Рассматривается определение поля, примеры и простейшие свойства полей, определения подполя, простого поля и поля рациональных чисел.
п.1. Определение поля.
Определение. Пусть - кольцо с единицей 1. Элемент из множества называется обратным в кольце , если . называется обратным к .
Примеры.
Рассмотрим кольцо целых чисел, то есть кольцо , элемент 2 необратим в этом кольце, так как , элемент 5 необратим в кольце целых чисел. - обратимые элементы в кольце целых чисел
Рассмотрим кольцо рациональных чисел , обратимыми являются все элементы кроме .
Рассмотрим кольцо действительных чисел, то есть кольцо , обратимыми являются все элементы кроме .
Определение. Поле – это кольцо , если:
- коммутативное кольцо (операция коммутативна)
- кольцо с единицей 1, единица .
Всякий ненулевой элемент кольца обратим.
Примеры полей.
- поле рациональных чисел.
- поле действительных чисел.
Это поля с бесконечным числом элементов. Рассмотрим поле с конечным числом элементов.
Поле Галуа - галуафилд. ; . Определим
операции сложения и умножения:
И - бинарные операции, - унарная
Из этой таблицы видно, что операция - коммутативна, -бинарные операции, - унарная операция, т.к. , .
п.2. Простейшие свойства поля.
Пусть - поле. Обозначение: .
Если , то .
Доказательство. Пусть , докажем, что , то есть , тогда противоречие с аксиомой поля . Если , то по аксиоме полей | , .
Если , . умножим равенство справа на , то есть .
.
Доказательство. Если , то , умножая обе части равенства на слева, .
В поле нет делителей 0.
Доказательство. Следует из свойства 3, применяя законы контрапозиции: , , значит нет делителей нуля.
Каждое поле является областью целостности.
Доказательство. Следует из определения поля и области целостности.
.
Доказательство. . Умножим обе части равенства справа на , где .
, где .
Доказательство. Выпишем правую часть равна левой части.
, где .
Доказательство. Правая часть равна левой части.
, .
Доказательство. Правая часть левая часть.
, .
Доказательство. Левая часть .
, .
Если , то .
Доказательство. Вычислим произведение то есть обратный элемент к .
, где .
Доказательство. Левая часть равна равна правой части.
- коммутативная группа, которая называется мультипликативной группой не равных 0 элементов.
Доказательство. Следует из свойств поля:
1. , так как поле.
2.
3.
4. , так как поле
Так как поле – это кольцо определённого вида, то под гомоморфизмами полей понимаются гомоморфизмы полей. Аналогично для изоморфизмов.
п.3. Подполе.
Определение. Подполем поля называется подкольцом с единицей поля , в котором всякий ненулевой элемент обратим. Всякое подполе является полем. Подполе поля , отличное от называется собственным полем.
Определение. Поле называется простым, если оно не имеет собственных подполей.
Пример. Рассмотрим поле действительных чисел, то есть поле . Для того, чтобы найти подполе надо найти подмножества замкнутые относительно операции и подмножеству. Например, поле рациональных чисел является подполем поля действительных чисел.
п.4. Поле рациональных чисел.
Алгебраическая система называется системой рациональных чисел, если:
Алгебра - это поле с единицей 1.
Множество замкнуто относительно операции и
Аксиома минимальности, если такое, что:
а)
б) , тогда .
Список литературы
Е.Е. Маренич, А.С. Маренич. Вводный курс математики. Учебно-методическое пособие. 2002
В.Е. Маренич. Журнал «Аргумент». Задачи по теории групп.
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.1 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.2 Основы алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Введение в алгебру. Ч.3 Основные структуры алгебры. – М.: Физмат лит-ра, 2000
Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. Изд. третье – М.: Физмат лит-ра, 2001
Название реферата: Поле. Примеры полей. Свойства полей. Поле рациональных чисел
| Слов: | 615 |
| Символов: | 4769 |
| Размер: | 9.31 Кб. |