Анализ эмпирического распределения

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет»

Факультет экономики и менеджмента

Кафедра «Предпринимательство и коммерция»

Курсовой проект

по дисциплине «Статистика»

на тему «Анализ эмпирического распределения»

Выполнила студентка

Щербакова Екатерина Васильевна

Санкт-Петербург 2009

CОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ТАБЛИЧНОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

2. ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

3. ОЦЕНКА ВАРИАЦИИ ИЗУЧАЕМОГО ПРИЗНАКА

4. ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

5. ХАРАКТЕРИСТИКА ФОРМЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

6. СГЛАЖИВАНИЕ ЭМПИРИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Статистические ряды распределения являются одним из наиболее важных элементов статистики. Они представляют собой составную часть метода статистических сводок и группировок, но, по сути, ни одно из статистических исследований невозможно произвести, не представив первоначально полученную в результате статистического наблюдения информацию в виде статистических рядов распределения.

Первичные данные обрабатываются в целях получения обобщенных характеристик изучаемого явления по роду существенных признаков для дальнейшего осуществления анализа и прогнозирования; производится сводка и группировка; статистические данные оформляются с помощью рядов распределения в таблицы, в результате чего информация представляется в наглядном рационально изложенном виде, удобном для использования и дальнейшего исследования; строятся различного рода графики для наиболее наглядного восприятия и анализ информации. На основе статистических рядов распределения вычисляются основные величины статистических исследований: индексы, коэффициенты; абсолютные, относительные, средние величины и т.д., с помощью которых можно проводить прогнозирование, как конечный итог статистических исследований.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что статистические ряды распределения являются базисным методом для любого статистического анализа. Понимание данного метода и навыки его использования необходимы для проведения статистических исследований.

Основной целью написания курсовой работы является изучение методики статистического анализа рядов распределения. Для достижения поставленной цели были поставлены и выполнены следующие основные задачи:

1. Освещено понятие и виды статистических рядов распределения, и основные формы их представления.

2. Рассчитаны и проанализированы показатели, характеризующие центральную тенденцию, вариацию, структуру и форму ряда распределения.

3. Проведено сглаживание эмпирического распределения и проверены гипотезы о законе распределения.

В качестве данных для анализа в курсовой работе были использованы данные о распределении регионов Российской Федерации по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г. (из статистического сборника «Регионы России» за 2007 г.).

Методической базой для написания курсовой работы является учебное пособие Н.В. Куприенко «Статистика. Методы анализа распределений. Выборочное наблюдение». Также при написании работы были использованы и учебные пособия по основам статистики следующих авторов: И.И. Елисеевой, В.М. Гусарова, М.Р. Ефимовой и др.

статистический ряд распределение сглаживание

1. ТАБЛИЧНОЕ И ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ

ВАРИАЦИОННОГО РЯДА

Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. Он характеризует состав (структуру) изучаемого явления, позволяет судить об однородности совокупности, закономерности распределения и границах варьирования единиц совокупности[1]
.

Ряды распределения подразделяют:

1. Атрибутивные – строятся по описательным признакам в порядке возрастания или убывания наблюденных значений признака. Примером атрибутивных рядов могут служить распределения населения по национальности, по профессиям, по полу; распределение предприятий по формам собственности.

2. Вариационные – строятся по количественным признакам, например, распределение рабочих по уровню квалификации, по заработной плате, распределение студентов по успеваемости.

Вариационные ряды делятся на дискретные (в которых признак принимает только целочисленные значения) и интервальные (построены на признаках, которые могут принимать любые, в том числе и дробные значения).

Вариационные ряды распределения состоят из двух элементов: вариантов и частот. Вариантом называется числовое значение количественного признака в ряду распределения. Они могут быть положительными и отрицательными, абсолютными и относительными.

Частоты – это численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, т.е. числа, показывающие, как часто встречаются те или иные варианты в вариационном ряду. Сумма всех частот равна общему количеству элементов совокупности и называется объемом совокупности.

Частости – это частоты, выраженные в виде относительных величин (в долях единицы или процентах). Сумма частостей равна единице или 100%.

Первым шагом к упорядочиванию первичного ряда данных является его ранжирование, т.е. расположение всех его данных в возрастающем или убывающем порядке.

Способы построения дискретного и интервального вариационных рядов различны, поэтому, вначале нужно определить к какому типу относится исследуемый ряд данных. Поскольку исходными данными для анализа являются данные о числе легковых автомобилей на 1000 человек населения, то вариационный ряд будет интервальным (так как значения признака могут быть дробными).

Следовательно, в первую очередь необходимо определить количество групп и интервалы группировки.

Интервал – количественное значение, отделяющее одну единицу (группу) от другой, т.е. интервал очерчивает количественные границы групп[2]
.

Ориентировочно определить оптимальное количество групп с равными интервалами можно по формуле Стерджесса:

, (1.1)

где N – численность единиц совокупности.

Формула Стерджесса пригодна при условии, что распределение единиц совокупности по данному признаку приближается к нормальному и при этом применяются равные интервалы в группах.

Численность единиц совокупности равна 80, следовательно по формуле Стерджесса количество групп вариационного ряда будет равно:

Однако поскольку формула Стерджесса дает приемлемые результаты только при анализе больших совокупностей, рассмотрим несколько различных вариантов распределения с различным количеством интервалов.

Ниже приведены таблицы вариационного ряда, построенные с использованием разного количества интервалов (рис. 1.1.).

Выбирая окончательный вариант табличного представления вариационного ряда из представленных вариантов, остановимся на первом – n=8. При n=13 наблюдает много малонаполненных групп и нулевой интервал, при n=10 также имеются малонаполненные группы.

В таблицах первая непоименованная графа (From To) содержит интервалы значений признака «Количество легковых автомобилей на 1000 чел. населения».

Второй столбец «Count» – абсолютные частоты (fi
), т.е. число единиц совокупности, обладающих указанным значением признака.

Cumulative Count – накопленные абсолютные частоты, получаемые последовательным суммированием частот по группам. Сумма накопленных частот по каждой строке означает, какое количество единиц совокупности (регионов) имеет значение признака, не превышающее значения верхней границы данного интервала. Общая сумма накопленных частот соответствует объему изучаемой совокупности (80).

Percent – частости (относительные частоты, wi
; выражаются в процентах), рассчитываются:

, (1.2)

где:fi
– число единиц i-той группы; – общее число единиц в совокупности; wi
– доля каждой группы в общем объеме совокупности.

а)

б)

в)

Рис. 1.1. Распределение регионов России по значению показателей «Количество легковых автомобилей на 1000 человек населения» в 2005 г. с числом интервалов а) n=8, б) n=10, в) n=13

Cumulative percent – накопленные частости – это результат последовательного суммирования относительных частот по группам, итоговая сумма, очевидно, равна 100%.

Табличное представление вариационного ряда позволяет получить подробную информацию о составе и структуре изучаемой совокупности, т.е. определить какое количество единиц изучаемой совокупности обладает тем или иным значением признака и какова доля этой группы единиц в общем объеме совокупности, а также выявить закономерность изменения частот.

Из таблицы видно, что наибольшую частоту (32 или 40,0% от всего объема совокупности) имеет интервал 140,8-171,2 автомобилей на 1000 чел. населения.

Наименьшую частоту (2 или 2,5%) имеет первый интервал – 19,3-49,69 автомобиля на 1000 чел. населения.

Для более наглядного представления вариационного ряда используют статистические графики.

Статистический график представляет собой чертеж, на котором при помощи условных геометрических фигур (линий, точек или других символических знаков) изображаются статистические данные. В результате этого достигается наглядная характеристика изучаемой статистической совокупности.

Правильно построенный график делает статистическую информацию более выразительной, запоминающейся и удобно воспринимаемой[3]
.

Традиционно для изображения вариационных рядов распределения в отечественной практике используются графики: гистограмма, полигон, кумулята.

На рис. 1.2 представлен полигон распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г. в абсолютных частотах при количестве интервалов n=8. Он показывает, что наибольшую частоту имеет интервал 140,8-171,17, т.е. это модальный интервал.

Рис. 1.2. Полигон распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г. в абсолютных частотах (n=8)

На рис. 1.3 приведена кумулята распределения в абсолютных частотах, а на рис. 1.4. – в относительных частотах.

Из рисунка 1.2 видно, что середина распределения приходится на интервал 140,8-171,17, следовательно, этот интервал является медианным.

Рис. 1.3. Кумулята распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г., n=8 (абсолютные частоты)

Одной из часто используемых видов графиков является гистограмма (или столбиковая диаграмма), т.е. график распределения, на котором частоты каждого интервала представлены в виде столбиков (рис. 1.5).

Рис. 1.4. Кумулята распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г., n=8 (относительные частоты)

Рис. 1.5. Гистограмма распределения количества легковых автомобилей на 1000 чел. населения по регионам России за 2005 г. (n=8)

2. ХАРАКТЕРИСТИКА ЦЕНТРАЛЬНОЙ ТЕНДЕНЦИИ

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Статистический анализ вариационных рядов распределения предполагает расчет характеристик центра распределения, его структуры, оценку степени вариации и дифференциации изучаемого признака, изучение формы распределения.

В качестве показателей центральной тенденции распределения используются: среднее арифметическое значение, мода и медиана.

Средней арифметической величиной называется такое значение признака в расчете на единицу совокупности, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иными словами, средняя арифметическая величина — среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности[4]
.

Средняя арифметическая определяется по формулам:

1) Средней арифметической простой (для несгруппированных данных):

,(2.1)

где: – значение признака у i-й единицы совокупности; n – объем совокупности (ValidN).

2) Средней арифметической взвешенной (для интервального вариационного ряда):

, (2.2)

где:fi
– абсолютные частоты; xi
– середина интервала.

Определим среднюю арифметическую для рассматриваемых данных:

1. По формуле простой средней на основе массива несгруппированых данных:

2. По формуле средней арифметической взвешенной на основе группировочной таблицы с 8 интервалами (табл. 2.1):

Таблица 2.1 Расчет средней арифметической взвешенной для распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г.

Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменным произведение индивидуальных величин, то следует применить геометрическую среднюю величину. Ее формула такова:

(2.3)

Значение средней геометрической было рассчитано с помощью ППП «Statistica» и составило 145,9133.

При изучении вариации применяются такие характеристики вариационного ряда, которые описывают количественно его структуру, строение. Такова, например, медиана – величина варьирующего признака, делящая совокупность на две равные части – со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы.

В интервальном вариационном ряду для нахождения медианы применяется формула:

, (2.4)

где: Ме – медиана; Хе – нижняя граница интервала, в котором находится медиана; n – число наблюдений; fMe
-1
– накопленная частота в интервале, предшествующем медианному; fMe
– частота в медианном интервале; i – величина интервала.

Рассчитаем значение медианы вариационного ряда, использовав для этого таблицу распределения с 8-ю интервалами (табл. 2.1). Медианным интервалом является интервал 140,8-171,1714, следовательно нижняя граница медианного интервала – 140,8; величина интервала – 30,37 (164,42–171,17); кумулятивная частота предшествующего интервала – 26, частота медианного интервала – 32. Медиана вариационного ряда равна:

Значение медианы, рассчитанное с помощью программы Statistica (по исходному несгруппированному ряду данных), составляет 153,45.

Важное значение имеет такая величина признака, которая встречается в изучаемом ряду, в совокупности чаще всего. Такую величину принято называть модой и обозначать Мо. В дискретном ряду мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой.

В интервальном вариационном ряду, тем более при непрерывной вариации признака, строго говоря, каждое значение признака встречается только один раз. Модальным интервалом является интервал с наибольшей частотой. Значение моды в интервальном ряду распределения определяется по следующей формуле:

, (2.5)

где:Х0
– нижняя частота модального интервала; fMo
– частота в модальном интервале; fMo
-1
– частота в предыдущем интервале; fMo
+1
– частота в следующем интервале за модальным; i – величина интервала.

Модальным интервалом является интервал 140,8-171,17; нижняя граница интервала – 140,8; частота модального интервала – 32, частота предыдущего интервала – 15; частота следующего интервала – 13; величина интервала – 30,37.

Определим модальное значение:

В ППП Statistica значение моды определяется непосредственно по исходным несгруппированным данным. Для рассматриваемого случая модальное значение равно 161,7, а его частота составляет 2.

3. ОЦЕНКА ВАРИАЦИИ ИЗУЧАЕМОГО ПРИЗНАКА

Вариация – это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени[5]
.

Она возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под влиянием различных факторов, которые в разном случае могут сочетаться по-разному.

К показателям вариации относятся: размах вариации, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.

Простейшим показателем вариации является размах, или амплитуда вариации, – абсолютная разность между максимальным и минимальным значениями признака из имеющихся в изучаемой совокупности значений. Таким образом, размах вариации вычисляется по формуле:

, (3.1)

Минимальное значение признака (Xmin
) для исследуемой совокупности составило 34,5, а максимальное (Xmax
) – 247,1. Следовательно, размах вариации для вариационного ряда составляет:

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины и вычисляется по следующим формулам:

Простая дисперсия для несгруппированных данных:

(3.2)

Взвешенная дисперсия для вариационного ряда:

(3.3)

Простая дисперсия по несгруппированным данным была рассчитана с помощью программы Statistica и составила 1730,257.

Взвешенная дисперсия по сгруппированным данным рассчитана в табл. 3.1

Таблица 3.1 Расчет дисперсии для распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г.

Взвешенная дисперсия вариационного ряда:

Среднее квадратическое отклонение – это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности. Оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения.

Среднее квадратическое отклонение является корню квадратному из дисперсии.

Определим среднее квадратическое отклонение:

· По исходному ряду данных:

· По сгруппированным данным:

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем более однородна исследуемая совокупность.

Для сравнения вариаций различных признаков используются относительные показатели вариации, в частности, коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

(2.8)

Коэффициент вариации исследуемого ряда данных равен:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33%.

Так как коэффициент вариации в данном случае составляет 27,18%, т.е. значительно меньше 33%, то исследуемая совокупность является количественно однородной.

4. ХАРАКТЕРИСТИКА СТРУКТУРЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Структура распределения характеризуется такими показателями, как медиана, квартили и децили. Медиана ряда распределения была определена в разделе 2, она составила 153,45.

Аналогично медиане вычисляются значения признака, делящие совокупность на четыре равные по числу единиц части. Эти величины называются квартилями и обозначаются заглавной латинской буквой Q с подписным значком номера квартиля. Очевидно, что Q2
равно медиане распределения.

Значения признака, делящие ряд на пять равных частей, называют квинтилями, на десять частей – децилями, на сто частей – перцентилями.

Для расчёта квартилей применяются следующие формулы:

1) для несгруппированных данных:

Нижний (первый) квартиль (Lower quartile):

, , (4.1)

Верхний (третий) квартиль (Upper quartile):

, , (4.2)

2) в интервальном вариационном ряду распределения:

(4.3)

(4.4)

где:Q1
и Q3
– нижний и верхний квартили; , – нижние границы квартильных интервалов; h – величина группировочного интервала; – абсолютные частоты квартильных интервалов; – накопленные (кумулятивные) частоты интервалов, предшествующих квартильным.

Рассчитаем квартили распределения на основе сгруппированных данных (табл. 4.1).

Таблица 4.1 Исходные данные для расчета квартилей распределения регионов России по количеству легковых автомобилей на 1000 чел. населения за 2005 г.