Архангельский государственный технический университет
Кафедра эксплуатации автомобилей и МЛК
(наименование кафедры)
Расчётно-графическая работа
По дисциплине
Основы теории надежности и диагностики
На тему
Расчет показателей надежности и законов их распределения
Руководитель
Кузнецов Н.И.
Архангельск
2009
Задание
По данным, (они представляют собой ресурсы автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта в тысячах километров пробега), необходимо:
- определить среднее арифметическое значение ресурса автомобиля до капитального
ремонта;
- рассчитать среднее квадратическое отклонение ресурса;
- определить коэффициент вариации ресурса;
- построить эмпирический закон распределения ресурса;
- подобрать теоретический закон;
- проверить согласие теоретического и эмпирического законов распределений;
- определить доверительный интервал для математического ожидания ресурса.
1. Расчет параметров экспериментального распределения
Число классов статистического ряда определяем по формуле (11):
,
где N– общее число наблюдений
Принимаем .
Размах выборки для нашего ряда
Значение классового промежутка находим по формуле (12):
Для удобства вычислений принимаем .
Середина классов W – полусумма начала данного класса и начала следующего класса. Середины крайних классов принимаем близкими к наименьшему и наибольшему значениям случайной величины.
Начало Wa и конец Ww класса находим по формулам:
где h-принятая точность измерения случайной величины.
Результаты расчетов сведены в таблицу 1.
Таблица 1 - Cоставление статистического ряда
| Границы класса | Середина | Частота | ||
| 15,09 | 17,08 | 16,09 | 0,00 | |
| 13,09 | 15,08 | 14,09 | 0,00 | |
| 11,09 | 13,08 | 12,09 | 0,00 | |
| 9,09 | 11,08 | 10,09 | 2,00 | |
| 7,09 | 9,08 | 8,09 | 9,00 | |
| 5,09 | 7,08 | 6,09 | 16,00 | |
| 3,09 | 5,08 | 4,09 | 14,00 | |
| 1,09 | 3,08 | 2,09 | 9,00 | |
| Всего | 50,00 | |||
2. Вычисление среднего арифметического значения и среднего квадратического отклонения
Среднее арифметическое значение случайной величины способом произведений вычисляем по формуле
(13)
где А - условная средняя, середина модального или близкого к нему класса;
S1 - первая сумма,
а - условные отклонения середин классов, выраженные в классовых промежутках,
Среднее квадратическое отклонение определяем по формуле
(14)
где с - сумма взвешенных квадратов центральных отклонений середин классов от средней ряда, выраженная в квадратах классов промежутков,
;
S2 – вторая сумма,
Результаты расчетов сведены в таблицы 2 и 3.
Таблица 2 - Вспомогательные вычисления для определения
| W | f | a | fa | fa^2 |
| 16,09 | 0 | 3,0 | 0 | 0 |
| 14,09 | 0 | 2,0 | 0 | 0 |
| 12,09 | 0 | 1,0 | 0 | 0 |
| 10,09 | 2 | 0,0 | 0 | 0 |
| 8,09 | 9 | -1,0 | -9 | 9 |
| 6,09 | 16 | -2,0 | -32 | 64 |
| 4,09 | 14 | -3,0 | -42 | 126 |
| 2,09 | 9 | -4,0 | -36 | 144 |
| Всего | 50 | -119 | 343 |
Таблица 3
| S1 | S2 | X | C | Сигма | V |
| -119 | 343 | 5,33 | 59,78 | 2,21 | 0,414 |
3. Определение вида закона распределения случайной величины
распределение экспериментальный случайный величина
Закон распределения случайной величины определяют в следующей последовательности:
- выравнивают эмпирический ряд одним из теоретических распределений;
- производят оценку различий эмпирического и теоретического распределений по критериям c2 или l.
3.1 Экспоненциальный закон распределения
Теоретические частоты для распределения определяют по формуле
,
где - экспоненциальная функция, значения которой табулированы;
- условные отклонения середин классов,
.
Результаты расчетов сведены в таблицу 4, выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону приведено на рисунке 1.
Таблица 4 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону
| W | f | W-X | x=Wi/X | ℓ | (Nk/X)*ℓ | f' |
| 16,09 | 0,00 | 10,76 | 3,02 | 0,026 | 0,488 | 0,00 |
| 14,09 | 0,00 | 8,76 | 2,64 | 0,035 | 0,657 | 1,00 |
| 12,09 | 0,00 | 6,76 | 2,27 | 0,492 | 0,657 | 1,00 |
| 10,09 | 2,00 | 4,76 | 1,89 | 0,077 | 1,435 | 1,00 |
| 8,09 | 9,00 | 2,76 | 1,52 | 0,135 | 2,538 | 3,00 |
| 6,09 | 16,00 | 0,76 | 1,14 | 0,237 | 4,445 | 4,00 |
| 4,09 | 14,00 | -1,24 | 0,77 | 0,415 | 7,782 | 8,00 |
| 2,09 | 9,00 | -3,24 | 0,39 | 0,733 | 13,760 | 14,00 |
| Всего | 50,00 | 31,76 | 32,00 |
Рисунок 1 - Выравнивание статистического ряда по экспоненциальному закону распределения
3.1.1 Оценка различий эмпирического и теоретического распределений
Методика оценки различий эмпирического и теоретического распределений для различных законов распределения одна и та же.
Для проверки согласованности теоретического и эмпирического распределений чаще всего используют критерий c2 Пирсона, величину которого рассчитывают по формуле
где c02 – стандартные значения критерия, его значения находят по специальным таблицам в зависимости от числа степеней свободы v;
, – эмпирические и теоретические частоты классов соответственно.
Первичное v1 и вторичное v2 числа степеней свободы определяют по следующим формулам:
; ; .
где r1,r2 - числа классов до и после объединения классов с малыми теоретическими частотами.
Крайние классы с частотой < объединяют с соседними классами ( – минимально допустимая теоретическая частота крайних классов в зависимости от начального числа степеней свободы)
Различия распределений могут считаться случайными, если эмпирический критерий не достигает требуемого порога вероятности b. Необходимо ориентироваться на три уровня вероятности: при малой ответственности исследований b1>= 0,999; при обычной b2 >= 0,99; при большой b3 >= 0,95.
Таблица 5 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 0,49 | -0,49 | 0,24 | 0,49 |
| 14,1 | 0 | 0,66 | -0,66 | 0,43 | 0,66 |
| 12,1 | 0 | 0,66 | -0,66 | 0,43 | 0,66 |
| 10,1 | 2 | 1,44 | 0,56 | 0,32 | 0,22 |
| 8,1 | 9 | 2,54 | 6,46 | 41,75 | 16,45 |
| 6,1 | 16 | 4,44 | 11,56 | 133,53 | 30,04 |
| 4,1 | 14 | 7,78 | 6,22 | 38,66 | 4,97 |
| 2,1 | 9 | 13,76 | -4,76 | 22,66 | 1,65 |
| Всего | 50 | 31,762 | 55,13 |
Следовательно, c02: 13,3; 18,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит экспоненциальному закону распределения.
3.2 Нормальный закон распределения
Таблица 6 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону
| Нормальный закон | ||||||
| Теор частоты | ||||||
| W | f | W-X | x=(W-Ч)/сигма | f(x) | Nkf(x)/сигма | f' |
| 16,09 | 0,00 | 10,76 | 4,87 | 0,00 | 0,000 | 0,00 |
| 14,09 | 0,00 | 8,76 | 3,97 | 0,00 | 0,007 | 0,00 |
| 12,09 | 0,00 | 6,76 | 3,06 | 0,00 | 0,167 | 0,00 |
| 10,09 | 2,00 | 4,76 | 2,15 | 0,04 | 1,773 | 2,00 |
| 8,09 | 9,00 | 2,76 | 1,25 | 0,18 | 8,277 | 8,00 |
| 6,09 | 16,00 | 0,76 | 0,34 | 0,38 | 17,026 | 17,00 |
| 4,09 | 14,00 | -1,24 | -0,56 | 0,34 | 15,431 | 15,00 |
| 2,09 | 9,00 | -3,24 | -1,47 | 0,14 | 6,162 | 6,00 |
| Всего | 50,00 | 48,84 | 48,00 | |||
Рисунок 2 - Выравнивание статистического ряда по нормальному закону распределения
Таблица 7 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 0,00 | 0,00 | 0,00 | 0,00 |
| 14,1 | 0 | 0,01 | -0,01 | 0,00 | 0,01 |
| 12,1 | 0 | 0,17 | -0,17 | 0,03 | 0,17 |
| 10,1 | 2 | 1,77 | 0,23 | 0,05 | 0,03 |
| 8,1 | 9 | 8,28 | 0,72 | 0,52 | 0,06 |
| 6,1 | 16 | 17,03 | -1,03 | 1,05 | 0,06 |
| 4,1 | 14 | 15,43 | -1,43 | 2,05 | 0,13 |
| 2,1 | 9 | 6,16 | 2,84 | 8,06 | 1,31 |
| Всего | 50 | 48,842 | 1,77 |
Следовательно, c02:11,1; 15,1; 20,5 при b соответственно 0,95, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2 меньше c02, то есть эмпирическое распределение не противоречит нормальному закону распределения.
3.3 Распределение Вейбула
Таблица 8 - Выравнивание статистического ряда по распределение Вейбула
| W | f | Wi /a | x=af (Wi/a) |
|
f' |
| 16,09 | 0,00 | 2,74 | 1,2134 | 20,636 | 20,6 |
| 14,09 | 0,00 | 2,40 | 1,4715 | 25,026 | 25,0 |
| 12,09 | 0,00 | 2,06 | 1,5130 | 25,731 | 25,7 |
| 10,09 | 2,00 | 1,72 | 1,3597 | 23,124 | 23,1 |
| 8,09 | 9,00 | 1,38 | 1,0791 | 18,352 | 18,4 |
| 6,09 | 16,00 | 1,04 | 0,7590 | 12,908 | 12,9 |
| 4,09 | 14,00 | 0,70 | 0,4697 | 7,988 | 8,0 |
| 2,09 | 9,00 | 0,36 | 0,2495 | 4,243 | 4,2 |
| Всего | 50,00 | 138,01 | 137,90 |
Рисунок 3 - Выравнивание статистического ряда по распределению Вейбула
Таблица 9 - Определение различий законов распределения
| W1 | f | f ' | f-f ' | (f-f ' )^2 | ( f-f ' )^2/f ' |
| 16,1 | 0 | 20,6 | -20,60 | 424,36 | 20,60 |
| 14,1 | 0 | 25,0 | -25,00 | 625,00 | 25,00 |
| 12,1 | 0 | 25,7 | -25,70 | 660,49 | 25,70 |
| 10,1 | 2 | 23,1 | -21,10 | 445,21 | 19,27 |
| 8,1 | 9 | 18,4 | -9,40 | 88,36 | 4,80 |
| 6,1 | 16 | 12,9 | 3,10 | 9,61 | 0,74 |
| 4,1 | 14 | 8,0 | 6,00 | 36,00 | 4,50 |
| 2,1 | 9 | 4,2 | 4,80 | 23,04 | 5,49 |
| Всего | 50 | 137,900 | 106,11 |
Следовательно, c02: 15,1; 20,5 при b соответственно, 0,99, 0,999
Таким образом, при b=0,99 и 0,999 ответственности испытаний c2больше c02, то есть эмпирическое распределение противоречит распределения Вейбула.
Вывод: Эмпирическое распределение соответствует нормальному закону распределения.
4. Определение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины
В рассмотренном способе оценки числовых характеристик случайных величин неизвестный параметр определялся одним числом. Такая оценка называется точечной. При оценке надежности машин и оборудования часто требуется не только найти для заданного параметра числовое значение, но и оценить его точность и достоверность. Пусть для параметра X (например, математического ожидания) получена по результатам выборочного обследования точечная оценка этого параметра X.
Требуется определить ошибку замены параметра Xего точечной оценкой X. Назначим некоторую вероятность b (b = 0,9) и определим такое значение ошибки e> 0, для которого .
Это равенство означает, что с вероятностью неизвестное значение параметра Xпопадает в интервал .
Интервал называется доверительным, а b- доверительной вероятностью.
Рассмотрим зависимости, используемые при построении доверительных интервалов для параметров случайной величины, распределенной по нормальному закону.
Для математического ожидания границы доверительного интервала определяют по формуле
,
где tb - коэффициент распределения Стьюдента, определяемый по таблицам в зависимости от доверительной вероятности b и числа степеней свободы или размера выборки N -1, ( tb= 1,658)
Доверительный интервал для математического ожидания ресурса согласно формуле:
Iβ=(4,812; 5,848)
Вывод
:
Таким образом, точное значение ресурса автомобилей или их агрегатов до капитального ремонта с вероятностью 0,99 находится в пределах от 4,812 до 5,848 тыс. км пробега.
Список использованных источников
1. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Методические указания и задания к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2001. - 36 с.
2. Кузнецов Н. И., Абакумов Н. В. Надежность машин и оборудования: Нормативно справочный материал к выполнению расчетных работ и задач. - Архангельск: Изд-во АГТУ, 2003. - 14 с.