Определители и их применение в алгебре и геометрии

Определители очень широко используются при решении и исследовании систем линейных n уравнений с n неизвестными. Правило решения такой системы с помощью определителей называется правилом Крамера.
Покажем это правило на примере.

Правило Крамера:

правило решения системы n линейных уравнений. с n неизвестными, определитель которой отличен от нуля, всегда имеет решение. Это решение единственное и определяется таким правилом Крамера: значение каждого из неизвестных , где - определитель системы., матрица которого составлена из коэффициентов при неизвестных системы, а I
– определитель, матрица которого получена заменой столбца коэффициентов при данном неизвестном на столбец свободных членов системы. В случае если определитель системы равен нулю, система имеет бесконечно много решений.

Пусть дана система из трех уравнений с тремя неизвестными:

Посчитаем определитель матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных:

После подсчета определителя системы, подсчитаем определители неизвестных. Для этого вырезаем из столбец данной переменной, а на его место ставим столбец свободного члена.

=== 6 = 6 = 6*(4*2-(-2)*11)=180

Согласно правилу Крамера значение неизвестной переменной равно частному от определителя данной неизвестной и определителя системы. Значит переменная x1=
;
x1
=.

Действуя по тому же алгоритму, найдем значения переменных x2
и x3
:

По правилу равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной и побочной диагоналям матрицы получим:

= 2*11*4+3*11*(-1)+4*(-2)*3= 88-33-24=31 =60

-2*(-2)*11-3*4*4 – (-1)*11*3= 44-48+33=29

Значит x2
=

Значит x3
=

Для доказательства истинности правила Крамера, проверим полученные значения переменных, подставив полученные значения в систему:

После подстановки мы получили верное числовое равенство, значит, правило Крамера истинно для решения системы n уравнений с n неизвестными. Ответ: (3;1;1)

Глава 2.

Векторное произведение

1. Определения

Опр.

Векторным произведением двух векторов А и В называется новый вектор С длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах А и В перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный в такую сторону, чтобы кратчайший поворот от А к В вокруг полученного вектора С представляется происходящим против часовой стрелки, если смотреть из конца С.

Из этого определения следует, что длина вектора С равна: .

Следствие.

Векторное произведение равно нулевому вектору в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым, или если эти векторы параллельны (коллинеарны).

2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение умножается на (-1). То есть ВxА=-(АxВ).

2. Векторное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя: и , т.е. чтобы умножить векторное произведение векторов на число, достаточно умножить на это число один из сомножителей.

3. Векторное произведение подчиняется распределительному закону, то есть .

4. Длина векторного произведения неколлинеарных векторов А и В численно равна площади параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах А и В, как на сторонах.

3. Доказательства свойств

1. В самом деле, площадь параллелограмма, построенного на векторах А и В, а также и его плоскость не меняются при перестановке А и В. Поэтому векторы А*В и В*А имеют одинаковые длины и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны; действительно, если смотреть на плоскость векторов А и В с конца вектора А*В, то кратчайший поворот от В к А будет казаться происходящим по часовой стрелке. Следовательно, вектор В*А будет направлен в противоположную сторону.

Заметим ещё, что в случае коллинеарности векторов А и В равенство АxВ=-(ВxА) очевидно, так как тогда АxВ и ВxA – нулевые векторы.

2. Обе формулы доказываются аналогично. Докажем, например, первую из них. Ограничимся случаем >0.

Для доказательства равенства векторов (АxВ) и АxВ заметим прежде всего, что длины этих векторов одинаковы:

.

Направления же векторов (А*В) и А*В совпадают, так как при умножении вектора на положительное число его направление не меняется.

3. Для доказательства заметим сначала, что произведение АxС0
, где С0
– единичный вектор, можно построить так (рис. 1).

рис. 1.

Спроектируем вектор А= на плоскость, перпендикулярную к С0
, и полученную вектор-проекцию 1
повернём в этой плоскости вокруг точки О по часовой стрелке на 900
(если смотреть на плоскость с конца вектора С0
).

Полученный вектор 2
и равен А*С0
. В самом деле,

1) ОА2
=ОА1
=Аcos(900
-φ)=Asinф, где ф – угол между векторами А и С0
;

2) Вектор 2
перпендикулярен к векторам А и С0
представляется совершающимся против часовой стрелки. Итак, 2
=А*С0
.

Пусть теперь даны единичный вектор С0
, перпендикулярная к нему плоскость р
и треугольник ОА1
В1
(рис. 2.), в котором 1
=А, =В и 1
=А+В.

рис. 2.

Спроектируем треугольник ОА1
В1
на плоскость р
и повернём против проекцию ОА2
В2
в плоскости р
по часовой стрелке на 900
.

Получим треугольник ОА3
В3
, в котором по предыдущему

3
=(А+В)*С0
, 3
=В*С0
, =В*С0
.

Так как = + , то (А+В)*С0
=А*С0
+ В*С0
.(1)

Заметив, что С=С*С0
, умножим теперь обе части равенства (1) на скаляр С. Применив свойство 2 векторного произведения, получим:

(А+В)*СС

4. Справедливость этого утверждения основана на том, что площадь параллелограмма равна произведению длин его смежных сторон и синуса угла между ними, что, в свою очередь, следует непосредственно из определения векторного произведения векторов А и В. (рис. 3,4)

рис. 3

Рис. 4

4. Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

.

Иногда его называют тройным скалярным произведением
векторов.

Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения.

Смешанное произведение в правой декартовой системе координат равно определителю матрицы, составленной из векторов и :

В частности,

Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда, образованного векторами и знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.

Теорема:

векторно-скалярное произведение (АВС)=(А*В)С трёх некомпланарных векторов есть число, абсолютная величина которого выражает объём параллелепипеда, построенного на векторах А, В и С, как на рёбрах. Знак произведения положителен, если векторы А, В и С образуют систему, одноимённую с основной

5. Векторное произведение векторов, заданных проекциями

Обозначим через x1
,y1
,z1
проекции вектора А, а через x2
,y2
,z2
проекции вектора В. Выразим через них векторное произведение А*В:

АxВ=(ix1
+jy1
+kz1
)*(ix2
+jy2
+kz2
).

По распределительному свойству суммы векторов умножаются как многочлены:

АxВ=(i*i)x1
x2
+(j*i)y1
x2
+(k*i)z1
x2
+(i*j)x1
y2
+(j*j)y1
y2
+(k*j)z1
y2
+(i*k)x1
z2
+(j*k)y1
z2
+(k*k)z1
z2
. (1)

Так как I, j, k являются тремя взаимно перпендикулярными единичными векторами и вращение от j к k представляется с конца вектора i совершающимся против часовой стрелки, то:

.

Следовательно в полученном выражении (1) для АВ пропадут три слагаемых, остальные же соединятся попарно, и окончательная формула будет:

АxВ=i(y1
z2
-y2
z1
)+j(z1
x2
-z2
x1
)+k(x1
y2
-x2
y1
).

Последнюю формулу можно также записать в символический, лёгко запоминаемой форме, если воспользоваться понятием определителя 3-го порядка.

.

Вектор имеет координаты . Вектор имеет координаты . Тогда

Так как верна формула , то и следующая формула верна

6. Примеры решение задач (с использованием определителей)

Пример 1.

Найти площадь треугольника АВС с вершинами в точках А(x1
; y1
; z1
), B(x2
; y2
; z2
), C(x3
; y3
; z3
).

Решение:

Так как вектор имеет проекции x2
-x1
, y2
-y1
, z2
-z1
а вектор имеет проекции x3
-x1
, y3
-y1
, z3
-z1
, то площадь треугольника

=.

Пример 2.

Определить синус угла А треугольника АВС с вершинами А(1,2,3), В(3,4,5), С(2,4,7).

Решение:

Так как векторы и имеют соответственно проекции 2,2,2 и 1,2,4, то

угол следует взять острым, если , и тупым, если . В данном случае угол А острый.

Вывод

Таким образом мы рассмотрели теорию определителей и выяснили, что, действительно, данная теория очень помогает при решение задач с системами n линейных уравнений с n неизвестными.

Также мы рассмотрели как теория определителей применяется в аналитической геометрии, в частности, в векторном и смешанном произведениях и задач, связанных с ними.

Список используемой литературы

1. Привалов И. И. Аналитическая геометрия Москва Государственное издательство технико-теоретической литературы 1956

2. www.wikipedia.ru