Задание 1
Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл. 1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
| Порядковый номер исходных данных | ||||||||||
| № | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Х | 1,415 | 1,420 | 1,425 | 1,430 | 1,435 | 1,440 | 1,445 | 1,450 | 1,455 | 1,460 |
| У | 0,888 | 0,889 | 0,89 | 0,891 | 0,892 | 0,893 | 0,894 | 0,895 | 0,896 | 0,897 |
интерполяция погрешность производная
Решение
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:
| 1 | 1,415 | 0,888 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 1,420 | 0,889 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 3 | 1,425 | 0,89 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||
| 4 | 1,430 | 0,891 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
| 5 | 1,435 | 0,892 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | 0 | ||||
| 6 | 1,440 | 0,893 | 0,001 | 0 | 0 | 0 | |||||
| 7 | 1,445 | 0,894 | 0,001 | 0 | 0 | ||||||
| 8 | 1,450 | 0,895 | 0,001 | 0 | |||||||
| 9 | 1,455 | 0,896 | 0,001 | ||||||||
| 10 | 1,460 | 0,897 |
.
Задание 2
Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую производную функции
. Получим и .
Итерационное уравнение запишется так:
.
В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка .
Проверяем условие сходимости:
.
Условие сходимости метода Ньютона выполнено.
Таблица значений корня уравнения:
| i | |
| 1 | 3,083 |
| 2 | 2,606 |
| 3 | 2,453 |
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину
.
Задание 3
Методами
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:
| слева | справа | |
| 1 | 0,25 | 0,2 |
| 2 | 0,2 | 0,1667 |
| 3 | 0,1667 | 0,1429 |
| 4 | 0,1429 | 0,125 |
| 0,7595 | 0,6345 |
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
| 1 | 0,25 |
| 2 | 0,2 |
| 3 | 0,1667 |
| 4 | 0,1429 |
| 5 | 0,125 |
Значение интеграла: .
Метод Симпсона
| 1 | 0,25 |
| 2 | 0,2 |
| 3 | 0,1667 |
| 4 | 0,1429 |
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2] . Начальное условие у(0,2)=0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить в виде таблицы:
| 0 | 0,2 | 0,2500 | 0,2751 | 0,0688 | 0,3188 |
| 1 | 0,45 | 0,3188 | 0,4091 | 0,1023 | 0,4211 |
| 2 | 0,7 | 0,4211 | 0,5634 | 0,1408 | 0,5619 |
| 3 | 0,95 | 0,5619 | 0,7359 | 0,1840 | 0,7459 |
| 4 | 1,2 | 0,7459 | 0,9318 | 0,2329 |
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.
Решение
Задача 1.
Задача 2.
Задание 6
Вычислить производную функции f(z) в точке .
Решение
Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то
Задание 7
Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
Решение
а)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.
б)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.