Уфимский государственный авиационный технический университет
Кафедра АПРиС
Курсовая работа
по дискретной математике
«Полином Жегалкина»
Выполнили:
Проверила:
Шерыхалина Н.М.
Уфа – 2008
Оглавление
Цель работы
Введение
Теоретическая часть
Алгоритм
Блок-схемы
Листинг программы
Тестирование программы
Заключение
Список использованной литературы:
Цель работы
Целью данной работы является изучение булевых функций, разработка алгоритма их представления в виде полинома Жегалкина и написания программы, реализующей этот алгоритм.
Введение
В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых – дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов.
Теоретическая часть
Полнота и замкнутость
Определение 1:Система функцийиз P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.
Пример:
1) Само множество ;
2);
3) - не полна.
Теорема 1. Пусть даны две системы функций из
, (I)
. (II)
Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.
Доказательство: Пусть . В силу полноты системы I , функцию h можно выразить в виде формулы .
По условию теоремы
Поэтому
ч. т. д.
Примеры:
1) - полная.
2) - тоже полная, так как .
3) - тоже полная.
4) - тоже полная, так как
,
,
. ((2) – I)
5) - неполная.
Докажем это от противного.
Предположим, что .
Но .
Противоречие.
6) - неполная (сохраняет константу 0).
6’) - полная.
7) - неполная (сохраняет константу 1).
8)
тогда взяв в качестве системы I систему 2) можно заключить, система функций 8) – полная. Тем самым, справедлива
Теорема Жегалкина. Каждая функция из может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 – (полинома Жегалкина):
,
где . (1)
Имеем: число разных сочетаний равно числу подмножеств множества из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных полиномов Жегалкина равно , т.е. равно числу различных булевых функций.
Т. о. получаем единственность представления функций через полином Жегалкина.
Способы представления функции в виде полинома Жегалкина
1) Алгебраические преобразования
.
Пример:
2) Метод неопределенных коэффициентов
- искомый полином Жегалкина (реализующий функцию ).
Вектор из формулы (1) будем называть вектором коэффициентов полинома .
Нам нужно найти неизвестные коэффициенты .
Поступаем так. Для каждого составим уравнение , где - выражение, получаемое из (1) при . Это дает систему из уравнений с неизвестными, она имеет единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты полинома .
3) Метод, базирующийся на преобразовании вектора значения функции
Пусть - вектор значений функции.
Разбиваем вектор на двумерные наборы:
.
Операция T определена следующим образом:
.
Применяем операцию Т к двумерным наборам:
Используя построенные наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате применения операции Т к четырехмерным наборам, выделяемым из.
Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогично) к восьмимерным и т.д., пока не построим - мерный набор. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома .
Пример:
Пусть вектор значений функций = (0,0,0,1,0,1,1,1)
Полученный вектор является искомым векторов коэффициентов полинома .
Определение 2: Пусть M – некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества M. Обозначается [M].
Замечание. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.
Примеры.
1) M=P2, [M]=P2.
2) M={1,x1Åx2}, [M] – множество L всех линейных функций вида
, (ciÎ{0,1}).
Свойства замыкания:
1) Если М замкнуто, то [M]=M;
2) [[M]]=[M];
3) M1ÍM2 Þ [M1]Í[M2];
4) [M1ÈM2]Ê[M1]&Egr
Определение 3. Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.
Примеры.
1) Класс M=P2 функционально замкнут;
2) Класс {1,x1Åx2} не замкнут;
3) Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).
Новое определение полноты. M – полная система, если [M]=P2.
Алгоритм
булевой функция полином жигалкин
В данной программе был реализован метод неопределенных коэффициентов для построения полинома Жегалкина.
1. Получить таблицу истинности для определенного количества переменных;
2. Заполнить значения функции для каждого из наборов таблицы истинности;
3. Последовательно вычислить неизвестные коэффициенты;
4. Записать функцию в виде полинома Жегалкина с вычисленными коэффициентами.
| x1 | x2 | x3 | f |
| 0 | 0 | 0 | f1 |
| 0 | 0 | 1 | f2 |
| 0 | 1 | 0 | f3 |
| 0 | 1 | 1 | f4 |
| 1 | 0 | 0 | f5 |
| 1 | 0 | 1 | f6 |
| 1 | 1 | 0 | f7 |
| 1 | 1 | 1 | f8 |
.
Листингпрограммы:
#include<iostream.h>
#include<conio.h>
int FuncVolume (int &f)
{
do {cout <<"Vvedite znachenit funkcii na dannom nabore :"<<endl;
cin>>f;
if ((f!=0)&&(f!=1))
cout<<"Error!!!Funkciya mojet prinimat' znachenie libo 0 libo 1!n";
}
while ((f!=0)&&(f!=1));
return f;
}
void main()
{
clrscr();
const N=8;
int m[5];
int f[N],a[N];
for (int i =0; i<N; i++)
{
FuncVolume (f[i]);
}
a[0]= f[0];
a[3]=f[0]^f[1];
a[2]=f[0]^f[2];
a[1]=f[0]^f[4];
m[0]=f[1]^a[2]^a[3];
a[5]=m[0]^f[3];
m[1]=f[1]^a[1]^a[3];
a[6]=m[1]^f[5];
m[2]=f[1]^a[1]^a[2];
a[4]=m[2]^f[6];
m[3]=a[3]^a[4]^a[5];
m[4]=m[2]^m[3]^a[6];
a[7]=m[4]^f[7];
cout<<"nnTablica istinnosti dlya dannoy funkcii : nn";
cout<<"x_1 x_2 x_3 fnn";
cout<<" 0 0 0 "<<f[0]
<<"n 0 0 1 "<<f[1]
<<"n 0 1 0 "<<f[2]
<<"n 0 1 1 "<<f[3]
<<"n 1 0 0 "<<f[4]
<<"n 1 0 1 "<<f[5]
<<"n 1 1 0 "<<f[6]
<<"n 1 1 1 "<<f[7]<<"nn";
cout<<"nnZnachenie koefficientov v polimome Jigalkina : nn" ;
for (i=0; i<N;i++)
{
cout<<"a_"<<i<<" "<<a[i]<<"n";}
cout<<"Polinom Jigalkina dlya dannoy funkcii imeet vid : n f = "<<a[0]
<<"^("<<a[1]<<"*x_1)^("<<a[2]<<"*x_2)^("<<a[3]<<"*x_3)^("<<a[4]<<"*x_1*x_2)^n^("<<a[5]<<"*x_2*x_3)^("<<a[6]<<"*x_1*x_3)^("
<<a[7]<<"*x_1*x_2*x_3)";
getch();
}
Тестирование программы:
На каждом наборе вводятся единицы, то есть функция является тождественной единицей. Простейшая проверка на правильность работы программы:
Так же реализована проверка на правильный ввод данных:
Заключение
В курсовой работе был реализован метод неопределенных коэффициентов для представления функции в виде полинома Жегалкина. По данному алгоритму на языке С++ была написана программа, результат которой был продемонстрирован.
Список использованной литературы
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. — М.: Наука. — 1986
2. Н.А.Ахметова, З.М.Усманова Дискретная Математика. Функции алгебры логики учебное электронное издание – Уфа – 2004
3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. – 3-е изд., перераб. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.