М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Это типичная ситуация в конденсаторе. Для ее рассмотрения используется уравнение Пуассона с ρ = 0, которое интегрируется с учетом условий φ(x1) = φ1, φ(x2) = φ2 (для плоскостного случая) или φ(r1) = φ1, φ(r2) = φ2 (сфера, цилиндр). Рассмотрим далее случай плоскости.
Далее можно дифференцированием по x найти поле Ex и Dx:
Следующий шаг - нахождение поляризованности и ее дивергенции, то есть связанного заряда ρ':
В точках разрыва ε(x) (на стыке двух диэлектриков) производная ε'(x) обращается в бесконечность, формула для ρ' cтановится неприменимой и надо искать поверхностный связанный заряд:
Обязательно проверяются условия на границах (в данном случае x1, x2) на наличие поверхностного связанного заряда:
В сферическом и цилиндрическом случаях надо правильно писать div в соответствующей системе координат. Выражения для φ(r) принимают вид:
| φ(r) | = | |
| φ(r) | = |
после чего Er(r) и связанные заряды находятся аналогично тому, как это было сделано выше для плоскостного (декартового) случая.
Задача. Получить выражения для φ(r), Er(r), ρ ', σ ' в случае цилиндрической и сферической симметрии, если заданы зависимость ε(r), а также потенциалы граничных поверхностей φ(R1(2)) = φ1(2). ρ = 0.
Указание: Для промежуточной проверки использовать вышеприведенные выражения для потенциала.
Задача.
Решение: Будем считать, что конденсатор занимает область координат x = 0... d, причем потенциал одной обкладки (x = 0) равен φ1 = 0, а другой φ2 = U. Тогда зависимость потенциала от координаты находится как
после чего находим поле Ex(x) дифференцированием:
и далее получаем поляризованность Px:
Взяв дивергенцию, получаем объемный связанный заряд:
и еще проверяем условия на обкладках на наличие поверхностного заряда σ ':
| σ '|x = 0 | = | –Px|x = 0+ = 0 |
| σ '|x = d | = |
Как и следовало ожидать, σ '|x = 0 = 0, поскольку у обкладки x = 0 диэлектрическая проницаемость равнa единице. Если U>0, то σ '|x = d<0, что тоже естественно: у обкладки x = d должен концентрироваться отрицательный связанный заряд. Для проверки найдем суммарный связанный заряд на единицу площали обкладки конденсатора - этот заряд должен оказаться равным нулю. Действительно,
| = | ||
| = | ||
| = |
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.