Задание
| номер интервала | границы интервалов t | частота m | |
| свыше | до(включительно) | ||
| 1 | 57,997 | 57,999 | 2 |
| 2 | 57,999 | 58,001 | 2 |
| 3 | 58,001 | 58,003 | 8 |
| 4 | 58,003 | 58,005 | 25 |
| 5 | 58,005 | 58,007 | 33 |
| 6 | 58,007 | 58,009 | 50 |
| 7 | 58,009 | 58,011 | 65 |
| 8 | 58,011 | 58,013 | 71 |
| 9 | 58,013 | 58,015 | 32 |
| 10 | 58,015 | 58,017 | 37 |
| 11 | 58,017 | 58,019 | 26 |
| 12 | 58,019 | 58,021 | 6 |
| 13 | 58,021 | 58,023 | 3 |
1.
Определение теоретической функции плотности распределения. Графическое изображение эмпирического и теоретического распределений
плотность распределение доверительный математический ожидание
При построении гистограмм и полигонов по оси абсцисс откладывают значения результатов измерений (середины интервалов xi
), по оси ординат – частности появления результатов измерения в каждом i-м интервале.
Из-за ограниченности числа результатов измерений при обработке вместо математического ожидания и дисперсии получают их приближенные оценки– соответственно эмпирическое среднее и эмпирическую дисперсию S2
, характеризующие средний результат измерений и степень разброса измерений. и S2
определяются из выражений:
Значения вероятности попадания результата измерения в конкретный интервал можно определить, используя значения функции:
,
где .
Тогда вероятность попадания результата в i-й интервал величиной h
.
Внесем все вычисления в таблицу и на основании полученных результатов построим кривую теоретического распределения, а так же гистограмму и полигон эмпирического распределения:
| Середина интервала xi
|
Эмпирич. частости P’i
|
mi
xi |
xi
- |
zi
|
mi
xi 2 |
φi
(z) |
Pi
|
| 57,998 | 0,006 | 115,996 | -0,01285 | 2,874965 | 6727,536 | 0,006399 | 0,002863 |
| 58 | 0,006 | 116 | -0,01085 | 2,4275 | 6728 | 0,020956 | 0,009377 |
| 58,002 | 0,022 | 464,016 | -0,00885 | 1,980034 | 26913,86 | 0,056179 | 0,025138 |
| 58,004 | 0,069 | 1450,1 | -0,00685 | 1,532569 | 84111,6 | 0,123277 | 0,055162 |
| 58,006 | 0,092 | 1914,198 | -0,00485 | 1,085103 | 111035 | 0,221427 | 0,099081 |
| 58,008 | 0,139 | 2900,4 | -0,00285 | 0,637638 | 168246,4 | 0,325553 | 0,145674 |
| 58,01 | 0,181 | 3770,65 | -0,00085 | 0,190173 | 218735,4 | 0,391793 | 0,175314 |
| 58,012 | 0,197 | 4118,852 | 0,00115 | 0,257293 | 238942,8 | 0,385954 | 0,172701 |
| 58,014 | 0,089 | 1856,448 | 0,00315 | 0,704758 | 107700 | 0,311212 | 0,139257 |
| 58,016 | 0,103 | 2146,592 | 0,00515 | 1,152223 | 124536,7 | 0,20541 | 0,091914 |
| 58,018 | 0,072 | 1508,468 | 0,00715 | 1,599689 | 87518,3 | 0,110976 | 0,049658 |
| 58,02 | 0,017 | 348,12 | 0,00915 | 2,047154 | 20197,92 | 0,049077 | 0,02196 |
| 58,022 | 0,008 | 174,066 | 0,01115 | 2,494619 | 10099,66 | 0,017765 | 0,007949 |
| Сумма | 20883,91 | 1211493 |
| = | 58,01085 |
| S2
= |
1,99775E-05 |
| S= | 0,00446962 |
2.
Критерий согласия эмпирического и теоретического распределений
Считают, что эмпирическое распределение хорошо согласуется с теоретическим, если (1 - g) больше 0,1. Согласно критерию Колмогорова, сравнивают эмпирические и теоретические значения, но уже не плотности распределения, а интегральной функции. Значение максимальной (по абсолютной величине) разности между ними DN
подставляют в выражение:
,
где N – объем выборки.
Вычисление эмпирических F’i
и теоретических Fi
значений интегральной функции производим путем последовательного суммирования соответственно значений P’i
и Pi
. Результаты вычислений сведены в таблицу:
| Номер интервала | Pi
|
P’i
|
Fi
|
F’i
|
Fi-Fi' |
| 1 | 0,002863 | 0,005556 | 0,002863 | 0,005556 | 0,002692 |
| 2 | 0,009377 | 0,005556 | 0,01224 | 0,011111 | -0,00113 |
| 3 | 0,025138 | 0,022222 | 0,037379 | 0,033333 | -0,00405 |
| 4 | 0,055162 | 0,069444 | 0,092541 | 0,102778 | 0,010237 |
| 5 | 0,099081 | 0,091667 | 0,191622 | 0,194444 | 0,002823 |
| 6 | 0,145674 | 0,138889 | 0,337295 | 0,333333 | -0,00396 |
| 7 | 0,175314 | 0,180556 | 0,512609 | 0,513889 | 0,00128 |
| 8 | 0,172701 | 0,197222 | 0,68531 | 0,711111 | 0,025801 |
| 9 | 0,139257 | 0,088889 | 0,824566 | 0,8 | -0,02457 |
| 10 | 0,091914 | 0,102778 | 0,91648 | 0,902778 | -0,0137 |
| 11 | 0,049658 | 0,072222 | 0,966138 | 0,975 | 0,008862 |
| 12 | 0,02196 | 0,016667 | 0,988098 | 0,991667 | 0,003568 |
| 13 | 0,007949 | 0,008333 | 0,996048 | 1 | 0,003952 |
DN
= F'8
– F8
=0,025801,
N=åmi
=360,
Тогда получаем:
λ= 0,48953
Для lN
=0,52 g» 0,05 Þ (1 – 0,05)=0,95 >0,1.
Отсюда можно сделать вывод: согласие эмпирического распределения с нормальным теоретическим можно считать хорошим.
3.
Определение доверительных интервалов
В ряде задач, особенно при малом числе измерений, требуется не только найти эмпирическую оценку для того или иного параметра, но и определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью будет находиться теоретическое значение параметра.
Доверительный интервал для математического ожидания определяем из выражения:
интегральный доверительный интервал математический ожидание
Значения tγ
табулированы и равняется tγ
= 2,18 для N=13 и γ*=0,95.
58,00814756<M<58,01355244
Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения определяем из выражения:
Значения χ1
2
, χ2
2
табулированы и определяется в зависимости от числа измерений N и односторонних вероятностей γ1
, γ2
:
Значение χ1
2
определяем при вероятности (1- γ1
), χ2
2
– при γ2
.
χ1
2
=24,1 χ2
2
=4,18
И тогда
| 0,003024897 | <σ< | 0,008194587 |
4. Определение диапазона рассеивания значений
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при вероятности риска 0,0027
.
М
»
=
58,01085
»
S
=
0,00446962
М-3
»
57.997442
М+3
»
58.024258
Определение границ диапазона рассеивания значений по результатам измерений, при допускаемом значении вероятности риска 2β=0,001
М±σ
=0,4995
при этом=3,29
(по справочнику)
М-3,29=57,996146
М+3,29=58,025554
Список использованной литературы
1. Зябрева Н.Н. и др. Пособие к решению задач по курсу "Взаимозаменяемость, стандартизация и технические измерения". Учеб. Пособие для вузов. М., "Высш. школа", 1977.