Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.
п.1. Построение поля комплексных чисел.
Рассмотрим множество . Определим на бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию и определим элементы .
Для :
;
;
.
Обозначим: .
Теорема 1. Алгебра является полем.
Доказательство. Проверим, что алгебра есть абелева группа.
Для
.
Для
.
Для
.
Для
(.
Проверим, что операция - ассоциативна, то есть
.
Действительно,
.
Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для
.
Действительно,
,
.
Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.
Из выше доказанного следует, что алгебра есть кольцо.
Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для .
Действительно,
.
Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть
.
Действительно,
.
Так как , то .
Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,
.
Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.
Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.
п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:
для .
Теорема 2. Каждое комплексное число может быть, и притом единственным образом, записано в виде:
, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).
Доказательство. Существуют такие, что . Имеем
.
Теорема 3. Число обладает свойством: .
Доказательство. .
Из равенства следует, что .
Определение. Пусть , где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .
Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:
если , то ;
если , то .
Определение. Если , то комплексное число называют чисто мнимым числом.
Действия над комплексными числами
в алгебраической форме
1) Для
.
Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.
Доказательство. .
2) Для
.
Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.
Доказательство. .
3) Для
.
Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.
Доказательство.
.
4) Для
.
Доказательство.
.
5) Для
.
Доказательство. .
6) Для , если , то
.
Доказательство.
.
п.3. Операция сопряжения.
Определение. Пусть комплексное число записано в алгебраической форме . Числом сопряжённым с называется число .
Свойства операции сопряжения
Для , где , , .
1).
Доказательство.
.
2) .
Доказательство. .
3) .
Доказательство.
.
.
4) Если a¹ 0, то .
Доказательство. .
5) .
Доказательство. .
6) .
Доказательство. .
С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.
п.4. Модуль комплексного числа.
Пусть записано в алгебраической форме .
Определение. Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число .
Свойства модуля.
Для , где , , .
1) .
Доказательство.
.
2) .
3) .
Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.
4) .
Доказательство. .
Отсюда следует нужное утверждение.
5) Если , то .
Доказательство. .
6) Неравенство треугольника: .
Доказательство. Докажем сначала неравенство
.
Имеем
(2) ,
так как
.
Из (2) следует, что
.
Из последнего неравенства следует неравенство (1).
Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для . Докажем неравенство треугольника для . Имеем
.
7) .
Доказательство. . Отсюда следует нужное неравенство.
8) .
Доказательство. Справедливы неравенства
, .
Одно из подчёркнутых чисел совпадает с .
п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
Пусть записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу точку плоскости с координатами . Это соответствие является биекцией множества комплексных чисел на множество точек плоскости. Проиллюстрируем это соответствие Рис.1. В дальнейшем мы будем считать, что точками плоскости являются комплексные числа и будем называть эту плоскость комплексной плоскостью.
Числа и расположены симметрично относительно оси абсцисс. Действительные числа расположены на оси абсцисс, поэтому ось абсцисс - ось действительных чисел. На оси ординат расположены числа, у которых действительная часть равна нулю. Иногда ось ординат называют осью мнимых чисел.
Геометрический смысл модуля
Из Рис.1 видно, что расстояние от начала координат до числа равно . Поэтому геометрический смысл - расстояние от до начала координат.
y
bi a
i
-1+i 1+i
- 1 0 1 a
x
- 1-i 1-i
- i
Рис.1.
- bi `a
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.2, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; ; .
y | z | =1 y | z |£1 y | z |³1
i i i
- 1 1 - 1 1 - 1 1
0 0 0
- i - i - i
Рис.2.
Пусть записано в алгебраической форме . Имеем
.
Из Рис.3 видно, что геометрический смысл модуля разности комплексных чисел - расстояние между этими числами.
y
b a
d |b-d|
b|a-c|
Рис.3.
0 c a x
Пример. Изобразим на комплексной плоскости, на Рис.4, множества, заданные, соответственно, следующими условиями: ; .
y y
| z-1| =2 0
x
- i
- 1 0 1 3 x |z+i |> 1
- 2i
Рис.4.
Геометрическая интерпретация комплексных чисел
векторами плоскости
Поставим в соответствие числу связаный вектор плоскости с началом в начале координат и с концом в точке . Установленное соответствие является биекцией между множеством комплексных чисел и множеством связаных векторов плоскости с началом в начале координат. Проиллюстрируем эту связь на Рис.5.
y
a+b
b
a
0 Рис.5
x
Геометрический смысл модуля комплексного числа , при интерпретации чисел векторами, - длина векто
п.6. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
Определение. Аргументом комплексного числа называется число , равное величине угла между положительным направлением оси абсцисс и вектором , определяется с точность до углов, кратных . Главным значением аргумента комплексного числа называется то значение , которое принадлежит промежутку , оно обозначается и .
Пусть записано в алгебраической форме . Тогда из геометрической интерпретации следует, что:
;
, если ;
, если ;
, если .
Заметим, что выражается только в радианах, не определён.
Теорема 4. Каждое комплексное число может быть записано в виде
.
Доказательство. Изобразим вектором комплексной плоскости,
см. Рис.6.
y
b a
Рис.6.
0 a x
Угол, образованный вектором и положительным направлением оси абсцисс, равен , следовательно, . Поэтому.
Определение. Если комплексное число записано в виде , то говорят, что записано в тригонометрической форме.
Правила действий с комплексными числами,
записанными в тригонометрической форме.
Пусть комплексные числа записаны в тригонометрической форме
.
1) ,
то есть при умножении комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Доказательство.
.
2) Если , то
,
то есть при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.
Доказательство. Обозначим . Так как , то нужное утверждение доказано.
3) Если , то
.
4) Формула Муавра. Для ,
.
Доказательство. Формула Муавра является следствием правила 1.
5) Обобщённая формула Муавра. Для ,
.
Доказательство. Обобщённая формула Муавра является следствием формулы Муавра и свойства 3).
п.7. Показательная форма записи комплексного числа.
Обозначение. Для обозначим
. (1)
Равенство (1) называют формулой Эйлера. При этом обозначении, запись комплексного числа в показательной форме принимает вид
. (2)
Из равенства (1) и правил действия с комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, следует справедливость следующей теоремы .
Теорема 5. Для справедливы равенства:
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) ;
6) ;
7)
п.8. Связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.
Из формул Эйлера следует, что для
.
Складывая и вычитая эти равенства находим, что для :
(1) ;
(2) .
Как известно, из курса математического анализа, гиперболические косинус, синус, тангенс, котангенс, соответственно, , для , определяются равенствами:
; ;
; .
Если в формулах (1), (2), заменить на , то мы получим формулы для определения значений . Эти формулы выражают гиперболические формулы через тригонометрические. Для :
; ;
; .
п.9. Корни из комплексных чисел.
Определение. Пусть , . Комплексное число называется корнем степени из , если .
Теорема 6. Пусть , - множество всех корней степени из 1. Тогда алгебра - группа, (которая называется группой корней степени из 1).
Доказательство. Пусть .
Проверим, что умножение – бинарная операция. Имеем - корень степени из 1.
Проверим, что - унарная операция. Имеем - корень степени из 1.
Очевидно, что 1 – корень степени из 1.
Доказано, что - алгебра.
То, что алгебра - группа, следует из свойств комплексных чисел.
Теорема 7. Для существует точно различных корней степени из 1, , . (1)
Все корни расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0).
Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (1), являются корнями степени из 1. Действительно, .
Докажем, что любой корень степени из 1 может быть вычислен по формуле (1). Т.к. , то можно записать в показательой форме .
Имеем . Поэтому , , , где . По теореме о делении с остатком, существуют такие , что , где .
Значит, , , т.е. вычисляется по формуле (1).
Изобразив числа, заданные формулой (1), на комплексной плоскости, мы увидим, что они расположены в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность единичного радиуса, одна из которых расположена в точке с координатами (1, 0). В частности, числа, заданные формулой (1), попарно различны.
Теорема 8. Пусть , , , . Тогда существует точно различных корней степени из , , . (2)
Доказательство. Проверим сначала, что числа , заданные равенством (2), являются корнями степени из . Действительно, .
Пусть - корень степени из . Докажем, что он вычисляется по формуле (2). Рассмотрим число , где определено формулой (2). Имеем
Следовательно - корень степени из 1, т.е. совпадает с одним из чисел . Имеем
Из вышедоказанного следует, что числа попарно различны.
п.10. Мультисекция.
Теорема 1. (о мультисекции многочлена) Пусть
- многочлен с числовыми коэффициентами, . Тогда
, (1)
где .
Доказательство. Для равенство (1) очевидно выполнено. Докажем (1) для . Имеем
(2)
Если - целое, то и .
Если - не целое, то и по формуле суммы членов геометрической прогрессии
.
Поэтому в (2) суммирование нужно вести только по тем , для которых . Отсюда следует (1).
Заметим, что равенство (1) справедливо не только для многочленов, но и для рядов.
Следствие 1. Пусть . Тогда
. (3)
Доказательство. Рассмотрим многочлен
.
Применяя мультисекцию к многочлену , получим, что
,
где . Полагая в последнем равенстве получим, что
. (4)
Имеем
.
Приравнивая действительные части обеих частей равенства (4), получаем равенство (3).
п.11. Упорядоченные поля
.
Определение. Упорядоченным полем называется алгебраическая система
такая, что:
1) алгебра - поле;
2) - линейный порядок на ;
3) для
;
4) для
.
Другими словами, упорядоченное поле - это поле, на множестве элементов которого определён линейный порядок , согласованный условиями 3), 4), с операциями сложения и умножения. Нетрудно проверить, что для упорядоченного поля выполнены обычные свойства неравенств, известные для действительных чисел.
Примерами упорядоченных полей являются поле рациональных и поле действительных чисел.
Теорема 9. Если - упорядоченное поле, то для из условия , следует, что .
Доказательство. Так как - линейный порядок, то или . Если , то по условию 4) . Если , то и по условию 4), .
Теорема 10. Если - упорядоченное поле, то для из условия следует, что .
Доказательство. Из теоремы 9 следует, что и . Из условия 3 следует, что .
Теорема 11. Поле комплексных чисел нельзя упорядочить.
Доказательство. Предположим противное - поле комплексных чисел упорядоченно. Так как , то по теореме 10 - противоречие.
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001