Рассматриваются бинарные и n-местные операции, виды бинарных операций, вводятся понятия алгебры, подалгебры, алгебраической системы, приводятся примеры.
п.1. Бинарные и n-местные операции.
Пусть - непустое множество, то есть .
Определение. Бинарной операцией на множестве называется отображение прямого произведения .
Другими словами: если каждой упорядоченной паре элементов множества поставлен в соответствие единственный элемент из , то говорят, что задана бинарная операция на множестве .
Пример.
Пусть - произвольные высказывания
: - бинарная операция на множестве высказываний.
Пусть - произвольные множества
: - бинарная операция на множестве множеств.
Пусть
: - бинарная операция на множестве действительных чисел.
: - не является бинарной операцией на множестве , так как .
Если - произвольная бинарная операция на множестве и паре ставится в соответствие элемент (то есть ), то вместо записи пишут , то есть имеем . Элемент называется композицией элементов .
Определение. Пусть . Отображение называется - местной операцией на множестве . Число - ранг операции.
Определение. Нульместной операцией на множестве называется выделение (фиксация) какого-нибудь элемента множества . Число называется рангом нульместной операции.
Определение. Одноместные операции называются унарными операциями. Другими словами: унарная операция каждому элементу из множества ставит в соответствие элемент из множества , то есть унарная операция – это отображение множества во множество .
Унарную операцию называют оператором.
Пример.
Пусть - множество натуральных чисел
- унарная операция
- не является унарной операцией
На множестве высказываний операция : - унарная операция
На множестве подмножеств универсального множества операция дополнения – унарная операция.
Определение. Отображение из множества называет
Виды бинарных операций
Пусть - бинарные операции на множестве .
Операция - коммутативна на множестве .
Операция - ассоциативна на множестве .
Операция - дистрибутивна слева относительно операции .
Операция дистрибутивна справа относительно операции .
Пример.
Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.
Операция на множестве - коммутативна, ассоциативна.
На множестве множеств операции и дистрибутивны относительно друг друга.
На множестве функций композиция функций - ассоциативная операция, не является коммутативной операцией.
п.2. Понятие алгебры.
Определение. Алгебра , где , - множество операций на .
Другими словами: если мы говорим об алгебре, то считаем, что задано множество и заданы операции.
Пример.
Пусть - множество высказываний
- алгебра логики высказываний.
Пусть - множество натуральных чисел
- алгебра натуральных чисел относительно операций и .
Определение. Алгебра называется подалгеброй алгебры , если множество ; - ограничение операции .
Определение. Алгебраическая система - это упорядоченная тройка , где , - множество операций на ; - множество отношений на .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001