Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО
Филиал Уральского государственного экономического университета
в г. Березники
Кафедра «математических и естественнонаучных дисциплин»
Контрольная работа
по дисциплине: «высшая математика»
Тема: «Вариант № 18»
Выполнил:
студент I курса, группы ЭКПС-091
Лоскутова Ирина Петровна .
Проверил:
к. ф-м. н., профессор .
Кобзев Виктор Николаевич .
Березники
2010
Содержание
1. Задача № 1
2. Задача № 2
3. Список литературы
Вариант № 18
№ 1
Составить оптимальный суточный рацион для откорма крупного рогатого скота, имеющий наименьшую стоимость. Рацион состоит из силоса и концентратов. Содержание каротина и кормовых ед. в 1 кг силоса 0 и 4 ед. соответственно, а в 1 кг концентратов 1 и 3 ед. соответственно. Для каждого животного суточная норма каротина 5 ед., а кормовых ед. 31. Цена 1 кг силоса 20 руб., а 1 кг. концентратов 30 руб.
а) Записать математическую модель задачи.
б) Решить задачу графическим методом.
а) Пусть Х1 и Х2 – количество каротина и кормовых единиц, необходимых для откорма.
Тогда суточный рацион задается целевой функцией Z(Х)=20Х1+30Х2
Т.к. суточная норма ограничена, то Х1 и Х2 должны удовлетворять неравенствам 4Х2 ≥5
Х1+3Х2≥31
Х1≥0, Х2≥0
математический функция уравнение неизвестное
Таким образом, математическая модель имеет вид
Найти значения Х1 и Х2, удовлетворяющие системе неравенств
4Х2≥5
Х1+3Х2≥31
Х1≥0, Х2≥0
и при которых функция Z(Х)=5Х1+31Х2 достигает минимума.
б) Решим задачу графическим методом.
1. построим прямые
4Х2=5 Х1+3Х2=31
Х2=1,25
| Х1 | 0 | 31 |
| Х2 | 10,3 | 0 |
2. Для каждой прямой выделим полуплоскость, соответствующую неравенству
- выбираем точку не принадлежащую прямым (например, т. (0;0))
- подставляем ее координаты в каждое неравенство
- если неравенство верное, то выделяем полуплоскость, в которой лежит данная точка.
- если неравенство не верное, то выделяем другую полуплоскость.
т. (0;0) 4*0=0<5 (в)
1*0+3*0=0<31 (в)
3. выделим общую часть полуплоскостей, получая ОДР задачи.
4. Сроим вектор n ={5;31} и прямую (линию уровня) Z=0 n
5. Продвигаем линию уровня Z=0 в направлении вектора n до тех пор, пока она не перестанет пересекать ОДР, т.е. пока не будут касаться этой области.
6. Найдем координаты т. С решив систему уравнений
4Х2=5 Х2=1,25 Х2=1,25
Х1+3Х2=31 Х1=30 - 3Х2 Х1=27,25
|
7. Найдем значение целевой функции в т. С
Z(Х)= 5*27,25+31*1,25=136,25+38,75=175 (руб.)
Ответ: для получения оптимального суточного рациона стоимостью 175 руб. необходимо 27,25 кг силоса и 1,25 кг концентрата.
№2
Решить транспортную задачу методом потенциалов.
| поставщик | потребитель | Запасы груза | |||
| В1 | В2 | В3 | В4 | ||
| А1 | 5 | 9 | 11 | 3 | 7 |
| А2 | 8 | 7 | 5 | 17 | |
| А3 | 4 | 6 | 3 | 1 | 10 |
| Потребность | 11 | 19 | 20 | 3 | |
1. Определим тип задачи: для этого найдем суммарные запасы
3 4
поставщиков ∑ Аi и суммарные запасы потребителей ∑ Вj
i≥1 j≥1
3
∑Ai = 7+17+10=34
i≥1 3 4
∑Ai≠ ∑ Bjзадача открытого типа.
4 i≥1 j≥1
∑ Bj= 11+19+20+3=53
j≥1
Приведем задачу к закрытому типу:
Введем фиктивного поставщика А4i с запасом груза в 19 ед. (53-34) и стоимостью перевозок С4j=0.
Получим таблицу 1.
Bj Ai |
11 | 19 | 20 | 3 | |
| 7 | 5 (7) |
9 7 |
11 7 |
3 1 |
U1=0 |
| 17 | 19 11 |
8 (4) |
7 (13) |
5 0 |
U2=3 |
| 10 | 4 0 |
6 5 |
3 (7) |
1 (3) |
U3=-1 |
| 19 | 0 (4) |
0 (15) |
0 1 |
0 3 |
U4=-5 |
| V1=5 | V2=2 | V3=4 | V4=2 |
2. Составляем начальный опорный план методом наименьшей стоимости: начинаем загружать с клетки с наименьшей стоимостью (С34 = 1), в которую пишем min (3;3) = 3 (т.к. у поставщика А2 -3 ед. груза, а потребителю В нужно 3 ед. груза), далее из оставшихся клеток загружаем опять клетку с наименьшей стоимостью и так до тех пор, пока все запасы не будут исчерпаны, а все запросы – удовлетворены. Всего должно быть загружено 4+4-1=7 клеток.
Найдем значение целевой функции при полученном плане перевозок
Z(X)=7*5+4*0+4*8+15*0+13*7+7*3+3*1=35+32+91+21+3=182
3. Проверяем план на оптимальность
- каждому поставщику ставим в соответствие число Ui , а каждому потребителю – число Vj , называемые потенциалами.
- для каждой «загруженной» клетки составим уравнение Ui+Vj=Cij. В результате получим систему, состоящую из 7 уравнений с 8-ю неизвестными. Чтобы найти решение этой системы одной из переменных придаем конкретное числовое значение ( например, U1 = 0), тогда все остальные переменные находятся однозначно.
U2=3
U1+V1=5 V1=5 U3=-1
U2+V2=8 U1=0 V2=3 U4=-5
U2+V3=7 V3=4
U3+V3=3 V4=2
U3+V4=1
U4+V1=0
U4+V2=0
- для каждой «пустой» клетки вычисляем оценку
Sij=Cij-(Ui+Vj)
S12=9- (0+2)=7 S21=19-(3+5)=11 S32=6-(-1+2)=5
S13=11-(0+4)=7 S24=5-(3+2)=0 S43=0-(-5+4)=1
S14=3-(0+2)=1 S31=4-(-1+5)=0 S44=0-(-5+2)=3
Т.к. среди оценок нет отрицательных, то полученный план является оптимальным.
Ответ: план перевозок затраты на перевозку
7 0 0 0
Х = 0 4 13 0 Z(Х) = 182.
0 0 3 7
Список литературы
1. Высшая математика. Руководство к решению задач. часть 1. Лунгу К.Н., Макаров Е.В. 2005 г., 216с.;
2. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. Письменный Д.Т., 2006 г. 4-е изд., 608 с.;
3. Практикум по высшей математике для экономистов. Кремер Н.Ш., 2002 г., 423 с.