Вступ
Для кращого сприйняття форми об'єкта необхідно мати його зображення в тривимірному просторі. У багатьох випадках наочне представлення про об'єкт можна одержати шляхом виконання операцій обертання і переносу, а також побудови проекцій. Введемо однорідні координати. Точка в тривимірному просторі задається чотиримірним вектором чи . Перетворення з однорідних координат описується співвідношеннями
(
4
.1)
де T
- деяка матриця перетворення.
Ця матриця може бути представлена у вигляді 4 окремих частин
Матриця 3x3 здійснює лінійне перетворення у виді зміни масштабу, зсуву й обертання. Матриця-рядок 1х3 робить перенос, а матриця-стовпець 3х1 - перетворення в перспективі. Останній скалярний елемент виконує загальну зміну масштабу. Повне перетворення, отримане шляхом впливу на вектор положення матрицею 4x4 і нормалізації перетвореного вектора, будемо називати білінійним перетворенням. Воно забезпечує виконання комплексу операцій зсуву, часткової зміни масштабу, обертання, відображення, переносу, а також зміни масштабу зображення в цілому.
Тривимірна зміна масштабу
Діагональні елементи основної матриці перетворення 4х4 здійснюють часткову і повну зміну масштабу. Розглянемо перетворення
,(
4
.
2
)
яке робить часткову зміну масштабу. На рис.4.1а показане перетворення паралелепіпеда в одиничний куб шляхом зміни масштабу. Загальна зміна масштабу виходить за рахунок використання четвертого діагонального елемента, тобто
. (
4
.
3
)
Це перетворення ілюструє рис.4.1б. Такий же результат можна отримати при рівних коефіцієнтах часткових змін масштабів. У цьому випадку матриця перетворення повинна бути рівна
. (
4
.
4
)
Вектори положення точок А і В рівні і .
Рис.4.1. Тривимірні перетворення iз зміною масштабів.
Тривимірний зсув
Недіагональні елементи верхньої лівої підматриці 3х3 від загальної матриці перетворення розміру 4х4 здійснюють зсуви в трьох вимірах, тобто
. (
4
.
5
)
Простий тривимірний зсув одиничного куба показаний на рис.4.1в.
Тривимірні обертання
Раніше було показано, що матриця 3х3 забезпечувала комбінацію операцій зміни масштабу і зсуву. Однак, якщо визначник матриці 3х3 дорівнює +1, то має місце чисте обертання навколо початку координат. Перед розглядом загального випадку тривимірного обертання навколо довільної осі дослідимо кілька окремих випадків. При обертанні навколо осі х
розміри уздовж осі х
не змінюються. Таким чином, матриця перетворень буде мати нулі в першому рядку і першому стовпці, за винятком одиниці на головній діагоналі. Це приводить до матриці перетворення, що відповідає повороту на кут навколо осі х
і задається співвідношенням
(
4
.
6
)
Обертання вважається додатнім, тобто за годинниковою стрілкою, якщо дивитися з початку координат вздовж осі обертання. На рис.4.2а показаний поворот на -90° навколо осі x
.
Для обертання на кут Ф
навколо осі y
- нулі ставлять у другому рядку і другому стовпці матриці перетворення, за винятком одиниці на головній діагоналі. Повна матриця задається виразом
(
4
.
7
)
Рис.4.2. Тривимірні обертання.
На рис.4.2б показаний поворот на 90° навколо
. Аналогічно матриця перетворення для обертання на кут навколо осі z
має вид
(
4
.
8
)
Аналіз визначників для матриць (4.6)-(4.8) показує, що для будь-якої матриці обертання детермінант дорівнює +1.
Тому що обертання описуються множенням матриць, то тривимірні обертання некомутативні, тобто порядок множення буде впливати на кінцевий результат. Для того щоб показати це, розглянемо обертання навколо осі х
, за яким слідує обертання на такий же кут навколо осі y
. Використовуючи рівняння (4.6) і (4.7) при = Ф
, одержимо
Рис.4.3. Некомутативність тривимірних обертань.
(4.9)
Зворотна послідовність дій, тобто обертання навколо осі y
і наступне за ним обертання на такий же кут навколо осі x
при = Ф
дає
(
4
.
10
)
На рис.4.3 для лівого верхнього зображення штриховими лініями показані результати двох послідовних обертань, описаних матрицею перетворення (4.9). Зображення, отримане обертаннями, виконаними в іншій послідовності, описаними рівняннями (4.10), показані суцільною лінією. З порівняння отриманих зображень видно, що при зміні порядку обертання виходять різні результати.
Часто буває необхідно обертати зображення навколо однієї з осей декартової системи координат.
Відображення в просторі
Іноді потрібно виконати дзеркальне відображення тривимірного зображення. У трьох вимірах найпростіше відображення здійснюється щодо площини. Для відображення без зміни масштабів необхідно, щоб визначник перетворення дорівнював -1,0. При відображенні щодо площини xy змінюється тільки знак координати z
. Отже, матриця перетворення для відображення щодо площини xy
має вигляд
(
4
.
11
)
Відображення одиничного куба щодо площини ху показане на рис.4.4. Для відображення щодо площини уz
(
4
.
12
)
Рис.4.4. Просторове відображення щодо площини xy
.
(
4
.
12
)
а для відображення щодо площини xz
(
4
.
13
)
Відображення щодо інших площин можна одержати шляхом комбінації обертання і відображення.
Просторовий перенос
Тривимірний лінійний перенос зображення задається виразом
(
4
.
14
)
Після перемножування одержимо
(
4
.
15
)
Тривимірне обертання навколо довільної осі
тривимірне обертання фігура відображення
Метод двовимірного плоского обертання навколо довільної осі був розглянений раніше. Узагальненням цього методу є спосіб обертання навколо довільної осі в тривимірному просторі. Як і для плоского випадку, розглянена процедура полягає в переносі зображення і заданої осі обертання, що забезпечує обертання навколо осі, що проходить через початок координат. Метод тривимірного обертання полягає в лінійному переносі, обертанні навколо початку координат і зворотньому лінійному переносі у вихідне положення. Якщо вісь, навколо якої виконується обертання, проходить через точку А = , то матриця перетворення визначається наступним виразом:
(4.16)
де елементи матриці обертання R
розміру 4х4 визначаються в загальному випадку співвідношенням
(4.17)