пунктах, для выведения формулы подсчета количества обратимых матриц, можем получить частные формулы для матриц произвольных порядков.

Например:

Для матриц порядка 4:

(р-1)4
р6
(р+1)(р2
+р+1)(р3
+р2
+р+1).

Для матриц порядка 5:

(р-1)5
р10
(р+1)(р2
+р+1)(р3
+р2
+р+1)( р4
+р3
+р2
+р+1), и т.д.

Анализируя полученные результаты, можем сделать выводы, что общая формула для получения количества обратимых матриц порядка n над полем Zp

выглядит так:

Данную формулу тождественными преобразованиями можно привести к виду:

§3. Обратимые матрицы над кольцом
Zn

Из теоремы доказанной в § 1 следует, что для определителе

й матриц A и B выполняется равенство |A·B|=|A|·|B|.

Для обратимых матриц A и B следует A·
B=E.Следовательно |A·
B|=|A|·
|B|=|E|=1.

Таким образом, получаем: определитель обратимой матрицы является обратимым элементом.

Попытаемся сосчитать количество обратимых матриц над некоторыми кольцами вычетов по составному модулю.

Обратимые матрицы над
Z4
.

*	0	1	2	3
0	0	0	0	0
1	0	1	2	3
2	0	2	0	2
3	0	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z4
: 44
=256.

В Z
4

обратимыми элементами являются 1и3. Рассмотрим сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=3. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=3,

2) a=3 Ù d=1,

bc=2. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=2,

2) b=2 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=3,

4) b=3 Ù c=2.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

2. ad=2.Возможно 4 случая (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=3.

Получили с данным условием 8 обратимых матриц.

3. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=1 Ù c=0,

5) b=2 Ù c=0,

6) b=3 Ù c=0,

7) b=c=0,

8) b=c=2.

Получили сданным условием 16 обратимых матриц.

4. ad=0. Возможно 8 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 16 обратимых матриц.

Таким образом, по данной классификации получаем 8+8+16+16+16=48 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 3, и число таких матриц будет также равно 48.

Следовательно, из 256 квадратных матриц второго порядка над Z4

обратимыми являются 96.

Обратимые матрицы над
Z6

.

*	0	1	2	3	4	5
0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5
2	0	2	4	0	2	4
3	0	3	0	3	0	3
4	0	4	2	0	4	2
5	0	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z6
: 64
=1296.

В Z
6

обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1: |A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

1) a=1 Ù d=5,

2) a=5 Ù d=1,

bc=4. Возможные случаи:

1) b=1 Ù c=4,

2) b=4 Ù c=1,

3) b=2 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=2,

5) b=c=2,

6) b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4.Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможные случаи:

1) b=3 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=3,

3) b=3 Ù c=5,

4) b=5 Ù c=3,

5) b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=2. Возможные случаи:

1) b=2 Ù c=1,

2) b=1 Ù c=2,

3) b=2 Ù c=4,

4) b=4 Ù c=2,

5) b=4 Ù c=5,

6) b=5 Ù c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1) b=c=1,

2) b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1) b=0 Ù c=1,

2) b=0 Ù c=2,

3) b=0 Ù c=3,

4) b=0 Ù c=4,

5) b=0 Ù c=5,

6) b=1 Ù c=0,

7) b=2 Ù c=0,

8) b=3 Ù c=0,

9) b=4 Ù c=0,

10) b=5 Ù c=0,

11) b=2 Ù c=3,

12) b=3 Ù c=2,

13) b=3 Ù c=4,

14) b=4 Ù c=3,

15) b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6

обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над
Z8

*	0	1	2	3	4	5	6	7
0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7
2	0	2	4	6	0	2	4	6
3	0	3	6	3	4	7	2	5
4	0	4	0	4	0	4	0	4
5	0	5	2	7	4	1	6	3
6	0	6	4	2	0	6	4	2
7	0	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z8
: 84
=4096.

В Z
8

обратимыми элементами являются 1, 3, 5 и 7. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1 |A|=ad-bc=1.

Аналогично предыдущим пунктам будем придерживаться той же классификации:

1. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

2. ad=6. Возможно 8 случаев.

bc=5. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

3. ad=5. Возможно 4 случая.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

5. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 8 случаев.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

6. ad=2. Возможно 8 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 32 обратимых матрицы.

7. ad=1.Возможны 4 случая .

bc=0. Возможно 20 случаев.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

8. ad=0. Возможно 20 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 80 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 —384.

Следовательно, из 4096 квадратных матриц второго порядка над Z8

обратимыми являются 1536.

Обратимые матрицы над
Z9

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8
2	0	2	4	6	8	1	3	5	7
3	0	3	6	0	3	6	0	3	6
4	0	4	8	3	7	2	6	1	5
5	0	5	1	6	2	7	3	8	4
6	0	6	3	0	6	3	0	6	3
7	0	7	5	3	1	8	6	4	2
8	0	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z9
: 94
=6561.

В Z
9

обратимыми элементами являются 1, 2, 4, 5, 7 и 8.

1. ad=8. Возможно 6 случаев.

bc=7. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

2. ad=7. Возможно 6 случаев.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

3. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

4. ad=5. Возможно 6 случаев.

bc=4. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

5. ad=4. Возможно 6 случаев.

bc=3. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

6. ad=3. Возможно 12 случаев.

bc=2. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 72 обратимых матриц.

7. ad=2. Возможно 6 случаев.

bc=1. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 36 обратимых матриц.

8. ad=1. Возможно 6 случаев.

bc=0. Возможно 21 случай.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

9. ad=0. Возможно 21 случай.

bc=8. Возможно 6 случаев.

Получили с данным условием 126 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 -648.

Следовательно, из 6561 квадратных матриц второго порядка над Z9

обратимыми являются 3888.

Обратимые матрицы над
Z10

*	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
2	0	2	4	6	8	0	2	4	6	8
3	0	3	6	9	2	5	8	1	4	7
4	0	4	8	2	6	0	4	8	2	6
5	0	5	0	5	0	5	0	5	0	5
6	0	6	2	8	4	0	6	2	8	4
7	0	7	4	1	8	5	2	9	6	3
8	0	8	6	4	2	0	8	6	4	2
9	0	9	8	7	6	5	4	3	2	1

Всего различных матриц второго порядка над Z10
: 104
=1000.

В Z
10

обратимыми элементами являются 1, 3, 7 и 9.

1. ad=9. Возможно 4 случая.

bc=8. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

2. ad=8. Возможно 12 случаев.

bc=7. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

3. ad=7. Возможно 4 случая.

bc=6. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

4. ad=6. Возможно 12 случаев.

bc=5. Возможно 9 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

5. ad=5. Возможно 9 случаев.

bc=4. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

6. ad=4. Возможно 12 случаев.

bc=3. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

7. ad=3. Возможно 4 случая.

bc=2. Возможно 12 случаев.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

8. ad=2. Возможно 12 случаев.

bc=1. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 48 обратимых матриц.

9. ad=1. Возможно 4 случая.

bc=0. Возможно 27 случаев.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

10. ad=0. Возможно 27 случаев.

bc=9. Возможно 4 случая.

Получили с данным условием 108 обратимых матриц.

Таким образом, обратимых матриц, определитель которых равен 1 —720.

Следовательно, из 10000 квадратных матриц второго порядка над Z10

обратимыми являются 2880.

Используя выше изложенный метод, было также вычислено количество обратимых матриц для колец вычетов по модулям:10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21. В результате всех вычислений были получены следующие данные (ниже также использованы формулы полученные в §
2):

Z n	формула	количество
2	(p-1)2 p(p+1)	6
3	(p-1)2 p(p+1)	48
4	-	96
5	(p-1)2 p(p+1)	480
6	-	288
7	(p-1)2 p(p+1)	2016
8	-	1536
9	-	3888
10	-	2880
11	(p-1)2 p(p+1)	13200
12	-	4608
13	(p-1)2 p(p+1)	26208
14	-	12096
15	-	23040
16	-	24576
17	(p-1)2 p(p+1)	78336
18	-	23328
19	(p-1)2 p(p+1)	123120
20	-	43520
21	-	96768

В итоге анализа полученных результатов эмпирическим путем была получена следующая формула для вычисления количества обратимых матриц второго порядка над кольцом вычетов по произвольному модулю.

Пусть Z
n

-
кольцо вычетов по модулю n
, причем n
=
p
1

k

1

p
2

k

2

…
pm
km

,

Тогда количество обратимых матриц второго порядка равно:

(p1
-1)2
(p2
-1)2
…(pm
-1)2
p1
p2
…pm
(p1
+1)(p2
+1)…(pm
+1)(p1
4
)k
1-1
(p2
4
)k
2-1
…(pm
4
)km
-1

Литература

1. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.

2. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

3. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.