Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии

Введение

Представленная работа посвящена теме «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии». Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных условиях. Об этом свидетельствует частое изучение поднятых вопросов. Тема «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии» изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин. Вопросам исследования посвящено множество работ. В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий характер, а в многочисленных монографиях по данной тематике рассмотрены более узкие вопросы проблемы данного исследования. Однако требуется учет современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии» определяют несомненную новизну
данного исследования.

Актуальность
настоящей работы обусловлена, с одной стороны, большим интересом к теме «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии» в современной науке, с другой стороны, ее недостаточной разработанностью. Рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

Теоретическое значение
изучения проблемы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии» заключается в том, что избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объектом
данного исследования является анализ условий поставленной проблемы.

При этом предметом
исследования является рассмотрение отдельных вопросов, сформулированных в качестве задач данного исследования.

Целью
исследования является изучение темы «Теорема Дезарга и её применение к решению задач из курса школьной геометрии» с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике. В рамках достижения поставленной цели были поставлены и решены следующие задачи
:

1. Изучить теоретические аспекты и выявить природу данной темы;

2. Сказать об актуальности проблемы в современных условиях;

3. Изложить возможности решения тематики;

4. Обозначить тенденции развития тематики»;

дезарг математик теорема евклидовый

1. Исторические аспекты данной проблемы

Жерар Дезарг (Dйsargues) [1593–1662, (по др. данным – 1591–1661)], французский математик. Был военным инженером. Заложил основы проективной и начертательной геометрии. В своих исследованиях систематически применял перспективное изображение. Первым ввёл в геометрию бесконечно удаленные элементы. Дезаргу принадлежит одна из основных теорем проективной геометрии (теорема Дезарга) также сочинения о резьбе по камню и о солнечных часах, где он даёт геометрические обоснования практическим операциям. В 1636 г. Дезарг написал небольшое сочинение под заглавием «Общий метод изображения предметов в перспективе» (Париж, 1636). В этой работе он впервые применяет метод координат для построения перспективных масштабов. В качестве одной из осей он выбирает линию пересечения картинной и предметной плоскости, второй осью служит перпендикуляр к предметной плоскости, лежащий в картинной плоскости, а третьей – перпендикуляр к картинной плоскости, лежащий в предметной. Следовательно, картинная и предметная плоскости служат двумя координатными плоскостями, а третья к ним перпендикулярна. На осях координат наносятся масштабы широт, высот и глубин, при этом последний дается в перспективе. Другое сочинение Дезарга, посвященное вопросу о пересечении конуса плоскостью (1639) было утеряно и только случайно в 1845 г. французский геометр и историк математики М. Шаль нашел у одного парижского букиниста рукописную копию с этого замечательного труда. В нем Дезарг впервые рассматривает конические сечения как перспективу круга. Благодаря этому все учение о конических сечениях принимает чрезвычайно простую изящную форму, охватывая в одном методе все три вида кривых (эллипс, парабола и гипербола). Пользуясь перспективой как общим методом исследования, Дезарг пришел к необходимости рассматривать так называемые бесконечно удаленные элементы пространства. Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований. Наконец, третьим важнейшим результатом работы Дезарга является его исследование инволюционного соответствия точек прямолинейного ряда. Здесь и самый термин «инволюция» принадлежит Дезаргу и взят им из ботанического словаря. Прямую, на которой расположен ряд точек, он называет «древом», точку отсчета отрезков – «стволом», самые отрезки – «ветвями» и т.д. Дезарг рассматривал инволюционное расположение пар точек на прямой и ему принадлежит доказательство весьма общей теоремы о том, что пучок конических сечений, проходящих через четыре неподвижных центра в пересечении с прямой дает инволюцию. Наконец, необходимо упомянуть о теореме Дезарга относительно гомологических треугольников. Фундаментальное значение этой теоремы для геометрии нельзя не заметить. Работы Дезарга заложили научные основы проективной геометрии, поэтому его следует по справедливости считать основоположником этой дисциплины.

Теорема Дезарга является фундаментальной теоремой проективной геометрии. Перед тем как сформулировать ее, дадим проективное определение треугольника.

Треугольником,
или трехвершинником,
или трехсторонником
называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых (а не отрезков прямых), соединяющих эти точки попарно (рис. 1). Точки называются вершинами,
а прямые – сторонами
треугольника.

В дальнейшем будем говорить о треугольниках только в смысле этого определения, если не будет оговорено противное.

Теоремы Дезарга, прямая и обратная, верны как в том случае, когда треугольники АВС и А'В'С' расположены в двух разных плоскостях, так и в том случае, когда они расположены в одной плоскости. В первом случае мы говорим о теореме Дезарга в пространстве, во втором случае о теореме Дезарга на плоскости. Точка S называется точкой Дезарга
или центром перспективности
, а прямая s – прямой Дезарга
или осью перспективности
данных треугольников. Два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга в пространстве называются перспективными
, так как один из них есть перспективный образ другого; два треугольника, удовлетворяющие условиям теоремы Дезарга на плоскости, называются гомологическими
.

Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой. AB
Ç
A
'
B
'=
P
,
AC
Ç
A
'
C
'=
Q
,
BC
Ç
B
'
C
'=
R
,
AA
'
Ç
BB
'
Ç
CC
'=
O
.

Доказательство:Рассмотрим векторы порождающие соответствующие точки, так как А, А', О
лежат на одной прямой, то векторы порождающие их линейно зависимы, т.е. = .

Из того, что В', В, О
– лежат на одной прямой Þ,, - линейно зависимы Þ=

Точки С, С', О
– лежат на одной прямой Þ= г
+

= = г
+

,, – линейно зависимы Þ точки А, В, Р
Î одной прямой,
,,- линейно зависимы Þ точки А', В', Р'
Î одной прямой.

P
=
AB
Ç
A
'
B
'

–
= –
=
(2)

,, – линейно зависимы Þ точки А, С,
Q
Î одной прямой.

- линейно зависимы Þ точки А', С',
Q
'
Î одной прямой.

Следовательно, Q
=АС
Ç
А'С'

–
= –
= (3)

,, – линейно зависимы Þ точки В, С,
R
Î одной прямой.

,', ' – линейно зависимы Þ точки В', С',
R
'
Î одной прямой

Следовательно, R
=ВС
Ç
В'С'.

Составим выражение:

=-
-+
+
-
=
- векторы , , линейно зависимы Þ точки P
,
Q
,
R
лежат на одной прямой.

Теорема доказана.

Если точки пересечения соответственных сторон двух трехвершинников лежат на одной прямой, то прямые, проходящие через соответственные вершины этих трехвершинников, проходят через одну точку.

Доказательство при помощи теоремы Менелая

Теорема Менелая гласит:

Если точки X, Y, Z лежащие на сторонах ВС, СА, АВ (соответственно продолженных) треугольника АВС коллинеарны, то

.

Обратно, если это уравнение выполняется для точек X, Y, Z, лежащих на трех сторонах треугольника, то эти три точки коллинеарны.

Теорема Дезарга: Если два треугольника перспективны относительно точки и если их пары соответствующих сторон пересекаются, то эти три точки пересечения коллинеарны.

Доказать: P, Q, Rколлинеарны

Доказательство: Мы имеем теорему лишь о принадлежности точек прямым и пересечении прямых. Треугольники АВС и A’B’C’ перспективны относительно точки О, а пары их соответствующих сторон пересекаются в точках R, Q, P. Для доказательства применим теорему Менелая к тройкам точек. {Q, C’, A’}, {R, B’, C’}, {P, A’, B’}

Лежащих на сторонах трех треугольников ОАС,
ОСВ,
ОВА
, получим при этом

,

,

Перемножим эти три выражения и, проделав умеренное число сокращений, получим

,

Þ Точки Q
,
R
,
P
коллинеарны.

Теорема доказана.

Доказательство в проективной системе координат

На проективной действительной плоскости имеет место Теорема Дезарга.

Теорема Дезарга: Если прямые проходящие через соответствующие вершины двух трехвершинников пересекаются в одной точке, то точки пересечения соответствующих сторон этих трехвершинников лежат на одной прямой. P
=
AB
Ç
A
'
B
',
Q
=
AC
Ç
A
'
C
',
R
=
BC
Ç
B
'
C
',
AA
'
Ç
BB
'
Ç
CC
'=
Q

Доказать:P, Q, Rлежат на одной прямой.

Доказательство:

Введем проективную систему координат, примем точки А, В, С, О
за фундаментальные: А (1,0,0), В (0,1,0), С (0,0,1), О (1,1,1)

Координаты точки А'
– есть линейная комбинация координат точки А
и точки О
, так как А
¹
А'
, то А'=
a
А +
d
q