КУРСОВА РОБОТА
"Властивості лінійних операторів та їх застосування при розв’язанні задач. Матриця лінійного оператора"
Запоріжжя 2010
1.
Поняття лінійного оператора. Алгебраїчні операції над операторами
Нехай і два різних лінійних простору над полем комплексних чисел. Відображення , яке ставляє у відповідність кожному вектору простору деякий вектор простору , будемо називати оператором , діючий із в . Якщо є образом вектора , то пишуть .
Оператор називається лінійним, якщо виконуються дві умови:
1. (властивість адитивності);
2. (властивість однорідності);
Тут довільно взяті вектори простору , довільно комплексне число.
Позначимо через множина всіх лінійних операторів, діючих із в . Два лінійних оператора і будемо вважати рівними, якщо для будь – якого вектору простору . Визначимо тепер операцію додавання із множини і операцію множення оператора на число. Під сумою двох лінійних операторів і розуміють оператор такий, що для будь – якого вектора простору
.
Під добутком лінійного оператора на комплексне число розуміють оператор такий, що для любого вектора простору
Неважко переконатися в тому, що оператори і лінійні.
Оператор називається нульовим, якщо для будь – якого вектору простору .
Щоб переконатися, що оператор лінійний і, як наслідок, належності множині , потрібно показати, що для довільно взятих векторів простору мають місце рівності і . Так як будь – якому вектору простору оператор ставить у відповідність вектор , то . Як наслідок, - лінійний оператор.
Введемо поняття оператора, протилежному лінійному оператору . Оператор – називається протилежним оператором , якщо . Неважко перевірити, що для довільно взятого оператору із і що лінійний оператор.
Введені на множині лінійні операції над її елементами (операторами) мають такі властивості:
1.,
2. ,
3. існує один лінійний оператор такий, що для будь – якого лінійного оператора із
4. для кожного оператора існує єдиний оператор – такий, що .
Із перелічених властивостей лінійних операцій над елементами множини випливає, що множина по відношенню до операції суми операторів є адитивною абелевою групою. Операція множення на число має такі властивості .
Всі перелічені властивості лінійних операцій над елементами множини дозволяє стверджувати, що множина є лінійним простором над полем комплексних чисел. Звідси випливає, що можна ставити питання про розмірність цього простору, про його базиси, підпросторів.
2.
Лінійні перетворення (оператори) із простору V в V
В подальшому будемо розглядати лінійні оператори, діючі із лінійного простору в той самий простір. Ці оператори називають також перетвореннями із в .
Назвемо тотожнім (одиничним) оператор такий, що для любого вектора простору . Очевидно, , , для любих . З цього випливає, оператор – лінійний і, тому, . Неважко упевнитися в тому, що оператор – єдиний. Дійсно, якщо припустити що, крім тотожного оператора з , існує ще один тотожний оператор , тоді для будь-якого будемо мати , , очевидно, , тобто .
Введемо операцію множення операторів. Нехай та – два будь-яких лінійних оператора з , а – довільний вектор простору . Очевидно вектор , тому цей вектор можна привести за допомогою оператора . В результаті вектор буде перетворений до вектору . Оператор, який приводить довільний вектор простору у вектор , називається добутком операторів та і позначається так: . За означенням добутку операторів і для будь-якого вектору . Легко перевірити, що , , де – довільно вибране комплексне число. З цього слідує, що добуток лінійних операторів є лінійним оператором, тобто . Зауважимо, що .
Операції додавання та множення лінійних операторів мають наступні властивості
1) , 3) ,
2) , 4) .
Для ілюстрації способу доведення цих властивостей доведемо властивість . Нехай – довільний вектор простору . Для довільного вектору простору за означенням добутку і суми операторів має
Таким чином, , тобто .
Якщо для оператору можна вказати такий лінійний оператор , що , то оператор називають оберненим для оператору . Можна показати, що оператор – єдиний.
Покажемо, що оператор , що має обернений, перетворює ненульовий вектор в ненульовий, тобто якщо , то й . Спочатку доведемо, що . Дійсно, так як – лінійний оператор, то для будь-якого . Доведене твердження справедливе для будь-якого лінійного оператора, в тому числі і для оператора, що має обернений, і для оператора . Нехай і . Так як оператор має обернений, то , тобто . Якщо припустити, що деякому відповідає вектор , тоді на основі установлених рівностей і виходило б, що . А це заперечує початковому фактові, що . З цього випливає, що припущення про те, що для деякого , невірно, тому для будь – якого .
Доведемо ще одну властивість оператора , що має обернений. Такий оператор два різних вектора та перетворює у два різні вектори і . Дійсно, якщо припустити противне, що існують такі нерівні один одному і , для яких , тоді для таких і або, що те саме . За умовою оператор має обернений. За доведеною вище властивістю такого оператора із рівності випливає, що , тобто . Ми прийшли до протиріччя з тим фактом, що за умовою . З цього випливає, що будь – яким двом різним векторам і відповідають різні образи і .
Оператор називають взаємно – однозначним, якщо два будь – які різні вектори і він перетворює у різні вектори і . Із наведеного вище випливає, що оператор , що має обернений, є взаємно – однозначним. Для взаємно – однозначного оператора неважко довести таку властивість: якщо , то і . Покажемо, що взаємно – однозначний оператор лінійно незалежні вектори , , …, перетворює в лінійно незалежні вектори , , …, . Для доведення цього твердження скористаємося методом «від противного». Припустимо противне, що вектори , …, – лінійно незалежні. Тоді можна знайти такі не рівню нулю числа, що . Так як оператор – лінійний, то .
Звідси за властивістю взаємно-однозначного оператора , тобто вектори , , …, виявляються лінійно залежними. Протиріччя з умовою ствердження означає, що вектори , , …, лінійно незалежні.
Із доведеного випливає, що будь-який вектор простору має єдиний прообраз такий, що . Доведемо тільки єдність прообразу вектора . Дійсно, якщо припустити, що вектор має декілька різноманітних прообразів, наприклад, і , то виявиться, що . Звідси , маємо , так як оператор взаємно-однозначний. Отже, якщо оператор – взаємно-однозначний, то кожному вектору простору він ставить у відповідність один і тільки один вектор . Звідси випливає, що взаємно-однозначний оператор має обернений.
Підводячи підсумок сказаному вище про властивості оберненого і взаємно-однозначного операторів, сформулюємо наступне твердження.
Теорема 2.1. Для того, щоб лінійний оператор мав обернений необхідно і достатньо, щоб він був взаємно-однозначним.
Введемо поняття ядра й образу оператора. Ядром лінійного оператора називають таку множину векторів простору , що для любого . Відомо, що будь-який лінійний оператор приводить вектор в , тобто , тому ядро довільного лінійного оператора не є пустою множиною, так як воно завжди містить оператор .
Теорема 2.2. Якщо містить єдиний вектор , то оператор є взаємно-однозначним.
Доведення. Нехай - два довільно взятих вектора лінійного простору. Якщо показати, що , то це буде означати, що оператор є взаємно-однозначним. Припустимо противне, що знайдуться два вектора і , такі, що , а . Тоді для цих векторів . За умовою теореми складається із єдиного вектора , тобто для вектора і тільки для нього . В силу цього чи . Ми прийшли до протиріччя з припущенням про те, що . Тому для будь-яких не рівних один одному векторів і простору . Отже, твердження теореми вірне.
Теорема 2.3. Для того, щоб оператор мав обернений, необхідно і достатньо, щоб .
Доведення цієї теореми основується на теоремах 2.1 і 2.2 про обернений оператор і ядро взаємно-однозначного оператора.
Образом оператора називається множина всіх векторів простору , кожний з яких має прообраз, тобто якщо , то існує такий вектор , що . Легко побачити, що якщо містить тільки нульовий вектор, то є весь лінійний простір : . Дійсно, якщо , то оператор є взаємно-однозначним. За доведеною вище властивістю взаємно-однозначного оператора кожний вектор простору має єдиний прообраз : , так що .
Покажемо тепер, що множина для довільного лінійного простору є підпростором лінійного простору . Нехай і – два довільно взятих вектори множини . Так як , то . Нехай – довільне число. Так як , то . Таким чином, лінійні операції над будь-якими векторами множини дають вектори тієї ж множини, тобто – підпростір простору .
Аналогічним способом доводиться, що множина також є підпростором простору .
Розмірність підпростору називається дефектом оператора. Розмірність підпростору називається рангом оператора . Для рангу оператора використовується одне з позначень або , для позначення дефекту оператора використовується символ .
Теорема 2.4. Для будь-якого лінійного оператора із сума розмінностей його ядра і образу дорівнює розмірності простору , тобто або .
Теорема 2.5. Нехай і - два яких-небудь підпростори - мірного простору , причому . Тоді існує такий лінійний оператор , що , а .
Доведення. Нехай - розмірність підпростору , тобто , а – розмірність підпростору . За умовою теореми . Виберемо базис - мірного простору так, щоб векторів було базисом підпростору . В підпросторі візьмемо який-небудь базис . Розглянемо лінійний оператор , який перетворює вектори простору у вектори , а кожний з векторів у нульовий вектор, тобто .
Оператор довільний вектор простору приводить у вектор , який належить підпростору простора . Звідси випливає, що , тобто підпростір містить образ оператора . Щоб довести, що , треба за означенням множини показати, що будь-який вектор підпростору , має прообраз у просторі . Розглянутий лінійний оператор перетворює вектори простору у вектори , тому довільно взятий вектор підпростору можна представити у вигляді . В силу лінійності оператора и також того, що , вектор можна представити також і в такій формі: , де – довільно вибрані комплексні числа. Останній вираз для довільного вектору означає, що він є образом вектора простору . Таким чином, .
Покажемо тепер, що підпростір є ядром оператора . Нехай який-небудь вектор підпростору . Так як , то це означає, що вектор входить в ядро оператора . Звідси випливає, що підпростір . Для доведення того, що треба показати, що будь-який вектор простору , що не належить підпростору , не може бути елементом ядра оператора . Нехай - вектор простору , який не належить підпростору . Зрозуміло, що хоча б одна із координат цього вектору не рівна нулю, так як в протилежному випадку . Розглянемо . Так як лінійно незалежні вектори, а серед чисел є відмінні від нуля, то . Це означає, що будь-який вектор, що не належить підпростору , не належить і ядру оператора . Отже, .
Теорема 2.6. Нехай і – два яких-небудь лінійних оператора із множини , тоді , .
Доведення. Нехай – довільний вектор простору . Зрозуміло, що . Будь-який вектор множини за означенням добутку операторів це вектор . Останній є вектором множини . З цього слідує, що має місце включення . А це означає, що , тобто . Перше твердження теореми доведено.
Доведемо справедливість другого. Нехай – довільний вектор ядра оператора , тоді , і, тому, . Це означає, що якщо , то , тобто . Звідси випливає нерівність . Позначимо через розмірність простору . Згідно теореми 2.4 , . Так як , то , тобто .
Теорема 2.7. Нехай – розмірність простору , і – лінійні оператори із , тоді .
3.
Матриця лінійного оператора
Нехай - деякий базис лінійного простору , а – який-небудь лінійний оператор, діючий із в . Вектор оператор перетворює в вектор . Вектори простору розкладемо по векторах базису цього простору. Побудуємо матрицю порядку , стовпці якої складені із координат векторів ,
, , .
Матриця називається матрицею оператора в базисі .
Приклад. Записати матрицю тотожного і нульового операторів у базисі простору .
Розв’язок. Тотожний оператор будь-який вектор простору приводить в той же самий оператор. Тому . А це означає, що матриця тотожного оператора буде одиничною в будь-якому базисі простору . Нульовий оператор будь-який вектор простору перетворює в нульовий вектор, тому матриця цього оператора – нульова в будь-якому базисі.
Із сказаного вище випливає, що в обраному базисі -мірного простору з кожним лінійним оператором можна зв’язати квадратну матрицю порядку . Виникає питання: чи можна кожній квадратній матриці порядку поставити у відповідність такий лінійний оператор , матриця якого в заданому базисі простору співпадає з матрицею ? Стверджувальну відповідь на це питання дає
Теорема 3.1. Нехай – деяка квадратна матриця порядку . Нехай – довільний обраний базис -мірного лінійного простору . Тоді існує єдиний лінійний оператор , який у вказаному базисі має матрицю .
Доведення. Розглянемо лінійний оператор , який вектори базису простору перетворює у вектори , . У базисі оператор , очевидно, має матрицю . Залишається довести, що є єдиним оператором з матрицею. Припустимо протилежне, що, крім оператора , існує ще лінійний оператор , маючий матрицю в базисі . Це означає, що , . Виберемо який-небудь вектор простору і розглянемо вектори і . Маємо .
Як наслідок, що для будь-якого . Звідси витікає, що . Теорему доведено.
Теорема 3.2. Нехай – матриця лінійного оператора в базисі простору . Ранг оператора дорівнює рангу його матриці: .
Доведення. В основі доведення лежать означення рангу оператора і рангу матриці: , ранг матриці дорівнює рангу системи його стовпців.
Нехай – який-небудь вектор - мірного простору . Образом вектора є вектор . Як бачимо, довільний вектор образу оператора , тобто м
Нехай і матриці операторів і в якому-небудь базисі простору , тоді із способу побудови цих матриць витікає, що матриці операторів і , де і – довільно взяті числа, рівні відповідно і . Доведемо справедливість першого твердження, як більш складного. Дійсно, стовпці матриці оператора побудовані із координат векторів у базисі простору . Визначимо елементи -го стовпця цієї матриці, тобто координати вектора . Маємо
Звідси видно, що довільний елемент матриці оператора дорівнює , тобто дорівнює сумі добутків елементів -го рядка матриці на відповідний елемент -го стовпця матриці . А це означає, що . Твердження доведено.
Із доведеного твердження і теорем 2.6, 2.7 про ранг оператора слідує справедливість таких нерівностей для двох добутків квадратних матриць і одного порядку .
, ,
Відомо, що необхідною і достатньою умовою існування оберненого оператора для оператора , є умова , де – розмірність простору . Із теореми 3.2 витікає, що остання умова еквівалентна вимозі: матриця оператора повинна бути не виродженою.
Іншими словами, щоб оператор мав обернений необхідно і достатньо, щоб його матриця в якому-небудь базисі лінійного простору виявилась не виродженою.
4.
Перетворення матриці оператора при заміні базису
Нехай у просторі обрані два базиси і . Перший базис для зручності назвемо старим, а другий – новим. Координати векторів у старому базисі розмістимо у стовпцях матриці
.
Побудована матриця називається матрицею переходу від старого базису до нового. Вектори лінійно незалежні, тому і, звісно, матриця не вироджена.
Згідно сказаному
(4.1)
Ці формули зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі мають вигляд
,
де – транспонована матриця .
Теорема 4.1. Матриці і оператора в базисах і зв’язані співвідношеннями
,
,
де – матриця переходу від старого базису до нового .
Доведення. За означенням матриці оператора
,
де і – елементи матриць і . Замінимо в останній рівності вектори згідно формулам (4.1), отримаємо
(4.2)
З іншого боку
Але
Тому
(4.3)
Із двох отриманих виразів (4.2) і (4.3) для вектора виходить, що
У цій рівності вектори лінійно незалежні, тому коефіцієнти про однакових векторах у лівій і правій частинах рівності мають бути однаковими, отже,
,
Згідно означенню добутку двох матриць звідси витікає матричне рівність . Якщо помножити обидві частини цієї рівності на праворуч, то отримаємо , якщо помножити на злів, то будемо мати . Теорему доведено.
Матриці і одного й того ж порядку називаються подібними, якщо можна знайти таку не вироджену матрицю того ж порядку, що . Із цього означення і теореми 4.1 витікає, що матриці оператора у різних базисах виявляються побідними. Покажемо, що визначники подібних матриць і рівні. Дійсно, згадавши, що визначник добутку квадратних матриць дорівнює добутку визначників співмножників, можемо записати
.
Із доведеного твердження виходить, що визначник матриці оператора не змінюється при заміні базису. У зв’язку з цим доречно ввести поняття визначника оператора. Визначником оператора називають число , рівне визначнику матриці оператора в якому-небудь базисі простору.
Приклад. Лінійний оператор діє на вектори базису наступним чином: . Знайти визначник оператора .
Розв’язок. Матриця оператора у базисі має вигляд
,
тобто є верхньою трикутною. Визначник цієї матриці дорівнює одиниці, тому і .
5.
Власні значення і власні вектори оператора
Число називається власним числом лінійного оператора , якщо у просторі можна знайти такий ненульовий вектор , що
(5.1)
Будь-який ненульовий вектор, задовольняючий рівності (5.1), називають власним вектором оператора , що відповідає власному значенню .
Рівність (5.1) можна записати по іншому , де – тотожний оператор. Оскільки – ненульовий вектор, то зрозуміло, що розмірність ядра оператора не менше одиниці. Нехай – розмірність простору , в якому діє оператор . Відомо, що . Звісно,
. Але тоді .
Таким чином, якщо число є власним значенням оператора , то є коренем рівняння (характеристичне рівняння або вікове рівняння оператора ).
Вияснимо, чи всі корені характеристичного рівняння будуть власними значеннями оператора . Нехай – який-небудь корінь рівняння, тоді для цього значення . Це означає, що матриця оператора буде виродженою у будь-якому базисі простору . Як наслідок, . Так як , то . А це означає, що існую по меншій мірі один ненульовий вектор , такий, що чи . Таким чином, будь-який корінь характеристичного рівняння буде власним значенням оператора , тобто вірне твердження.
Теорема 5.1. Для того, щоб комплексне число було власним значенням лінійного оператора , необхідно і достатньо, щоб це число було коренем характеристичного рівняння .
Нехай – базис простору и нехай
,
матриця лінійного оператора у цьому базисі. Відомо, що матриця тотожного оператора в будь-якому базисі буде одиничною, тому в розглянутому базисі простору оператор характеризується такою матрицею
.
Визначник цієї матриці, тобто , називається характеристичним або віковим визначником оператора . Легко побачити, що добуток елементів головної діагоналі вікового визначника буде многочленом степені , решта членів визначника будуть многочленами степені не вище . З цього видно, що віковий визначник оператора є многочленом степені . За наслідком з основної теореми алгебри такий многочлен має коренів, якщо кожний корінь рахувати стільки разів, яка його кратність. Тому число власних значень оператора , діючого в -мірному просторі, дорівнює , якщо кожне власне значення рахувати стільки разів, яка його кратність.
Відомо, що в різних базисах простору матриці оператора , взагалі-то, різні. У зв’язку з цим виникає питання про пошук такого базису простору , в якому матриця оператора має найпростіший вигляд (найбільше число нульових елементів). Припустімо, що у просторі існує базис всі вектори якого є власними векторами оператора , тобто . У цьому базисі матриця оператора буде мати діагональний вигляд
.
Навпаки, якщо в якому-небудь базисі простору матриця лінійного оператора має діагональний вид, то всі вектори базису є власними векторами оператора . Таким чином, доведено наступне твердження.
Теорема 5.2. Для того, щоб матриця лінійного оператора у базисі простору була діагональною, необхідно і достатньо, щоб вектори були власними векторами оператора . Теорема 5.3. Якщо власні значення лінійного оператора , діючого в -мірному просторі , різні, тоді відповідні їм власні вектори лінійно незалежні.
Наслідок. Якщо характеристичне рівняння має різних коренів, то у -мірному векторному просторі існує базис, в якому матриця оператора має діагональний вид.
Якщо оператор має кратні власні значення, то може виявитися, що максимальна лінійно незалежна сукупність власних векторів оператора не буда утворювати базис лінійного простору, в якому діє оператор . У зв’язку з цим виникає питання, якими векторами доповнити до базису простору максимальну лінійно незалежну сукупність власних векторів, щоб у цьому базисі матриця мала найпростіший вигляд. Відповідь на це питання дав французький математик Жордан.
Вектор називається приєднаним вектором оператора , що відповідає кратному власному значенню цього оператора, якщо можна вказати таке натуральне число , що . Число називається порядком приєднаного вектора . Нехай – приєднаний вектор порядку , що відповідає власному значенню . Позначимо через вектор . Тоді за означенням приєднаного вектора або . Вектор виявляється власним вектором оператора . Цю властивість приєднаного вектора можна використовувати при побудові приєднаних векторів за заданим власним вектором .
Теорема 5.4. (теорема Жордана). У -мірному векторному просторі існує базис , побудований із власних векторів і відповідних їм приєднаних векторів, такий, що
, ; , .
У цьому базисі матриця оператора має наступний вид
,
де - квадратна матриця порядку (клітка Жордана):
.
Вказана в теоремі 5.4 форма матриці оператора називається жордановою або канонічною формою матриці цього оператора.
На кінець відмітимо, що якщо – власний вектор лінійного оператора , то і вектор , де – довільно взяте відмінне від нуля число, також буде власним вектором оператора . Дійсно,
.
Приклад 1. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .
.
Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіома адитивності: .
Для будь-яких векторів та повинно виконуватись
.
.
Аксіома адитивності виконується.
Перевіримо аксіому однорідності:
Так як властивість адитивності і однорідності виконується, тому перетворення – лінійне.
Приклад 2. З’ясувати, які з перетворень , заданих шляхом завдання координат вектора як функцій координат вектора , являються лінійними, і в випадку лінійності знайти їх матриці в тому базисі, в якому задано координати векторів і .
.
Розв’язання: Для того, щоб дізнатись, чи являються лінійними функції координат вектора треба перевірити, чи виконуються наступні дві аксіоми:
Аксіома адитивності: .
Для будь-яких векторів та повинно виконуватись
.
Так як властивість адитивності не виконується, тому перетворення – не лінійне.
Приклад 3. Показати, що множення квадратних матриць другого порядку а) зліва, б) з права на дану матрицю являються лінійними перетвореннями простору всіх матриць другого порядку, і знайти матриці їх перетворень в базисі, який складається з матриць:
, , ,
Розв’язання: За означенням матриці лінійного перетворення , . Знаходимо образи базисних векторів і обчислюємо їх координати в заданому базисі:
Розташувавши отримані координати образів за стовпчиками отримаємо матрицю лінійного перетворення:
.
Приклад 4. Лінійне перетворення в базисі має матрицю
A=
Знайти матрицю цього ж перетворення в базисі: e, , , +.
Розв’язання: Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:
Обернену матрицю знайдемо за допомогою приєднаної:
Підставляємо отримані значення в формулу, отримаємо:
.
Приклад 5. Знайти власні значення і власні вектори лінійного перетворення, заданому в деякому базисі матрицею: .
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
Складаємо однорідну систему рівнянь для визначення власних векторів:
Оскільки максимальна кількість лінійно незалежних власних векторів менша за вимірність простору, то власні вектори не утворюють базис простору і таким чином матриця не діагоналізуєма.
Приклад 6. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=
Власні вектори мають вигляд: .
,
Формула зв’язку між векторами старого і нового базисів у матричному записі має вигляд:
.
Матриця діагоналізована.
Приклад 7. З’ясувати, яку з матриць лінійних перетворень можна привести до діагонального виду шляхом переходу до нового базису. Знайти цей базис і відповідну йому матрицю:
Розв’язання: Складаємо характеристичне рівняння і розв’язавши його знаходимо власні числа:
Розв’язуємо її методом Гауса, для цього приводимо матрицю до східчастого вигляду:
A=
A=
Матриця не може бути діагоналізованою, так як а.к.=г.к.=1.
Висновки
В даній курсовій роботі розглянуто базові властивості лінійних операторів, поняття матриці лінійного оператора та питання зв’язку матриць оператора у різних базисах. Крім того, до роботи включені питання діагоналізіруємості матриці оператора, які пов’язані з існуванням базису, що складається з власних векторів оператора. За усіма розглянутими теоретичними питаннями зроблена підборка задач, яка їх ілюструє та допомагає детально розібратися в теоретичному матеріалі.
оператор вектор лінійний матриця базис
Перелік посилань
1. Курош А.Г. Курс вищої алгебри. – М.: Наука, 1968. – 331 с.
2. Кострикін А.И., Манін Ю.И. Лінійна алгебра і геометрія. – М.: Наука, 1986. – 304 с.
3. Проскуряков І. В. Збірник задач з лінійної алгебри. – М.: Наука, 1974. – 384 с.